Petit exercice sur les exponentielles

Salut!
Voici un petit exercice touchant plus au exponentielles mais, qui pose quelques petits problèmes...

Voici l'énoncé :

f est la fonction définie sur [0 ; +Infini[ par :

f(x) = x - (1/2) + e^-x


1.a) Etudier les variations de f.
1.b) Etudier la limite de f en + Infini.

2.a) Démontrer que la courbe C qui représente f dans un repère admet une asymptote oblique à D en +Infini.
b) Etudier la position de C par rapport à la droite D.
c) Tracer la droite D et la courbe C.



1.a)
Je calcule la dérivée de f ce qui me donne :


Donc : je dresse un tableau de signes :


(car la fonction exponentielle est toujours positive)

Donc le tableau de variations suivant :


donc f(x) croissante sur [0 ; +Infini[

Rq : Quand x=0, la fonction f est constante!

1.b) Je vois par lecture graphique que lim f(quand c tend vers +Infini) = +Infini
Mais, je suppose que je dois donner plus d'explications que ça mais, je ne vois pas quoi...



2.a) Une asymptote oblique... donc :

Citation :

y= ax+b si lim (x tend vers + Infini) [f(x) - (ax+b)] = 0

On a limf(x) (x tend vers +Infini) = +Infini
Reste à trouver la limite de ax + b et montrer que leur différence = 0.
Problème, comment je trouve la limite de ax +b si je n'ai pas ax +b?

Pour le reste, je verrais après
J'aurais donc besoin de quelques légères précisions (que j'espère en tout cas légères) pour terminer cet exo.
Merci d'avance!

Bonsoir MrTheYo,

Alors première remarque, fait attention lorsque tu dérives une exponentielle, en effet:

La dérivée de e^ax est égale à a*e^ax

Sachant que ici, nous avons a=-1, tu vas vite constater un léger soucis au niveau de ta dérivée. Il va donc falloir rejustifier le signe de la déirivé qui est bien positif mais plus pour les même raison par contre .

Citation :

Rq : Quand x=0, la fonction f est constante!

La fonction F n'est pas constante car elle dépend de x. Donc forcément si tu pose x=0, cela entraine que F(x) as une valeur déterminée qui est égale à F(0). Une fonction est dite constante si pour tout x de son ensemble de définition, elle est égale à une cosntante G(x)=a pour tout x avec a un réel quelconque, icic G est une fonction constante. Mais dès qu'on attribue une valeur à x, on ne parle plus de constance.


Pour la question 1)b), en effet, il faut démontrer que cela tend bien vers +l'infini. Comment faire?

Et bien tu as du étudier les limites de la fonction exponentielle et connaître la limite en +l'infini de e^-x=1/e^x. A partir de là, tu a opuvoir déduire la limite de F sans trop de soucis je pense.


Alors pour trouver l'asymptote à la courbe C en +l'infinie, il faut en effet être dans la configuration que tu as rappelé mais il y a un autre moyen de l'écrire:

En effet, la courbe C admet une asymptote (y=ax+b) en +l'infinie si je peux écrire F sous la forme:

F(x)= ax + b + H(x) avec lim_+inf H(x)=0

Ceci est bien équivalent à ce que tu dis car si je passe ax+b à droite j'ai bien: F(x) - (ax+b) = H(x) et la limite est bien 0 vu que H tend vers 0 en +l'infinie. Je pense qu'après avoir trouver la limite de façon concrète à la question 1)b), tu va pouvoir expliciter la bonne équation d'asymptote.

Ne pas oublier les deux façon de définir et de trouver une asymptote à une courbe. Il y en a une troisième qui permet de calculer carrément le a et le b de l'équation de l'asymptote si ils existe mais je te ferai le rappel à la fin de notre exercice vu que pour le moment nous n'en avons pas l'utilité.

Bon courage pour la suite!

Salut!
Merci pour ta réponse aussi rapide!

1.a) Je calcule donc f'(x) avec f(x) = x - (1/2) + e^-x
f'(x) = 1-e^-x

Problème : La dérivée doit être positive pourtant, -e^^-x est négatif...
J'en déduis donc que soit, le second terme de la dérivée et aussi négatif soit ici : 1 ce qui est impossible! Soit, ma dérivée est fausse... pourtant, j'applique la règle que tu as citée et la dérivée de x étant 1, logiquement, je trouve le f'(x) ci-dessus...

Ta dérivée est tout à fait juste maintenant.

Maintenant, nous sommes sur [0;+l'infini[ et il faut savoir le signe de la dérivée sur cette intervalle là.

La réponse réside dans le fait de savoir pour quel valeur de x a-t-on, F'(x)=0 ?

Ensuite, il ne faut pas oublier les propriétés sur la fonction exponentielle, comme quoi elle est croissante sur R et à valeur dans R₊. Sachant que e⁰=1, celà signifie donc que poru tout x>0, e^x>1 (par croissance de l'exponentielle).

Avec ces données là, tu vas pouvoir savoir le signe exacte de F'

Bon courage et n'hésite pas à me demander des précisions si besoin est. Il n'y a pas beaucoup de propriété à savoir sur l'exponentielle, le principale réside dans savoir sa croissance et sa positivité sur R et savoir que la propriété sur sa dérivée. A partir de celà, tu as le bagage nécessaire sur les exponentielle, si on ajoute tout de même le fameux e⁰=1.

Ca je comprends mais ici, j'ai : 1 - e^-x...
e^-xest positif mais, le - devant tout ceci la rend négative non?

Ce qui est important ce n'est pas que celà soit positif en fait.

On sait que par croissance de l'exponentielle, on a x>0 => e^x>1

Et par décroissance de la fonction x --> 1/x, on a: 1/e^x < 1/1

Conclusion, pour tout x>0, e^-x<1

Maintenant si je multiplie par (-1), on arrive à: -e^-x>-1

Conclsuion générale: pour tout x dans ]0; +l'infini[, F'(x)>0 et on a F'(0)= 1 - e^(-0) = 0. On retrouve bien que le signe de la dérivée est positive comme tu l'avais trouver malgré ton erreur sur la dérivée.

Est-ce que tu vois le raisonnement que j'utilise? En fait, j'utilise surtout la croissance de la fonction exponentielle sur ]0; +l'inf[ poru avoir ce que je cehrche à montrer.

La notion de l'exponentielle est nouvelle c'est normal que tu es quelque difficulté à la manipuler et surtout à avoir en tête les propriétés clés de cette fonction. Mais en fait, il faut la voir dans un premier temps comme une fonction croissante définie sur R puis après il faut savoir que cette fonction est positive. Après, on manipule cette fonction comme une autre fonction croissante et positive comme tu l'as toujorus fait jusqu'à maintenant.

Le but est surtout de bien comprendre le raisonnement que je t'ai exposé au-dessus. Je donne rarement la démarche dans sa totalité mais vu que la fonction est nouvelle, je préfère que tu visualises bien ce qui sert réellement pour cette fonction et je voulais surtout te montrer que cette fonction se manipule comme toutes les autres fonctions lorsqu'on a des inégalités par exemple.

Après ce qu'il faut savoir sur la fonction exponentielle au niveau des calculs réside dans les deux calculs suivants:

e^x*e^y=e^(x+y) et 1/e^x=e^(-x)

Avec ces deux propriétés là, tu as toutes la gamme de calcul possible avecl es exponentielle entre les mains. C'est presque hallucinant mais la facilité de cette fonction là réside dans ces deux propriétés là. Et tu as vu que pour arriver à résoudre mon problème d'encadrement j'utilise la deuxième propriété.

Si quelque chose reste flou n'hésite pas à poser tes questions en tout cas. Sache que cette fonction n'est pas plus compliquée qu'une autre, cela fait le mêem effet que lorsque tu as appris la fonction carré ou la fonction racine carré en second, c'est déconcertant car on ne sait plus très bien comment tout s'applique et ce qu'on a le droit ou non de faire mais avecl a pratique ça va couler tout seul donc ne t'inquiète pas .

Je comprends ton raisonnement mais, quand je rentre -e^-x dans ma calculette, je trouve une courbe sous 0... tandis que e^-x > 0... J'ai fait des captures d'écran pour expliquer ce que je dis :



Ton raisonnement semble logique est doit l'être vu que j'ai compris le principe mais, je trouve étrange d'avoir ça...

Attention à ne pas se laisser avoir par la technologie .

En effet, l'utilisation de la calculatrice ou de l'ordinateur pour tracer des courbe est très pratique et cela évite de calculer les terme un par un. Cependant, il faut bien s'en servir et savoir ce qu'on doit afficher et regarder.

En effet, ici tu as oublié quelque chose de très important: "Nous travaillons sur [0; +Infini[". Il faut donc que tu considère ta fonction que tu as tracer sur l'intervalle sur lequel nous travaillons et tu constateras donc que pour les x positif ou nulle, ta fonction est bien supérieur ou égale à 1.

Le tracé d'une courbe est vraiment très utile mais attention à ne pas oublier les ensemble de définition sur lesquels ont travail car sinon, cela donne des à priori qui peuvent induire en erreur.

Est-ce plus clair ainsi?

Je vois ce que tu veux dire mais, quand je regarde la courbe de -e^-x, on voit bien qu'elle est croissante mais, même sur [0 ; + Infini[, elle est dans la zone négative non?

Enfin, il y a sûrement un détail idiot qui m'échappe mais, je vais me fier à ton raisonnement. Je récapitule :



1.a) Je calcule donc f'(x) avec f(x) = x - (1/2) + e^-x
f'(x) = 1-e^-x

J'ai donc le tableau de signes suivants :



J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) :


On a donc f(x) croissante sur [0 ; +Infini[.


1.b) lim (x tend vers + Infini) f(x) = 0
(Comment le prouver?)

2. Reproblème de l'asymptote..

La fonction est négative totu à fait sur [0;+l'infini[

Mais elle est supérieur à combien sur cette intervalle la fonction que tu traces?

Euh... 1 je pense mais je ne me souviens plus pourquoi...

Tu viens de me dire que la fonction que tu traces était négative d'après la coubre .

C'est -1 à l'origine en fait. Sachant que la fonction que tu traces est croissante, du coup toutes les ordonnées sont bien supérieur à -1.

Mais nous, notre fonction c'est celle que tu traces +1. Du coup, on retrouve bien que c'est positif sur [0;+l'infini[.

Est-ce que tu comprends le soucis? Ta dérivée en fait c'est la fonction que tu traces à laquelle on ajoute 1.

Ah ok! Je pense avoir saisi

Peux-tu me rappeler comment calculer une asymptote stp?

Alors au niveau de la définition de l'asymptote j'avais mis ceci au début du sujet:

Citation :

pour trouver l'asymptote à la courbe C en +l'infinie, il faut en effet être dans la configuration que tu as rappelé mais il y a un autre moyen de l'écrire:

En effet, la courbe C admet une asymptote (y=ax+b) en +l'infinie si je peux écrire F sous la forme:

F(x)= ax + b + H(x) avec lim+inf H(x)=0

Ceci est bien équivalent à ce que tu dis car si je passe ax+b à droite j'ai bien: F(x) - (ax+b) = H(x) et la limite est bien 0 vu que H tend vers 0 en +l'infinie. Je pense qu'après avoir trouver la limite de façon concrète à la question 1)b), tu va pouvoir expliciter la bonne équation d'asymptote.

Ne pas oublier les deux façon de définir et de trouver une asymptote à une courbe. Il y en a une troisième qui permet de calculer carrément le a et le b de l'équation de l'asymptote si ils existe mais je te ferai le rappel à la fin de notre exercice vu que pour le moment nous n'en avons pas l'utilité.

Ce qui sert dans la pratique c'est ce qui est mis en gras dans la citation. En effet, regarde bien l'expression de F(x) que tu as et tu va vite trouver la tête qu'a ton asymptote normalement.

Si ceci n'estp as clair, n'hésite pas à me demander d'autre information, je compléterai ou expliquerai autrement ce n'est pas un soucis.

Bon courage!

1.a) Je calcule donc f'(x) avec f(x) = x - (1/2) + e^-x
f'(x) = 1-e^-x

J'ai donc le tableau de signes suivants :



J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) :


On a donc f(x) croissante sur [0 ; +Infini[.


1.b) lim (x tend vers + Infini) f(x) = 0
(Comment le prouver?)

2.

Citation :

F(x)= ax + b + H(x) avec lim+inf H(x)=0

f(x) = x - (1/2) + e^-x
on a donc : ax+b = x-(1/2) ET H(x) = e^-x
avec lim(x tend vers +Infini) H(x) = 0

Ca s'arrête là?

Attention de bien mettre les justifications pour le tableau de signe. Tu ne peux pas mettre directement ça:

Citation :

J'ai donc le tableau de signes suivants

Il faut que tu dises que pour x>0, e^x>e⁰=1 par croissance de l'exponentielle, puis que 1/e^x < 1 par décroissance de la fonction inverse. Ensuite on a: -1/e^x > -1 car on multiplie par -1<0 et enfin on ajoute 1 ce qui nous donne F'(x)>0.

On en a discuté longuement dans les posts précédents que ce soit au niveau théorique puis après au niveau graphique pour que tu visualise bien les chose. Il faut absolument mettre cela sinon dans un devoir ton tableau de signe n'a vraiment aucune valeur.

Pour la question suivante:

Citation :

f(x) = x - (1/2) + e^-x
on a donc : ax+b = x-(1/2) ET H(x) = e^-x
avec lim(x tend vers +Infini) H(x) = 0

Ca s'arrête là?

C'est tout à faire l'idée mais après, il faut tout de même bien le rédiger en écrivant F(x)- [x -1/2] = e^-x et on a lim_x->+l'infini e^-x = 0

Donc y=x-1/2 est bien asymptote oblique à la courbe C en +l'infini. Ce que je te donnais c'est le moyen de le visualiser dans un devoir ou un exercice après, il faut tout de même le rédiger un minimum comme je viens de le faire par exemple, cela suffit mais il faut le faire tout de même.

Il ne reste plus qu'à déterminer la position entre C et la droite d'équation y=x-1/2 pour boucler cette exercice.

En premier bilan, je dirais que pour un début sur l'exponentielle c'est plutôt pas mal même si tu as tendance à manquer de rigueur car tu considère des choses comme évidente lorsqu'elle ne le sont pas ou tu te fit à ton feeling ce qui est bien en soi pour avancer dans la réflexion mais il faut bien rédiger les choses par la suite car avoir les bonnes idées au bon moment c'est dommage de mal les exprimer après.

Donc je te conseille de travailler un peu la rédaction des réponses. Qu'est-ce que cela signifie concrètement? Pas besoin de faire des exercices en plus ce n'est pas le but mais par exemple tu reprends ce petit exercice sans la correction puis te essaie de bien le rédiger en faisant attention de bien mettre les bons arguments au bon endroit sans pour autant délayer avec des arguments qui ne sont pas principaux. C'est une démarche qui est pénible mais je peux t'assurer que cela paiera car ton niveau est loin d'être faible (je le pense sincèrement je tiens à le dire car je constate depuis l'année dernière une belle progression qui me fait plaisir à titre perso et à l'équipe aussi je pense et qui doit te faire plaisir aussi j'en suis certain). Mais maintenant, faut donner un dernier coup qui est peut-être le plus pénible et qui se situe au niveau de l'argumentation et de la rédaction précise et concise des réponses que tu donnes. Ce n'est pas la partie la plus simple à faire, j'en suis tout à fait conscient mais je ne t'en parlerais pas si je ne t'en sentais pas capable. Il y a de la marge pour progresser dans ce domaine là en tout cas, donc à toi de saisir cette perche et tu verras que tes notes s'en ressentiront sur la durée.

Bon courage et n'hésite pas si problème il y a encore sur cette exercice à demander des précisions!

1.a) Je calcule donc f'(x) avec f(x) = x - (1/2) + e^-x
f'(x) = 1-e^-x

Citation :

Pour x>0, e^x>e⁰=1 par croissance de l'exponentielle, puis que 1/e^x < 1 par décroissance de la fonction inverse. Ensuite on a: -1/e^x > -1 car on multiplie par -1<0 et enfin on ajoute 1 ce qui nous donne F'(x)>0.

J'ai donc le tableau de signes suivants :



J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) :


On a donc f(x) croissante sur [0 ; +Infini[.


1.b) lim (x tend vers + Infini) f(x) = 0
(Comment le prouver?)

2.

Citation :

F(x)= ax + b + H(x) avec lim+inf H(x)=0

f(x) = x - (1/2) + e^-x
f(x)- [x -1/2] = e-x et on a limx->+l'infini e-x = 0

on a donc : ax+b = x-(1/2) ET H(x) = e^-x
avec lim(x tend vers +Infini) H(x) = 0

--> On a donc : y = x- 1/2 qui est une asymptote oblique à la courbe en +Infini.

b) Etudier la position de C par rapport à la droite D.
Si je comprends bien il faut regarder la distance entre les ordonnées c'est bien cela?

A x = 0 j'ai f(0) = (1/2) et y= -(1/2) pour l'asymptote.
Il y a donc une différence de 1 sur l'axe des ordonnées.
Donc, la droite D sera sous la courbe de C si je suis.

PS : Ne t'inquiètes pas, je compte faire des exos en plus donc, j'en profiterais pour améliorer ma rédaction ce qui, c'est vrai, ne pourra que m'être profitable. Merci pour ce conseil et les p'tits compliments.

Pour étudier une position c'est toujours dans le cas général et cela reviens en effet à étudier une distance entre deux courbes si tu veux.

Mais plus concrètement, dans la pratique, il faut trouver le signe de la différence des ordonnée des deux courbes pour savoir laquelle est au-dessous de l'autre. 'est ce que tu fais très bien lorsqu'on pose cette question avec une asymptote au lieu de prendre une tangente comme ici mais il s'agit de la même manipulation.

Sinon, cette partie là:

Citation :

on a donc : ax+b = x-(1/2) ET H(x) = e-x
avec lim(x tend vers +Infini) H(x) = 0

Peut être enlevé vu que tu ne parles pas de la forme de F(x)=ax+b + H(x). Il ne sert donc à rien de mettre cette partie là, tu as le droit de conclure directement par la phrase suivante avec le calcul de ta limite:

On a donc : y = x- 1/2 qui est une asymptote oblique à la courbe en +Infini.

La forme que je te donnais sert surtout de clé au brouillon pour ouvrir la réponse à ce genre de question. Mais dansl a rédaction elle n'intervient pas le plus souvent.

Bon courage!

Donc, il ne reste plus qu'à tracer les courbes si j'ai bien compris?

C'est tout à fait ça !

Ok ben merci pour tout et pour ta patience!