Intervalles en trigonométrie

Bonjour,
Je travaille sur des exercices en trigonométrie et un problème récurrent se pose, celui des intervalles.
Par exemple, que signifie l'intervalle [-π/2;π/2] ? La moitié droite du cercle trigonométrique ? On tourne toujours dans le sens inverse des aiguilles d'une montre lorsqu'on manipule des intervalles en trigo ? Ou peut-on utiliser le sens négatif ?
Je vous remercie d'avance pour vos réponses ,
Scientia

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

LA trigonométrie est l'un des carrefour de beaucoup de branches mathématiques. Il s'avère que la notion d'ensembles et donc d'intervalles (qu'on retrouve dans la branche de l'analyse des fonctions) est très présente car le cosinus et le sinus (tout comme la tangente par conséquent) peuvent être vues comme des fonctions à part entière.

Ce qu'il faut savoir sur les intervalles ? Pas grand chose ne fait, il s'agit d'être logique dans leur utilisation et dans leur appréhension pour pouvoir les comprendre et les manipuler à loisir.

En effet, tu connais la notion d'abscisse et donc de droite graduée, je pense. Et bien la notion d'intervalle est une autre façon d'écrire la droite graduée en ne gardant que la partie qui nous intéresse.

En cela, on lira la borne de gauche est toujours plus petite que la borne de droite dans un intervalle. Il n'y a donc pas de sens directe ou de sens indirect ici, il s'agit juste de la lecture de la droite graduée qui préconise qu'un nombre plus petit arrive avant un nombre plus grand dans le sens croissant de la lecture (de gauche à droite le plus souvent).

Le sens direct et indirect est lié à la notion d'angle et à la notion d'orientation du plan ce qui est une autre branche de la trigonométrie vu que la trigonométrie fait le lien entre les fonctions et donc les ensembles de nombre et la notion d'angle et d'orientation.

En espérant que cela sera plus clair ainsi mais si ce n'est pas le cas n'hésite pas à poser tes questions surtout !

Merci beaucoup pour votre réponse rapide =)
Je connais le principe des intervalles, mais je bloque lorsqu'il faut les utiliser avec la trigo.
Par exemple, dans le cas de l'intervalle [-π/2;π/2], je ne trouvais pas logique d'aller du plus petit au plus grand, vu que -π/2 sous entend une rotation dans les aiguilles d'une montre et l'autre pas.
Si [-π/2;π/2] est pareil que [π/2;3π/2] ? En relisant ça ne me parait pas logique. Puisque l'un représente la moitié gauche et l'autre la moitié droite. Donc on tourne toujours dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, c'est à dire du point -π/2 au point π/2 en passant par 0 ?
Je me sens un peu perdue ...
Merci,
Scientia

Ce n'est pas pareil en effet.

Tu es en train de faire un amalgame entre les valeurs images par une fonction et l'intervalle de définition d'une fonction.
En effet, les deux intervalles que tu écris sont bel et bien différents.
Et d'ailleurs, l'image par la fonction cosinus ne donnera pas le même résultat et de même pour la valeur du sinus.

Ce qui lie ces deux intervalles est leur amplitudes. En effet, tous les deux ont pour amplitude 2π.

Ce qui te bloque est le fait qu'on a dû faire une erreur pédagogique lorsqu'on t'a présenté les valeurs d'angles en radian. En effet, on définit par commodité le lien entre radian et dégrée à partir du cercle trigonométrique mais cependant, le radian n'est pas défini à partir du cercle trigonométrique. Il s'agit juste d'une unité de mesure pour les angles et on a un lien de proportionnalité qui ne dépend absolument pas du cercle trigonométrique et il s'agit du fait que π rad = 180° et ensuite, on complète le tableau de proportionnalité en fonction de ce qu'on souhaite avoir comme valeur d'angle.

L'intérêt de cette mesure d'angle, qu'est le radian, réside dans le fait de faire un lien avec la géométrie et le cercle et donc le cercle trigonométrique.

Mais la notion d'intervalle n'a pas de lien géométrique sauf si les ensembles sont géométriques. Donc ici les ensembles que tu présentes sont "juste" des ensembles de nombres et non des ensembles de mesures d'angles.

Le cercle trigonométrique a un avantage visuel et permet donc de mieux appréhender les fonctions trigonométriques et de mieux lire des mesures d'angles en radian et faire le lien entre la mesure en degré.

D'un point de vue culturelle et je m'arrêterai là pour les apartés, le radian est en fait la mesure de l'arc de cercle (un bout de cercle en quelque sorte ce qui explique l'arrivée de π dans les mesures car lorsqu'on à le périmètre d'un cercle de rayon 1, on arrive à 2π et donc lorsqu'on coupe ce cercle en bout de cercle qu'on appelle des arcs de cercles, on a donc des divisions de ce périmètre) alors que le degré mesure la séparation angulaire entre deux demi-droite de même sommet.

En espérant que cela sera plus clair ainsi mais ton début d'analyse personnelle commençait à te montrer les limites entre le cercle trigonométrique et la notion d'ensemble de point.

Bonne continuation et n'hésite pas à poser tes questions!

Encore merci pour votre réponse =)
D'où vient alors le radian ?
Comment m'y retrouver lorsque je suis face à une intervalle en trigo avec une valeur négative et une autre positive ?
Je suis désolée de l'abondance de mes questions,
Merci,
Scientia

Le questionnement est la mère de la philosophie et donc de la réflexion mathématique. C'est plutôt bon signe.

Le radian vient du lien entre le périmètre d'un cercle de rayon 1 et la mesure d'un angle.

En effet, on dit qu'un angle plat mesure 180°.
Or l'angle plat correspond aussi au diamètre d'un cercle dont on connaît le centre.
Ainsi, l'arc de cercle rejoignant les extrémités de ce diamètre est égale à la moitié du périmètre du cercle.
Or la moitié du périmètre d'un cercle de rayon 1 est égale à π.
Conclusion, nous avons une correspondance entre l'arc de cercle qui mesure π radian et l'angle plat qui mesure 180°.

Ainsi, nous avons pouvons définir le radian comme la mesure d'un arc de cercle et il existe un lien direct entre π et 180.
Donc si tu fais un tableau de proportionnalité, tu peux redéfinir toutes les mesures des arcs de cercle en lien avec la mesure des angles définie par l'écartement entre les deux rayons du cercle.

Pour ce qui est des intervalles avec une valeur positive et une valeur négative pour les bornes de cet intervalle, je ne comprend pas encore où se situe ton soucis de compréhension. En effet, est-ce que cela te pose un soucis pour des intervalles du type [-3,14 ; 8], [-6 ; 3,14] ? Si cela ne te pose pas de soucis, où se situe ton soucis pour les intervalles contenant le nombre π ?

Bonne continuation!

Puisque c'est bon signe, autant continuer :
Donc avant ce cercle on connaissait pas la radian ?
Pour les intervalles, je pense que j'ai mal expliqué mon problème. Je vais donc vous donner un exemple concret.
Il s'agit d'un extrait d'un exercice :
Trouver cos x sachant que sin x = 0.7, pour x Є [-π/2;π/2].
=> On a cos²x + sin²x = 1 d'où cos²x + 0.7² = 1 => cos²x = 0.51 => cos x = +√0.51 ou -√0.51. Le problème est là : selon l'intervalle le cosinus sera positif ou négatif. Il faut donc que je sache ce que représente [-π/2;π/2]. Si c'est la moitié droite du cercle, alors c'est positif, sinon, c'est négatif .
Je vous remercie d'avance,
Scientia

Ok !

Alors si tu regardes ton intervalle, tu vas aller de -π/2 vers π/2 en passant par 0 car 0 est bien dan un intervalle dont les bornes sont de signe contraire.

Ainsi, tu dois pouvoir savoir dans quelle partie nous nous situons pour connaître le signe de notre cosinus tout simplement.

Est-ce plus clair ainsi, du coup ?

Bon courage!

Oui c'est beaucoup plus clair tout d'un coup ^^
Merci beaucoup =)
Une petite question : pour résoudre les problèmes de la cage aux exercices, on peut répondre directement à votre post ?
Scientia

Bonjour,

Tu peux répondre directement sans aucun problème à la suite de mes postes dans la cage au exercices.

Bonne continuation!

Merci