Effectuer des encadrements

L'exercice qui suit n'est pas simple et va au maximum des capacités demandés sur ce sujet. Il faut prendre son temps pour les faire et y aller étapes par étapes.

On définit les deux encadrements suivants: -1<a<5 et -7<b<3

Donner les encadrements des expressions suivantes:

a) 2*(-a) + b

b) -b + 1/a

c) a*b

d) a/b

Remarques:
- attention aux signes des nombres des encadrements
- utiliser des disjonction de cas

Bonjour,

Je ne connais pas très bien les disjonctions de cas (je viens de les découvrir aujourd'hui), donc je ne poste que le a) pour vérifier si l'idée est la bonne ...

On a donc :
et

a) Si a > 0, alors – a < 0

On multiplie par 2 chaque membre de l’inégalité :

On ajoute membre à membre les deux inégalités (a et b) :


Si a < 0, alors – a > 0

On multiplie par 2 chaque membre de l’inégalité :

On ajoute membre à membre les deux inégalités (a et b) :


Si a = 0, alors – a = 0, d’où 2*(-a) = 0 et l’encadrement de 2×(-a)+b est celui de b :


...

Merci =),
Scientia

La disjonction de cas peut se limiter à deux cas (supérieur ou égale et à inférieur) mais en tout cas tout est juste.

En revanche, tu as oublié de conclure car nous avons trois encadrements d'un même nombre et il va bien falloir n'avoir qu'un seul encadrement si on peut ou la réunion de deux intervalles. Lorsque tu feras cela, tu vas te rendre compte que la disjonction de cas pour cette première inégalité n'était pas utile. Essaie de m'expliquer pourquoi.

Bon courage!

Je pense avoir compris mais de là à expliquer pourquoi ...
J'ai remarqué que le fait que a soit supérieur ou inférieur à 0 ne changeait rien, puisqu'il restait toujours supérieur à -5 et inférieur à 1, donc la disjonction de cas ne sert à rien ...

Sans disjonction, ça donne :


Pour les deux encadrements que j'avais trouvés, les intervalles respectifs sont :


Leur union donne le même résultat que lorsqu'on le calcule sans disjonction de cas :


... c'est prouvé

Excellent travail!

Alors maintenant pourquoi cela fonctionne sans faire de disjonction de cas sur cet exemple là ? Et bien tout simplement à cause du fait que lorsqu'on additionne ou soustrait un nombre, une inégalité ne change pas (en effet, on ajoute ou on enlève la même chose de chaque côté de la balance, donc si elle penchait d'un côté il n'y a aucune raison que cela change tout simplement). En conclusion, le signe de a et b n'importe peu dans ce cas de figure là.

En revanche, là où cela va avoir son importance est le moment de la multiplication/division vu qu'à ce moment là, l'inégalité (notre fameuse balance) va réagir au signe du nombre par lequel on va multiplier/diviser.

Bon courage pour la suite des encadrement en espérant que tu ais mieux compris à partir de quand la disjonction de cas va avoir son utilité.

Merci (et désolée pour le retard de ma réponse )

J'allais poster les 3 derniers calculs qui me restaient lorsque je me suis rendue compte, alors que j'avais entamé le b), que j'avais quelques questions à vous poser ...

b) -b + 1/a



On calcule l'inverse de a :
On a :


Si a > 0, alors :


Si a < 0, alors :


D'où : (et c'est là où j'ai un doute)
Si a > 0 :

Si a < 0 :


Est-ce qu'on peut ajouter un encadrement et une inégalité ? Les additions que j'ai faites auraient donné le même résultat que si l'encadrement de l'inverse de "a" aurait été : 0 < 1/a < k, ou k < 1/a < 0, or ce n'est pas le cas. Ce qui me chiffonne, c'est que l'on additionne que deux membres sur trois ... et le troisième membres est comme ajouté à rien, à 0 ... (en même temps j'ai le pressentiment que c'est normal ...)

Ce qui donne :


Merci

Bonjour,

La réflexion a l'air plus tendu car tu es en terrain que tu crois inconnu, j'ai l'impression alors qu'il n'y a rien d'inconnu. Regardons les choses de plus près.

Il faut comprendre ce qu'on fait en quelque sorte. Qu'est-ce qu'un encadrement ? Un encadrement est l'ensemble des valeur possible qu'on peut donner à un nombre.
A partir de là, si mon nombre a peut avoir entre telle et telle valeur, quelles valeurs pourra prendre le nombre 1/a ?

Donc ici, nous savons qu'il nous est interdit de diviser par 0 et donc, il faut enlever une valeur à a pour effectuer l'encadrement. Cependant, nous n'allons pas essayer de prendre en compte toute les valeurs du premier encadrement, nous allons scinder notre encadrement en 0 encadrement.

Ainsi,
Si -1<a<5
Alors, -1<a<0 ou a=0 ou 0<a<5

Il faut comprendre là, que nous manipulons des "phrases" mathématiques comme si nous manipulions de des phrases en français. Sujet/Verbe/Complément est devenu "<0 / =0 / 0<" mais bien sur j'ai gardé la MÊME phrase de départ sinon, on change l'énoncé de départ.

Maintenant, sur c'est 3 nouvelles inégalités/égalité, tu sais prendre l'inverse et le signe de l'inverse pour de nouveau avoir des intervalles complètes.


Enfin, par rapport à ta dernière interrogation sur le fait que tes nouvelles inégalités n'était pas double mais simple. Comment les gérer ?

Et bien de la même façon, il faut essayer de "lire" ce qui est écrit. Que signifie en fait la "phrase", "-1<a<5" (pour être correcte, il faudrait que j'ajoute "pour toute les valeurs de a tel que" c'est pour cela que je mets des guillemets à "phrase" car elle est incomplète) ?

Elle signifie (je vais être correct cette fois):
"Pour toutes les valeurs de a, ( -1<a ET a<5 ) "

C'est le "ET" qui détermine la liaison entre les deux inégalités. Je ne t'apprend sans doute rien là mais je pense que ton soucis est un problème de "lecture" (dans le sens lecture de propriété mathématiques) et non un problème lié au concept de l'inégalité elle-même. Ensuite, il existe comme en français des abréviations et donc "-1<a ET a<5" peut être abrégé en "-1<a<5" mais pourrait aussi s'abrégé à l'aide d'un intervalle auquel appartient a ou encore l'union de deux intervalles auxquels appartiendrait a. Il y a plusieurs interprétation possible comme tu le sais déjà et le but est qu'en tant qu'élève vous puissiez connaître les différentes abréviations et sachiez les manipuler.

Est-ce plus clair ainsi ?

Maintenant, il faut faire attention à ce qu'on "lit" en mathématique car certaine chose ne sont pas écrite. Par exemple lorsqu'on écrit 1/a <-1 cela signifie quoi ?
Cela signifie que seule la borne supérieur limite les possibilités car on peut avoir un nombre 1/a aussi petit qu'on le souhaite dans les négatifs (notion de (- l'infini) ). Du coup, il va falloir revoir tes raisonnements sur les manipulations que tu as effectué.

En effet, si A<-13 ET -8<B<40
Alors le nombre C=A+B peut prendre quelles valeurs ? Ou dit autrement, dans quel intervalle se balade C ? Ou quel est l'encadrement de C s'il existe ?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Citation :

Maintenant, il faut faire attention à ce qu'on "lit" en mathématique car certaine chose ne sont pas écrite. Par exemple lorsqu'on écrit 1/a <-1 cela signifie quoi ?
Cela signifie que seule la borne supérieur limite les possibilités car on peut avoir un nombre 1/a aussi petit qu'on le souhaite dans les négatifs (notion de (- l'infini) ). Du coup, il va falloir revoir tes raisonnements sur les manipulations que tu as effectué.

En effet, si A<-13 ET -8<B<40
Alors le nombre C=A+B peut prendre quelles valeurs ? Ou dit autrement, dans quel intervalle se balade C ? Ou quel est l'encadrement de C s'il existe ?

C < 40-13
C < 27 ... ?


Donc pour les encadrements du b) :

si a > 0 ( soit 0<a<5) :
1/a > 1/5
d'où : -3+1/5 < -b+1/2
-14/5 < -b+1/2

si a < 0 (soit -1<a<0)
1/a < -1
d'où : -b+1/2 < 7-1
-b+1/2 < 6

...

Merci beaucoup pour votre aide en tout cas

Excellent pour les deux questions!

Du coup, conclusion pour l'encadrement ?

Il s'agit de comprendre qu'ici, on vient de dire qu'on avait un c=-b+1/a d'une part inférieur à 6 et d'autre par supérieur à -14/5, donc il faut conclure en simplifiant l'écriture mathématique au plus possible si nous le pouvons.

En espérant que cela soit plus clair au niveau du vocabulaire mathématique et donc que son utilisation sur les inégalité commence à être plus abordable.

Bon courage pour la suite!

S = ]-14/5;+∞[U]-∞;6[ = R
...
Merci !

Nickel!

Donc là, cela donne R tout entier car -14/5 est plus petit que 6, donc les deux domaines se chevauche. Il est possible de faire des domaines qui ne se chevauchent pas et donc la réponse serait l'union de deux intervalles.

Bon courage pour la suite!

Merci

c) a * b

Si -1 < a < 5,
alors -1 < a < 0 (A1) et 0 < a < 5 (A2) (et a=0)
De même, si -7 < b < 3,
alors -7 < b < 0 (B1) et 0 < b < 3 (B2) (et b=0)

On a alors :
A1*B1 (-*-=+) => -1 * -7 > ab > 0 <=> 0 < ab < 7
A1*B2 (-*+=-) => -1 * 3 < ab < 0 <=> -3 < ab < 0
A2*B1 (+*-=-) => -7 * 5 < ab < 0 <=> -35 < ab < 0
A2*B2 (+*+=+) => 0 < ab < 5*3 <=> 0 < ab < 15
On a également pour a=0 et b=0, ab = 0

L'union de ces intervalles donne :
S = ]0;7[U]-3;0[U]-35;0[U]0;15[U]0;0[ = ]-35;15[

...

Merci

Bonsoir et désolé, je n'ai pas pu me connecter avant.

Alors, on a bien tous les cas (il y a en a même deux de trop mais il faut mieux en avoir de trop que pas assez ). Cependant, il y a une erreur dans la manipulation qui est peut-être dû à une méconnaissance d'une propriété ou plutôt d'une "propriété fausse".

En effet, on ne peut pas multiplier par une inégalité qui est négative, il faut d'abord faire une étape intermédiaire pour se ramener à une inégalité ne contenant que des nombres positifs.

En effet, la multiplication termes à termes comme tu l'as fait (il y a d'ailleurs une erreur sur le 2ème et le 3ème calcul où tu ne multiplies pas termes à termes ce qui est dommageable par contre car on ne sait faire que cela pour les inégalités), ne fonctionne que si l'inégalité par laquelle on multiplie ne contient QUE des nombres positifs. Or le B1 par lequel tu multiplies est négatif, il va donc falloir le rendre positif avant toute multiplication membre à membre.

Pour ce faire, nous allons faire ainsi (je reprend tes deux premiers calcul).

A1*B1 n'est pas possible car B1 est une inégalité de nombres négatifs, il faut donc changer cela.
Pour cela, je vais considérer -B1 qui elle sera une inégalité de nombres positifs. En effet:
-B1 : 0<-b<7 (car -1 *(-7)=7 )

Maintenant, je peux multiplier membre à membre les deux inégalités A1*(-B1) ce qui donne -A1*B1 pour l'instant:

0*(-1) < a*(-b) < 7*0

Donc -a*b = 0 d'où a*b=0 (en multipliant par (-1) l(égalité)
Conclusion: A1*B1 donne a*b = 0


Maintenant pour ton deuxième calcul: A1*B2, je regarde si B2 ne contient que des nombres positifs et c'est bien le cas, donc je peux effectuer la multiplication membre à membre ce qui donne:

(-1)*0 < a*b < 0*3
Donc: ab = 0
Conclusion: A1*B2 n'apporte rien de plus que ce qu'on savait déjà à savoir que le produit a*b peut être nul.

Je te laisse refaire la démarche pour les deux autres produits d'inégalité à envisager.

Bon courage!

Bonsoir et à mon tour désolée, je n'ai pas pu me connecter avant !

Je ne savais pas que l'on ne pouvait pas multiplier membre à membre deux encadrements négatifs ... à vrai dire, je découvre toutes ces règles de calcul en plein mois de juillet ... je n'en ai jamais entendu parler auparavent ! En tout cas merci infiniment pour vos explications claires et précises !

On a donc toujours :
Si -1 < a < 5,
alors -1 < a < 0 (A1) et 0 < a < 5 (A2) (et a=0)
De même, si -7 < b < 3,
alors -7 < b < 0 (B1) et 0 < b < 3 (B2) (et b=0)

Juste une question : pour A1*B2, j'allais procéder comme vous, c'est-à-dire multiplier membre à membre, mais je me suis dit que si -1 < a < 0 et 0 < b < 3, je ne voyais pas pourquoi ab = 0 , par exemple : 2*-0.5 n'est pas égal à 0 ! Pourtant, -0.5 ∈ ]-1;0[ et 2 ∈ ]0;3[ ... (encore une question )

Pour les deux multiplications qui restent :
A2*B1 => -7*0 < ab < 0*5 <=> ab=0
A2*B2 => 0 < ab < 5*3 <=> 0 < ab < 15

Si j'ai bien compris, on peux multiplier membre à membre deux inégalités (une négative et l'autre négative) sans changer le sens de l'inégalité ?

Merci

Bonsoir,

Par rapport à ta remarque:

Citation :

Juste une question : pour A1*B2, j'allais procéder comme vous, c'est-à-dire multiplier membre à membre, mais je me suis dit que si -1 < a < 0 et 0 < b < 3, je ne voyais pas pourquoi ab = 0 , par exemple : 2*-0.5 n'est pas égal à 0 ! Pourtant, -0.5 ∈ ]-1;0[ et 2 ∈ ]0;3[ ... (encore une question )

J'ai été trop vite hier soir. Comme quoi, il n'est pas bon de ne pas se relire. En effet, si je prend, a=-0,5 (bien dans l'intervalle) et b=1 (bien dans l'intervalle aussi), j'ai leur produit qui est égal à -0,5 et donc qui n'est pas nul. Où est Charlie ? Heu... où est l'erreur ?

L'erreur est dans ce que j'ai carrément écrit: "on ne peut pas multiplier par une inégalité avec des nombres négatifs" et pourtant je le fais !!!! Comme quoi, personne n'est pas à l'abri d'une erreur et ta remarque est donc juste.

Pour palier au problème, il faut multiplier l'inégalité sur a par -1 pour se ramener à des nombres positifs ce qui donne:

0<-a<1 (car -1*(-1)=1 ) et 0<b<3

Donc, je peux effectuer la multiplication membre à membre (vu que j'ai des inégalité sur des nombres positifs) ce qui donne:

0*0 < (-a)*b < 1*3

c'est à dire 0<-ab < 3

Conclusion: -3 < ab < 0 (et sur l'exemple que tu avais pris, -0,5 est bien dans cet intervalle ce qui à défaut de prouver quoique ce soit permet au moins de dire que le calcul "à l'air correct" ).


Et il faut que je reprenne mon l'autre cas où j'ai fait la même erreur (je suis impardonnable !!!!) A1*B1

On a donc:
A1: -1 < a < 0 => 0 < -a < 1
B1: -7 < b < 0 => 0 < -b < 7

Donc: 0*0 < (-a)*(-b) < 1*7 c'est à dire 0 < ab < 7

On a donc pour l'instant: -3 < ab < 0 et 0 < ab < 7 c'est à dire - 3 < ab < 7

Maintenant, par rapport à ce que tu as fait:

Citation :

A2*B1 => -7*0 < ab < 0*5 <=> ab=0

Là, il y a une erreur car tu multiplies pas -7 < b < 0 qui est négatif, il faut donc changer les signes de l'inégalité et les signes des membres ou simplement passer par la méthode que je te propose à savoir se ramener à une inégalité de membres positifs c'est à :

0 < a < 5 (déjà positif) et -7 < b < 0 => 0 < -b < 7 (je multiplie pas -1 en changeant les signes)

Donc: A2*B1 : 0*0 < a*(-b) < 5*7 c'est à dire 0 < -ab < 35

Conclusion: A2*B1: -35 < ab < 0

Puis ton deuxième calcul qui est juste quant à lui:

Citation :

A2*B2 => 0 < ab < 5*3 <=> 0 < ab < 15

Conclusion générale: -3 < ab < 7 ET -35 < ab < 0 ET 0 < ab < 15 donc le plus large est celui que tu avais trouvé à savoir:
-35 < ab < 15

sauf que cette fois-ci, nous avons tout démontré cas par cas en utilisant les deux règles suivantes:
- multiplier par -1 permet de changer le sens des inégalité (multiplier par une constante négative)
- On peut multiplier membre à membre deux inégalité étant toutes les deux positives.

Désolé pour le cafouillage (pourtant j'avais bien noté les propriétés mais je les ai mal appliqué à croire que j'avais la tête ailleurs) mais n'hésite pas à poser tes questions surtout (même si nous devons démontrer ou re-démontrer certaines propriétés bien au contraire).

Je vais te rassurer tout de même, il s'avère que maintenant, ce genre d'exercice n'est plus donné en cours pour la simple et bonne raison qu'il faut avoir une excellente maîtrise des inégalités (changement de sens, addition, soustraction, multiplication, division par des entiers puis addition et multiplication de deux inégalités.

Bon courage pour la suite!

Bonjour,

Waw ! Je pensais pas que c'était aussi délicat que ça ! Merci beaucoup pour vos explications =)

On a donc :

Si -1 < a < 5,
alors -1 < a < 0 (A1) et 0 < a < 5 (A2) (et a=0)
De même, si -7 < b < 3,
alors -7 < b < 0 (B1) et 0 < b < 3 (B2) (et b=0)

A1 / B1 :
On multiplie l'encadrement de a par -1 : 0 < -a < 1, et de même pour l'encadrement de b : 0 < -b < 7.
a/b = a*1/b, on calcule donc l'inverse de b : la division par 0 n'étant pas possible, on se retrouve avec 1/7 < -1/b. On multiplie les deux encadrements : 0 *1/7 < -a*(-1)/b <=> 0 < a/b .

A1 / B2 :
On multiplie l'encadrement de a par -1 : 0 < -a < 1.
a/b = a*1/b, on calcule donc l'inverse de b : la division par 0 n'étant pas possible, on se retrouve avec 1/3 < 1/b. On multiplie les deux encadrements : 0*1/3 < -a*1/b <=> 0 < -a/b. On multiplie par -1 : a/b < 0.

A2 / B1 :
Même principe : on multiplie l'encadrement de b par -1 : 0 < -b < 7.
a/b = a*1/b, on calcule donc l'inverse de b : la division par 0 n'étant pas possible, on se retrouve avec 1/7 < -1/b. On multiplie les deux encadrements : 0*1/7 < a*(-1)/b <=> 0 < -a/b. On multiplie par -1 : a/b < 0.

A2 / B2 :
a/b = a*1/b, on calcule donc l'inverse de b : la division par 0 n'étant pas possible, on se retrouve avec 1/3 < 1/b. On multiplie les deux encadrements : 0*1/3 < a*1/b <=> 0 < a/b.

S = ]0;+∞[U]-∞;0[U]0;0[ = R ...

(j'ai comme l'impression d'avoir fait une catastrophe )

Une petite question : 0 n'est pas inclu dans les 4 intervalles trouvés pour le c), est-ce qu'il faut ajouter un dernier cas A3 (a=0) et B3 (b=0) pour prouver que ab=0 et ainsi l'inclure dans l'encadrement final ? De même pour le d) .

Merci

Bonsoir,

Excellent travail !!!

En effet, il faut ajouter le singleton 0 car si je prend a=0, en utilisant par exemple b=1 c'est à dire 1/b=1 donc a/b=0 qui doit bien être inclus dans l'intervalle.

Donc ce n'est pas "U]0;0[" à la fin mais "U{0}" pour avoir la valeur 0.

Il faut savoir qu'en mathématique il existe différents types d'ensemble de nombres. Tu connais ce qu'on appelle les "grands ensembles de nombres" à savoir:

- les entiers naturels N ;
- les entiers relatifs Z ;
- les rationnels (ou "nombres quotients") Q ;
- les réels R

Bien entendu, tu connais sans doute les liens qui existent entre tous ces ensembles de nombres. A savoir:

N "inclus dans" Z "inclus dans" Q "inclus dans" R

c'est à dire que:
Tous les nombres entiers naturels sont des entiers relatifs (les positifs).
Tous les entiers relatifs sont des nombres relatifs (le fait qu'on peut diviser les nombres relatifs par 1 ce qui donne un quotient)
Tous les nombres rationnels sont des nombres réels (les réels sont définis comme les limites des nombres rationnels en fait, je ne sais pas si un prof a abordé cela car c'est hors programme mais cela à son intérêt pour comprendre les ensemble de nombre).

Ensuite, on peut ajouter entre Z et Q des nombres qu'on "définit" en 6ème à savoir les nombres décimaux (qui sont des nombres rationnels en fait mais écrit sous la forme de deux membres dont l'une est dit entière et l'autre est dite décimale qu'on définit à partir des fractions décimales qui ne sont que des quotients de nombre entier après tout). Cet ensemble se note D (comme décimal en fait).


Puis, tu as vu les intervalles qui sont en fait des ensembles de nombres réels (dont inclus dans R) mais dont on donne une borne supérieur et une borne inférieur dans l'ensemble des réels. Sauf que pour pouvoir écrire des intervalle étant infini à gauche ou à droite, il fallait trouver une notation pour cette notion d'infini, ∞. MAIS attention "-∞" est aussi une notation tout comme "+∞", l'un voulant dire l'infini très petit chez les négatif et l'autre l'infini très grand chez les nombres positifs.

Enfin, il existe enfin ensembles très petit qui contient qu'un seul nombre et qu'on appelle "singleton" et cela se note {.}. Ensuite, on peut mettre n'importe quel nombre à l'intérieur aussi bien un entier, un rationnel, un réel.


A la suite de ces notations d'ensemble de nombre, Tu connais sans doute les probabilités comme le lancé de dé par exemple. Lorsqu'on cherche tous les issues possibles, on a ceux-ci: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (les six faces du dé en fait). On appelle d'ailleurs cela l' "ensemble de issues possibles", il s'agit bien d'un ensemble mais qu'on ne note pas (enfin beaucoup de collègues ne le notent pas car ils pensent que ces notions sont complexes ce que je réfutes pour ma part mais bon, chacun ses méthodes après tout). Et bien l'ensemble de ces issues s'écrit ainsi:
{1;2;3;4;5;6}

C'est à dire qu'on a mis bout à bout des singletons de nombres tout simplement.

Voilà, pour une partie cours qui pourrait t'aider à comprendre la notion d'ensemble de nombre dans sa globalité.

Bonne continuation et n'hésite pas à poser tes questions!

Merci beaucoup de votre aide durant ce long (trèèèès lonnnng) exercice. Je le trouve cependant interressant, car il fait réfléchir sur les principes qui se cachent derrière les règles de calcul.
Juste une 'tite question : je me suis baladé dans la cage aux exercices des 1ères, et je n'ai pas trouvé de problèmes concernant les fonctions polynomes du second degré ... Je me permets (je suis incorrigible !) de vous demandez s'il vous serait possible d'en poster un ?
Je vous remercie encore de votre aide,
Scientia