DM sur les complexes (Term S)

Bonjour à tous ,
Je suis depuis 2 jours en panne sèche sur un exercice de complexes (Tle S) et j'ésperais que vous pourriez m'aider
Voilà donc la bête :
Le plan est rapporté à un repère orthonormal Direct (O, e1, e2).
Etant donné un point M d'affixe z, on considère le point M' d'affixe z³.
Déterminer l'ensemble des points M tels que M, M' et A (d'affixe 1) soient alignés.

j'ai déja trouvé
AM' = k * AM
z³ - 1 = k (z - 1)
k = z³ - 1 / z - 1
avec z = x + iy
j'ai calculé
z³ = x³ - 3xy² + i(3yx² - y³)
et après je (on) bloque (pas sur que ce soit correct le z³)

merci de vos réponses !

Edit blagu'cuicui: légère modification du texte pour une meilleur visualisation. Les vecteurs seront en gras et pour les cube soit x^3 ou x³ etl e carré c'est ².

Bonsoir et bienvenu parmi nous !

Alors ton exercice n'est pas des plus simple en effet.

Déjà ton calcul de z³ est juste et l'alignement de trois points s'exprime bien en terme de colinéarité entre deux vecteurs. Ne pas oublier d'ailleurs que ton coefficient de proportionnalité, k, est un réel.

Donc, tu exprimes pour un réel k, AM' = k*AM à l'aide des affixe des points ce qui donne bien: z³ - 1 = k (z - 1)

Avant de diviser par (z-1), il faut déjà faire attention de ne pas diviser par 0. On va donc commencer par traiter le cas z=1 comme cela on sera tranquille et tu pourras bien diviser par (z-1) ensuite.

Donc si z=1, cela signifie que notre point M est confondu avec le point A, et de même z³=1 donc le point M' est confondu avec A. Donc si z=1, on a A=M=M', on peut donc considérer qu'ils sont alignés vu qu'ils sont confondu. Donc le point A(1) appartient à notre ensemble.

Maintenant, on peut donc supposer z différent de 1 et ainsi, on a bien: (z³-1)/(z-1) = k.

Est-ce qu'il ne serait pas possible de simplifier cette fraction sans passer par z=x + i*y ? C'est à dire est-ce que (z³-1) ne se factoriserait-il pas par (z-1) ?