les fonctions composées

bonjour,
j'ai un problème sur un exercice car je dois écrire f comme composée de deux fonctions usuelles et je ne vois pas comment il faut faire..
la fonction est : f(x) = racine carrée de 4-2X et elle est définie sur ] - l'infini ; 2]

c'est un exercice pour le niveau de première S

merci de me répondre le plus rapidement possible

Re Bonjour,

Je me suis permis de faire le même changement de place pour ton exercice pour les même raison tu l'imagines bien .

Alors les fonction composer sont en général une plaid pour les élève qui ne comprenne pas à quoi celà peut bien servir et surtout comment on arrive à mettre en évidence des fonctions composées.

Je vais te donner un exemple tout simple pour commencer, je prend la fonction F définie sur R par F(x)= (1+x)² (tu va pouvoir adapter cette exemple à ta fonction de façon analogue).

La question c'est de quoi se compose la fonction F?

Et bien on peut voir qu'il y a 1+x et que celui-ci est mis au carré.

On connaît très bien la fonction G(x)=1+x il s'agit d'une fonction affine que tu as déjà manipulée plus d'une fois. Mais tu connaît aussi la fonction carrée que je peut appeler H(x)=x² que tu as étudié durant ton année de second.

De façon simple je peut donc dire que ma fonction se compose d'une fonction affine (qui est ma fonction G) que je mets au carré en appliquant la fonction H.

En effet, si je fais [G(x)]² je retrouve bien (1+x)²=F(x)


Bon maintenant, si on passe d'un point de vu un peu plus mathématique, je peux dire que F(x)=H(X) avec X=G(x)

Je peux donc marquer celà comme suit: F(x) = H(G(x)) qui s'écrit aussi F(x)= HoG(x) (on dit "F égale H rond G ").



Maintenant ta fonction est F(x)= Racine (4-2*x). La question est la même de quoi se compose cette expression à partir des fonctions que tu connais déjà ?

merci pour ton explication

donc si j'ai bien compris je reviens à ma fonction de f(x) = racine de (4-2x)

G(x)= 4-2x ceci fera une fonction affine et H(x)= racine de x

on obtient f(x) = H (g(x)) qui s'écrit aussi f(x) = HoG

C'est tout à fait ça !

L'avantage de ce genre de mise en forme c'est de pouvoir trouver plus facilement les ensemble de définition de la fonction.

Car si on ne te l'avais pas donné par exemple, il aurait fallu que tu dises que la racine carrée est définie sur R⁺ (= [0; +∞[). Donc la fonction G(x)= 4-2*x doit forcément être positive ou nulle.

Donc l'ensemble de définition de F c'est l'ensemble des réels x tels que G(x)≥0 c'est à dire 4-2*x ≥0 <=> x ≤ 2.

Et tu retrouve bien ton ensemble de définition qui est ]-∞; 2].

Ceci est l'une des utilités des fonctions composées, il y en a une autre au niveau du sens de variation mais chaque chose en son temps .

Bonne continuation !

bonjour a tous!

Je suis tombée sur le même exercice, avec la même question : " écrire f comme composée de deux fonctions usuelles que l'on explicitera", et vos explications m'ont été précieuses....cependant...mon gros problème c'est la rédaction...a vrai dire, je ne sais pas par quoi commencer, et quoi dire...je doute que donner la formule du genre :
" on a la fonction f définie sur ]-l'infini ; 2] par f(x) = racine de 4-2x.

La fonction f est composée de :
g(x) = 4-2x ( fonction affine)
h(x) = racine de x

On obtient donc f(x) = h (g(x))
d'où : f(x) = h o g "

D'ailleurs, qu'entendent-ils par "que l'on explicitera?"

Désolée de toutes ces questions... je reprends mon programme de première avant de recommencer une terminale... et mon niveau de maths est au plus bas...

Bonjour et bienvenu parmi nous !

Vu qu'il s'agit du même exercice tu as bien fait de continuer à la suite de celui-ci.

Alors pour répondre à toutes tes question je vais les remettre dans l'ordre d'application c'est à dire que je vais commencer par la dernière de tes questions. En effet, lorsqu'on te dit "qu'on explicitera" on veut que tu explicites les fonctions qui composent F.

Ensuite, au niveau de la rédaction, il y a deux moyens de faire les choses en fait. En effet, celle que tu écrit est bonne pour ce genre de question.

Cependant, tu peux être plus précis si tu veux comprendre tout le mécanisme comme je l'ai expliqué dans mon dernier message. En effet, tu peux préciser que la fonction G est positive sur ]- l'inf; 2[ et que par conséquent prendre la racine de cette fonction est possible sur cette intervalle.

En conclusion, on peut bien définir la fonction HoG sur ]- l'inf ; 2[ et on constate que cette fonction est égale à F en tout point de cette intervalle donc on a bien F=HoG.

Cette rédaction est vraiment très complète et rarement demandée dans sa totalité. Le but étant de bien comprendre comment on repère une fonction composée et comment on explicite les fonctions qui compose notre grande fonction. Cette méthode permet de mieux "comprendre" la fonction c'est à dire qu'on pourra mieux étudier ces caractéristiques par exemple (parité de la fonction, ensemble de définition, dérivation de la fonction, ....).

En espérant avoir été plus précis sur cette exercice avec mes excuses pour le retard de la réponse mais durant les vacances le temps de réponse est toujours un peu plus long. N'hésite pas à poser d'autre question si besoin était en tout cas, nous sommes là pour y répondre ou pour expliquer autrement celà est aussi possible.

Très bonne initiative en tout cas pour te remettre à niveau avant la rentrée, je ne crois pas en la fatalité pour ma part et je pense que tu pourras t'améliorer avec le temps, du travail et notre aide si celle-ci est requise.