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 Exercice sur les polynomes

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur les polynomes   Lun 4 Fév - 19:29

Pourl a 4) c'est ok

Par contre pour le 3), ce n'est pas encore celà. Tu as y1=(-3-5)/2 et y2=(-3+5)/2, donc ....

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exercice sur les polynomes   Lun 4 Fév - 19:56

y1 = -4 et y2 = 1
x1 = -4 = sin x --> Impossible.
x2= Pi/2
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur les polynomes   Lun 4 Fév - 20:13

Tout à fait Very Happy!!!!

Et bien voilà un exercice très intéressant en tout cas menant rigueur dans le calcul et notion de changement de variable qui s'avère utile dans certaines circonstance. Il faut savoir où l'on va mais surtout savoir d'où on vient pour ne pas oublier de revenir à l'inconnue principale.

J'espère qu'avec ceci tu as réussi à bien assimiler cette notion qui je l'avoue est un peu complexe au premier abord.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exercice sur les polynomes   Lun 4 Fév - 20:19

Merci pour ton aide.
J'espère retrouver cette notion dans de nombreux exercices rendeer .
Bon, les autres exos m'attendent. Exclamation A la prochaine! et encore merci.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur les polynomes   Sam 16 Fév - 15:34

Bonjour à toutes et tous et bon courage pour la suite MrTheYo,

Je vous propose une correction de cette exercice et avant de commencer celle-ci je vais revenir sur l'aspect technique de ce genre d'exercice.

Nous avons donc l'exercice suivant:

Résoudre en effectuant un changement de variable les équations suivantes:

1) (x² + x)² + 2(x² + x) - 8 = 0
2) 2*(cos x)² - 3cos(x) + 1 = 0 avec x Є [0 ; π]
3) sin²x + (3/2)*sin(x) - 1 = 0 avec x Є [0 ; π]
4) 2/(x² + 1)² - 2/(x² + 1) + 1/2 = 0

On nous donne la méthode dans l'énoncer, il s'agit d'utiliser un changement de variable. Mais la question qu'on pourrait se poser est la suivante: Pourquoi avons-nous le droit de faire ces changements de variable? Et comment s'opère la résolution après changement de variable?

Cette méthode s'applique à toutes les résolution d'équation du type a*[F(x)]² + b*F(x) + c =0 avec x appartenant au maximum à l'ensemble de définition de F.

Le changement de variable est donc toujours y=F(x) avec x dans l'ensemble défini par l'énoncer.

Mais c'est à partir de ce moment là qu'il faut bien faire attention car nous avons l'équivalence suivante:

Résoudre l'équation a*[F(x)]² + b*F(x) + c =0 avec x dans un ensemble D est équivalent à résoudre le SYSTEME de deux équations à deux inconnues suivant:

y=F(x) avec x dans l'ensemble D
a*y + b*y+ c =0

Il s'agit bien de résoudre un système de DEUX équations et non de résoudre seulement l'équation en y !!!


Maintenant que les bases sont posées, je vais pouvoir vous donner une correction de cette exercice. Pour une question d'efficacité, je vous indiquerai le discriminant des équations en y ainsi que les solutions sans vous donner les détails des calculs car la méthode est plus important que les calculs ici même si il est toujours important de mener à bien un calcul.

1) On pose: y= x² + x avec x un nombre réel quelconque

La résolution de l'équation (x² + x)² + 2(x² + x) - 8 = 0 est donc équivalent à la résolution du système suivant:

y= x² + x avec x un nombre réel quelconque
y² + 2*y - 8 = 0

On a: y² + 2*y - 8 = 0 <=> y= -4 ou y=2 (Delta=36)

Donc -4 = x² + x ou 2= x² + x

La première équation n'a pas de solutions réels car le discriminant est négatif et la deuxième équation admet -2 ou 1 comme solution réel.

Donc les solutions réels de l'équation (x² + x)² + 2(x² + x) - 8 = 0 sont -2 et 1


2) On pose: y= Cos(x) avec x compris entre 0 et π

Les solutions de l'équation 2*Cos²(x) - 3*Cos(x) + 1 = 0 avec x compris entre 0 et π sont solutions du système:

y=Cos(x) avec x compris entre 0 et π
2*y² - 3*y + 1 = 0

On a: 2*y² - 3*y + 1=0 <=> y=1 ou y=1/2 (Delta=1)

Donc 1=Cos(x) ou 1/2=Cos(x) avec x compris entre 0 et π
D'où x= 0 ou x=π/3

Donc les solutions de l'équation 2*Cos²(x) - 3*Cos(x) + 1 = 0 avec x compris entre 0 et π sont 0 et π/3


3) On pose: y=Sin(x)

Donc résoudre l'équation sin²x + (3/2)*sin(x) - 1 = 0 avec x Є [0, π] revient à résoudre le système:

y=Sin(x) avec x Є [0, π]
y² + (3/2)*y - 1 =0

On a: y² + (3/2)*y - 1 =0 <=> y= -2 ou y= 1/2 (Delta= 25/4)

Donc -2=Sin(x) ou 1/2=Sin(x) avec x Є [0, π]

La première équation n'admet pas de solution car un sinus est toujours compris entre -1 et 1 etl a deuxième équation admet π/6 comme solution comprise entre 0 et π. (J'avais d'ailleurs fait une erreur d'inattention lors de la résolution et m'en excuse auprès de MrTheYo pour cette équation-ci).

Donc la solution de l'équation sin²x + (3/2)*sin(x) - 1 = 0 avec x Є [0, π] est π/6


4) Tout d'abord, nous savons que pour tout réel x, on a: x² + 1 >0. Donc l'équation a bien un sens sur l'ensemble des réel.

De plus, 2/(x² + 1)² - 2/(x² + 1) + 1/2 = 0 <=> 2*[1/(x² + 1)²] - 2*[1/(x² + 1)] + 1/2 = 0 <=> 2*[1/(x² + 1)]² - 2*[1/(x² + 1)] + 1/2 = 0

(car pour tout réel a et b avec b non nul, on a: a/b = a*(1/b) et 1/b² = (1/b)² )

Donc nous allons poser: y= 1/(x² +1) pour tout réel x

La résolution de l'équation 2/(x² + 1)² - 2/(x² + 1) + 1/2 = 0 revient donc à la résolution du système:

y= 1/(x² + 1)
2*y² - 2*y + 1/2 = 0

On a: 2*y² - 2*y + 1/2 = 0 <=> 2*[y² - y + 1/4] = 0 <=> y² - y + 1/4 = 0 <=> y² - 2*(1/2)*y + (1/2)² = 0 <=> (y - 1/2)² =0 <=> y=1/2

Vous pouvez aussi calculer le discriminant et vous trouverez que celui-ci est nul ou utiliser la méthode de l'expression canonique comme je l'ai fait ici.

Donc 1/2 = 1/(x² + 1) <=> x² + 1 = 2 <=> x² = 1 <=> x=1 ou x=-1 (petit rappel: a/b = c/d <=> a*d = c*b pour tout réel a, b, c, d avec b et d non nul)

Donc les solutions de l'équation 2/(x² + 1)² - 2/(x² + 1) + 1/2 = 0 sont 1 et -1


Ceci termine donc cette correction qui j'espère vous sera utile car même si en 1ère S cette méthode de changement de variable est pas très étoffée, elle reste une très bonne méthode à connaître pour ce genre d'application et pour des application que vous aurez plus tard.

Je vous souhaite une bonne continuation à toutes et tous et @bientôt au sein du forum!

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MessageSujet: Re: Exercice sur les polynomes   Aujourd'hui à 13:54

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