arithmétique

x-1 divise 2
x-2 divise 3
x-3 divise 4
x-4 divise 5
x-5 divise 6
déterminer x ?

Bonsoir,

N'est-ce pas plutôt:

Citation :

On suppose que:
2 divise x-1
3 divise x-2
4 divise x-3
5 divise x-4
6 divise x-5
Déterminer au moins un réel x vérifiant les cinq hypothèses.

Car tel que tu as écrit ton énoncé, x n'existerait pas en soi car les diviseurs de 2 sont 1 et 2 donc soit x-1=1 soit x-1=2 c'est à dire soit x=2 soit x=3.
Or d'après la 3ème ligne de ton énoncé, on calcul x-3 ce qui nous donnerait des nombres négatifs ou 0 et cela ne divise pas les nombres entiers positifs.

Je propose donc l'énoncé ci-dessus en guise de correction.

Bon courage!

ouii c'est l'inverse ( je me trompe dans le vocabulaire )
en fait j'ai réalisé que les solutions s'écrient sous la forme 60k-1 avec k un élément de Z ..
est ce qu'il suffit de chercher le ppcm de 2,3,4,5,6 et ses multiples diminués de 1 ?

Bonjour,

Vu que dans un premier temps, le but est de déterminer une seule valeur, l'idée serait d'exprimer x en fonction de toute les constante puis d'éliminer les constantes une par une pour qu'il en reste plus qu'une.

Sinon, ta solution me semble bizarre par rapport à la constante. En effet, si k est un entier relatif, nous trouvons donc pour k=0, x=-1. Or, 2 ne divise pas -1 et de même pour tous les autres. Ne pas oublier qu'on travailler sur des nombres entiers naturels ici et en plus il faut toujours tester pour le 0. Donc pour k=1 cela fonctionne en effet.

Bon courage!

donc les solutions s'écrivent 60k-1 avec k un élément de N* ?
et est ce qu'il suffit de chercher le ppcm de 2,3,4,5,6 et ses multiples et vérifier les hypothèses , comme justification ?

Bonjour,

La solution est bien le ppcm et ses multiples. Pour la soustraction par -1 elle provient de la différence entre le diviseur et la soustraction par rapport à x (pour 2, on soustrait 1, pour 3 on soustrait 2 et ainsi de suite, ce qui donne bien une différence de 1 à chaque fois).

Si tu as un forme de la solution et que tu vérifies que cette forme convient, tu as donc l'existence d'un ensemble de solution mais tu n'as pas la certitude que tu aies trouvé la totalité des solutions. D'où l'intérêt de faire la résolution globale en fait. Après, je ne sais pas les bases que tu as en matière d'arithmétique vu que je ne connais pas les programmes en vigueur en Tunisie mis à part qu'il est beaucoup plus approfondi que celui en vigueur en France (je ne donnerais pas ce genre d'exercice à des élèves de 1ère en France car sauf ceux qui sont du niveau des olympiades, il risque d'y avoir un grand fossé entre la question et leur bagage mathématique).

Donc si tu n'as pas accès à un théorème ou une propriété te menant à utiliser le ppcm (qui est en fait ce qu'on appelle le théorème chinois d'ailleurs), il va falloir re-démontrer cela en passant par des constantes intermédiaire comme suit:

6 divise x-5 donc il existe un k1 tel que x-5 = 6*k1 c'est à dire x= 5 + 6*k1

De plus, 5 divise x-4, donc il existe un k2 tel que x-4 = 5*k2 c'est à dire x=4 + 5*k2

Donc 5+6*k1 = 4 + 5*k2 et ainsi de suite pour déduire tous les k_alpha au fur et à mesure jusqu'à retrouver la forme de nos solutions.

Bon courage!

quel est le niveau des élèves âgés de 16 ans en France ? je suis en deuxième année ici et je pense qui notre programme est inspiré des programmes 1er et de 2eme français .. est ce que vous pouvez me donner un lien du programme français pour vérifier ?

En fait, il n'y pas les même objectifs en terme de programme. En effet, nous avons un programme qui est encyclopédique ce qui reste du coup très superficiel dans les notions abordées. Du coup, les notions que tu abordes sont vu en 5ème puis revu en 3ème avec la notion de pgcd mais la notion de ppcm n'est plus vu depuis 10 ans en gros par exemple. De même la notion de congruence (divisibilité et utilisation de la divisibilité) est vu en spé maths mais surtout en Bac+1. Tu peux retrouver les programme sur le site d'eduscol.

Bonne continuation!

le problème que j'ai déjà étudié le pgcd et le ppcm depuis 5 ans mais d'une façon générale.. chaque année le type des exercices évolue pour atteindre le genre ci dessus ...

Pour ma part, ce genre d'exercice est dès plus intéressant au vu de la technicité d'une part et de la réflexion qu'il faut entreprendre d'autre part.

Si tu veux le simplifier et mieux visualiser d'où vient le "-1", il suffit de faire de la "congruence" c'est à dire adapter ton écriture au critère de divisibilité.

En effet, si x-1 est divisible par 2, cela signifie que si j'ajoute 2 ou un multiple de 2 alors je ne change pas le critère de divisibilité. Par conséquent x-1+2=x+1 est divisible par 2.

En effectuant le même raisonnement sur toutes les hypothèses que tu as, tu arrives à une seule et unique hypothèse à savoir celle-ci:

x+1 divisible par 2, 3, 4, 5 et 6

D'où l'idée du PPCM des 5 nombres présents (plus petit commun multiple) vu qu'il s'agit bien de la définition même d'un ppcm ici.

JE te laisse rédiger la fin mais avec ce raisonnement là, tu as l'unicité de la forme du résultat et l'existence sera dans la vérification de toute les hypothèses initiales avec la forme trouvée.

Bonne continuation!

c'est génial ! très fort !! merci )

De rien, n'hésite pas à propose une rédaction complète si tu le souhaites.

Sinon, à bientôt au sein du forum!