1ère S - Les suites

Vous pouvez m'aider svp, je n'y arrive pas

On considère une suite (U_n) définie par:
U₀=-1
et pour tout nЄN, U_n+1 = 2*U_n + 1/2

1) Calculer les cinq premiers termes de la suite (U_n)

2) On pose pour tout nЄN, V_n=U_n+1-U_n
2)a) Calculer les quatre premiers termes de la suite (V_n)
2)b) Exprimer V_n+1 en fonction de V_n
2)c) Déduire le signe de V_n pour tout n
2)d) Montrer que (U_n) est dércoissante

(Cliquez sur l'image pour voir l'énoncé en grand)

Bonsoir Perhaps,

Ton exercice sur les suites est plutôt intéressant .

Alors le but de cette exercice est de déterminer le sens de variation de la suite (U_n).

En fait, la méthode sera toujours (90%) la même pour déterminer le sens de variation d'une suite. En effet, il suffit de savoir si la différence de deux termes consécutifs de la suite est positive ou négative. C'est à dire qu'on cherche à déterminer le signe de U_{n +1} - U_n.

Maintenant qu'on a posé quelques bases, tu comprends peut-être mieux la démarche sous jacente des questions qui te sont posées.

Dans un premier temps, on te demande de calculer quelques termes de la suite (U_n), pour voir si sur ces quelques termes la suite est croissante ou décroissante.

Tu constates dans un premier temps que la suite (U_n) est définie par récurrence c'est à dire qu'on calcul le terme suivant en fonction du terme précédent. Pour calculer les 5 premier termes de cette suites, il faut donc les calculer dans l'ordre: U₁, puis U₂, puis ....


Pour la deuxième question, on définit une nouvelle suite (V_n) en fonction de (U_n): V_n= U_n+1 - U_n

La question a) est le calcul des premiers termes (je te conseille de calculer jusqu'à V₄ celà suffit largement) puis après on voudrait savoir quelle lien il y a entre V_n+1 et V_n

Nous verrons les deux dernières questions, lorsqu'on aura déjà les deux premières en main, celà sera plus simple .

Bon courage et @bientôt!

Ah ouais, en fait je bloquais sur un truc tout bête du début...
Alors,
1)U₁=2U₀+1/2=2x(-1)+1/2=1,5
U₂=2U₁+1/2=3,5
U₃=2U₂+1/2=7,5
U₄=2U₃+1/2=15,5
U₅=2U₄+1/2=31,5

2)V₀=U₁-U₀=1,5-(-1)=2,5
V₁=U₂-U₁=2
V₂=U₃-U₂=4
V₃=U₄-U₃=8
V₄=U₅-U₄=16
Mais je n'arrive pas à faire la relation de récurrence, c'est bizarre que V₀ soit plus grand que V₁...(?), sinon après je dois parler de suite géométrique?

Alros en effet, pour la suite V_n, il s'agira d'une suite géométrique.

Cependant, come tu le constantes le V₀ n'est pas la moitié de V₁ comme celà est le cas pour les autres.

Il y a donc un soucis dans le calcul. La difficulté est de trouver où lorsque celà arrive. Sachant que V₀ est calculer à partir de U₀ et U₁, celà signifie donc qu'il y a une erreur sur l'un des deux. Or le U₀ t'es donné par l'énoncer donc même si il n'est pas rare d'avoir des énoncer faux, ici on peut tout de même en déduire qu'il s'agit de ton U₁ qui s'avère faux (ce qui va se répertorier sur les autre terme de la suite d'ailleurs).

Et l'erreur est une erreur d'étourderie assez fréquente. En effet, on a U₀= -1

Tu marques le calcul suivant:

Citation :

U₁=2U₀+1/2=2x(-1)+1/2

2*(-1) + 1/2 = -2 + 1/2 = -3/2 (= -1,5)

Il ne faut pas oublier le "-" dans le calcul celà à son importance.

Du coup je te laisse recalculer les 4 autres termes de la suite (U_n) en faisant attention à chaque fois au signe.

Et après celà, tu verras que la suite (V_n) est bien une suite géométrique. D'ailleurs, si tu as lu la question d'après, tu aurait du te douter qu'il y avait un léger problème vu que tout tes termes de la suite V_n sont positif, or on te demande de montrer qu'ils sont négatif à la question d'après .

Bon courage pour reprendre tes calculs, la suite géométrique se déduit en explicitant ce que vaux V_n+1 en fonction de V_n.

@bientôt au sein du forum!

Effectivement, ça change tout
1)U₁=-1,5
U₂=-2,5
U₃=-4,5
U₄=-8,5
U₅=-16,5

2)a. V₀=-0,5
V₁=-1
V₂=-2
V₃=-4
V₄=-8

Après j'ai plusieurs expressions mais je ne sais pas vraiment quoi en faire et comment les ordonner...:

• V_n+1=V_nxq donc V suite géométrique de raison q=2

• U₀=-1 -> donc U₀<0
  V₀=-0,5 -> donc V₀<0
  On suppose que U_n<0 et V_n<0 (au rang n)
  Alors V_n-U_n < 0
  V_n+1-U_n < 0
  Donc, par récurrence,pour tout _n appartenant à IN, V_n < 0.
  Donc la suite V est décroissante

Enfin je sais pas trop comment relier U à V...

Les calculs sont donc tout à fait juste maintenant .

Alors pour montrer que la suite est bien géométrique de raison 2,

il faut exprimer le terme V_n+1= U_n+2 - U_n+1

Or U_n+2 = 2*U_n+1 + 1/2 et U_n+1 = 2*U_n + 1/2

Donc en faisant la différence des deux terme on retrouve bien V_n+1 = 2*V_n.

Sinon pour montrer que V_n < 0 pour tout n, il faut en effet faire une récurrence.

C'est vrai pour n=0.
On suppose que V_n <0 et on montre que V_n+1 < 0 et on utilise le fait que V_n+1 = 2*V_n < 0 (beaucoup plus simple que ton raisonnement car même moi je me perd dans celui-ci entre les U et les V )

Mais est-ce qu'on aurait pas un moyen plus direct sans utilise la récurrence ?

La réponse et oui et je pense que c'est ce qu'on cherche à te faire faire. En effet, on peut déterminer complètement V_n vu qu'on sait qu'il s'agit du terme général d'une suite géométrique et on connaît son premier terme V₀.

On peut donc écrire V_n = ... ???

Et grâce à l'expression de V_n, tu vas pouvoir en déduire directement que tous les terme sont négatifs sans faire de récurrence ce qui est beaucoup moins coûteux en temps et en rédaction aussi .

Pour trouver la décroissance de (U_n), sert toi de ce que tu viens de montrer et n'oublie pas l'expression de V_n .


Rappel:

Citation :

Une suite (U_n) est dite décroissante si et seulement si pour tout entier naturel, n, on a: U_n+1 < U_n.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose ne s'avère pas clair .

@bientôt au sein du forum!

Bonsoir @toutes et tous,

Je ne proposerai pas de correction de cette exercice. Tous les rappels étant donnés et clairement détaillés dans les messages précédents, je ne pense pas qu'il soit nécessaire de proposer une correction plus détaillée qu'elle n'y est déjà en fait.

Pour conclure, il fallait remarquer que (V_n) était une suite géométrique de raison 2 et de premier terme V₀=-0.5<0. Donc tous les termes étaient bien négatif pour cette suite. Et la dernière question tombait en se rappelant de l'expressino qu'on avait de V_n ainsi que du rappel sur la croissance et la décroissance d'une suite qu'on retrouve dans le message précédent.

Bonne continuation @toutes et tous et n'hésitez pas à poser vos questions!

@bientôt au sein du forum!