Bonjour à toutes et tous et bon courage pour la suite MrTheYo,
Je vous propose une correction de cette exercice et avant de commencer celle-ci je vais revenir sur l'aspect technique de ce genre d'exercice.
Nous avons donc l'exercice suivant:
Résoudre en effectuant un changement de variable les équations suivantes:
1) (x² + x)² + 2(x² + x) - 8 = 0
2) 2*(cos x)² - 3cos(x) + 1 = 0 avec x Є [0 ; π]
3) sin²x + (3/2)*sin(x) - 1 = 0 avec x Є [0 ; π]
4) 2/(x² + 1)² - 2/(x² + 1) + 1/2 = 0
On nous donne la méthode dans l'énoncer, il s'agit d'utiliser un changement de variable. Mais la question qu'on pourrait se poser est la suivante: Pourquoi avons-nous le droit de faire ces changements de variable? Et comment s'opère la résolution après changement de variable?
Cette méthode s'applique à toutes les résolution d'équation du type a*[F(x)]² + b*F(x) + c =0 avec x appartenant au maximum à l'ensemble de définition de F.
Le changement de variable est donc toujours y=F(x) avec x dans l'ensemble défini par l'énoncer.
Mais c'est à partir de ce moment là qu'il faut bien faire attention car nous avons l'équivalence suivante:
Résoudre l'équation a*[F(x)]² + b*F(x) + c =0 avec x dans un ensemble D est équivalent à résoudre le SYSTEME de deux équations à deux inconnues suivant:
y=F(x) avec x dans l'ensemble D
a*y + b*y+ c =0
Il s'agit bien de résoudre un système de DEUX équations et non de résoudre seulement l'équation en y !!!
Maintenant que les bases sont posées, je vais pouvoir vous donner une correction de cette exercice. Pour une question d'efficacité, je vous indiquerai le discriminant des équations en y ainsi que les solutions sans vous donner les détails des calculs car la méthode est plus important que les calculs ici même si il est toujours important de mener à bien un calcul.
1) On pose: y= x² + x avec x un nombre réel quelconque
La résolution de l'équation (x² + x)² + 2(x² + x) - 8 = 0 est donc équivalent à la résolution du système suivant:
y= x² + x avec x un nombre réel quelconque
y² + 2*y - 8 = 0
On a: y² + 2*y - 8 = 0 <=> y= -4 ou y=2 (Delta=36)
Donc -4 = x² + x ou 2= x² + x
La première équation n'a pas de solutions réels car le discriminant est négatif et la deuxième équation admet -2 ou 1 comme solution réel.
Donc les solutions réels de l'équation (x² + x)² + 2(x² + x) - 8 = 0 sont -2 et 1
2) On pose: y= Cos(x) avec x compris entre 0 et π
Les solutions de l'équation 2*Cos²(x) - 3*Cos(x) + 1 = 0 avec x compris entre 0 et π sont solutions du système:
y=Cos(x) avec x compris entre 0 et π
2*y² - 3*y + 1 = 0
On a: 2*y² - 3*y + 1=0 <=> y=1 ou y=1/2 (Delta=1)
Donc 1=Cos(x) ou 1/2=Cos(x) avec x compris entre 0 et π
D'où x= 0 ou x=π/3
Donc les solutions de l'équation 2*Cos²(x) - 3*Cos(x) + 1 = 0 avec x compris entre 0 et π sont 0 et π/3
3) On pose: y=Sin(x)
Donc résoudre l'équation sin²x + (3/2)*sin(x) - 1 = 0 avec x Є [0, π] revient à résoudre le système:
y=Sin(x) avec x Є [0, π]
y² + (3/2)*y - 1 =0
On a: y² + (3/2)*y - 1 =0 <=> y= -2 ou y= 1/2 (Delta= 25/4)
Donc -2=Sin(x) ou 1/2=Sin(x) avec x Є [0, π]
La première équation n'admet pas de solution car un sinus est toujours compris entre -1 et 1 etl a deuxième équation admet π/6 comme solution comprise entre 0 et π. (J'avais d'ailleurs fait une erreur d'inattention lors de la résolution et m'en excuse auprès de MrTheYo pour cette équation-ci).
Donc la solution de l'équation sin²x + (3/2)*sin(x) - 1 = 0 avec x Є [0, π] est π/6
4) Tout d'abord, nous savons que pour tout réel x, on a: x² + 1 >0. Donc l'équation a bien un sens sur l'ensemble des réel.
De plus, 2/(x² + 1)² - 2/(x² + 1) + 1/2 = 0 <=> 2*[1/(x² + 1)²] - 2*[1/(x² + 1)] + 1/2 = 0 <=> 2*[1/(x² + 1)]² - 2*[1/(x² + 1)] + 1/2 = 0
(car pour tout réel a et b avec b non nul, on a: a/b = a*(1/b) et 1/b² = (1/b)² )
Donc nous allons poser: y= 1/(x² +1) pour tout réel x
La résolution de l'équation 2/(x² + 1)² - 2/(x² + 1) + 1/2 = 0 revient donc à la résolution du système:
y= 1/(x² + 1)
2*y² - 2*y + 1/2 = 0
On a: 2*y² - 2*y + 1/2 = 0 <=> 2*[y² - y + 1/4] = 0 <=> y² - y + 1/4 = 0 <=> y² - 2*(1/2)*y + (1/2)² = 0 <=> (y - 1/2)² =0 <=> y=1/2
Vous pouvez aussi calculer le discriminant et vous trouverez que celui-ci est nul ou utiliser la méthode de l'expression canonique comme je l'ai fait ici.
Donc 1/2 = 1/(x² + 1) <=> x² + 1 = 2 <=> x² = 1 <=> x=1 ou x=-1 (petit rappel: a/b = c/d <=> a*d = c*b pour tout réel a, b, c, d avec b et d non nul)
Donc les solutions de l'équation 2/(x² + 1)² - 2/(x² + 1) + 1/2 = 0 sont 1 et -1
Ceci termine donc cette correction qui j'espère vous sera utile car même si en 1ère S cette méthode de changement de variable est pas très étoffée, elle reste une très bonne méthode à connaître pour ce genre d'application et pour des application que vous aurez plus tard.
Je vous souhaite une bonne continuation à toutes et tous et @bientôt au sein du forum!
Lun 4 Fév - 20:29
!!!!
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A la prochaine! et encore merci.