polynomes

Bonjour , je bloque dans un exercice de polynôme ; j’espère votre aide  et merci
1) mq si x²-2x=1/(x-2) alors x^3-4x²+4x-1=0
2) en déduire que le polynôme défini par p(x)=x^3-4x²+4x-1 admet au moins deux racines
pour 1 c'est bon mais 2) :/

Bonsoir,

J'avoue que je galère un peu pour trouver un lien entre les deux questions mais j'ai peut-être une idée pour passer de l'une à l'autre.

En gros la première question mêlée à la 2ème donne ceci:
Si x*(x-2) = 1/(x-2) alors P(x)=0

Du coup, je me dis la chose suivante, soit la première équation peut nous donner des solutions (points d'égalité) soit il faut prendre cette équation par la notion de fonction.

Du coup, si je pose F et G deux fonctions suivantes F(x)=x*(x-2) et G(x)=1/(x-2)

Du coup, nous sommes en recherche des points d'intersection des courbes représentant les fonction F et G.

Comment montrer que F et G ont au moins deux points d'intersection ? Je ne vois que cette piste à explorer pour ma part.

Bon courage!

c'est ça , le problème c'est qu'on doit montrer qu'on a au moins deux racines sans les calculer !!!
f(x)=x(x-2)
g(x)=1/(x-2)=x/[x(x-2)] ' j'ai déjà montré que x est strictement positif '
x(x-2)=x/[x(x-2)]
mais j'ai pu passer sans calculer les racines !!

Dans l'idée, il faudrait regarder les courbes simplement.

1) Où est l'asymptote de la fonction G ? Faire un tableau de variation au pire.
2) Où sont les racines de F ? Faire un tableau de variation au pire.
3) En déduire, il y a au moins deux racines pour P.

Bon courage!

j'ai pas compris la notion du ' où ' en parlant d'asymptotes en fait les asymptotes sont les droites d'équations x=2 et y=0 . G est de plus décroissante sur ]-oo,2[ et décroissante aussi sur ]2,+oo[ . F est décroissante sur ]-oo,1[ et croissante sur ]1,+oo[ . les deux racines se trouve sur les deux asymptotes . mais que peut-on conclure de ça ?

Bonsoir,

Ok pour les asymptotes.

Mais du coup, en partant de ce principe là, tu constates que le courbe représentant F est croissante et dépasse la droite d'équation x=2 qui est l'asymptote de la fonction G. Du coup, nous sommes sûr qu'il y a au moins un point d'intersection entre les deux courbes.

Avec le même raisonnement de l'autre côté en utilisant le minimum de la fonction F, je pense qu'on peut conclure qu'il y a aussi un autre point d'intersection ici aussi.

Du coup, il y a au minimum deux points d'intersection et donc deux solutions à notre équation.

Bonne continuation!

merci c'est clair