coordonnées de vecteurs

Salut à toi Blagu'Cuicui !

J'ai un exo à faire pour demain et j'y arrive pas le voici :
Dans un repère, on donne les points :
M(0;-3) N(2;3) P(-9;0) Q (-1;-1)
1. Calculer les coordonnées des ponts A et B tels que :
a) vecteur NA = 1/2 de vecteur MN
b) vecteur MB = 3 vecteur MQ

Comment faire ? Faut-il faire A (xA ; yA ) et B (xB ; YB )
Merci de ton aide !!

Bonsoir,

Alors en effet, la première chose à faire c'est de poser un cadre rassurant pour savoir avec quoi nous allons travailler.

Il faut trouver des coordonnées de A et B? Ok! Je prends des notations pour les coordonnées des deux points en question A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B). Au moins là, je suis rassuré j'ai un cadre pour travailler.

Bon maintenant ce n'est pas tout, on part à la "chasse aux informations" sur ses coordonnées. C'est à dire de façon plus formalisée:

"Que savons-nous sur les coordonnées de A d'après l'énoncer?"

Alors, nous avons une égalité vectorielle: NA=(1/2)*MN

Mais on connaît les coordonnées des points M et N, on peut donc calculer explicitement les coordonnées du vecteur (1/2)*MN. ET avec les notations que nous avons prise au début, nous allons pouvoir calculer les coordonnées du vecteur NA en fonction de x_A et y_A.

Ensuite, on mobilise notre cours (on a la poudre, où est la mèche pour que la solution nous saute aux yeux? ). Donc que savons-nous d'une égalité vectorielle?

Il y a égalité entre deux vecteur si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans un repère choisi. Il y a donc égalité entre les abscisses et entre les ordonnées des deux vecteurs qu'on considèrent égaux.

Par conséquent, on va pouvoir déduire x_A et y_A.

Est-ce que la logique de l'exercice est plus claire? Il s'agit du même raisonnement pour le b) mais avec x_B et y_B.

Je te laisse donc commencer les calculs et nous vérifierons le résultat ensemble.

Bon courage!

a) vecteur NA = 1/2 de vecteur MN
xa-xn=(1/2)(xn-xm)
xa-2=(1/2)(2-0)
xa = 3

ya-yn=(1/2)(yn-ym)
ya-3=(1/2)(3-(-3)
ya = 6

Donc A(3 ; 6 )

JUSTE ?

C'est tout à fait juste !!

Il ne reste plus qu'à trouver les coordonnées du point B donc .

Bon courage!

Merci pote

b ) vecteur MB = 3 vecteur MQ
xB - xM = 3 ( xQ - xM )
xB - 0 = 3 ( -1 - 0 )
xB - 0 = -3 - 0
xB = -3

yB - yM = 3 ( yQ - yM )
yB - (-3) = 3 ( -1 -(-3)
YB - (-3) = -3 +9
yB = -3+9 -3
yB = 3

Donc B ( -3 ; 3 ) Juste

Nickel!!!

Rien à redire sur cette partie.

j'ai un autre exo à faire...

A (2 ; 1 ) B (5 ; - 3 ) C (0;3) D (6 ; - 5 )
Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD
Ce que j'ai fait
vecteur AB (xB - xA ; Yb - Ya )
(5-2;-3-1)
vecteur AB ( 3 ; -4 )

vecteur CD (xd - Xc ; Yd - Yc)
(6-0;-5-3)
vecteur CD (6 ; -8 )

Mais j'arrive pas à faire celle ci :
En déduire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Comment faire ?
Merci d'avance !

Bonjour,

Je vais répondre par une question : Que signifie que deux droite sont parallèles? Ou commetn caractériser deux droites parallèles?

Sans pour autant utiliser les vecteurs mais tout ce qui te passe par la tête te permettant de caractériser deux droite parallèle.

Bon courage!

Allez je me lance

vecteur AB(3 ; -4 ) et vecteur CD (6 ; -8 )
3 = 1/2 *6 et -8 = 1/2 *-4
les vecteurs AB et CD sont colinéaires donc les droites (AB) et (CD )sont parallèles
J'ai l'impression que j'ai fait une grosse bêtise, non ?

Bonsoir!

Ton intuition est excellente!!!

Par contre au niveau de la rédaction, tu as fait une erreur de recopie: -4=(1/2)*(-8) et non pas ce que tu avais marqué .

On a donc AB=(1/2)*CD et les vecteurs sont donc colinéaires ce qui conclut pour le parallélisme.

La question c'est pourquoi cela suffit? Est-ce que tu pourrais l'expliquer en quelque mot (c'est très simple en fait ne va pas chercher loin ).

Ca sufffffffffffiiiiiiiittttt parce que les points A, B, C, D sont alignés

Je m'en doutais de cette erreur là .

La colinéarité prouve un alignement si et seulement les deux vecteurs ont en commun au moins un point !!!! Ici ce n'est pas le cas.

Mais si deux vecteur sont égaux (ici AB et (1/2)*CD ) qu'est-ce que cela signifie du point de vu de leur direction (car c'est cela qui compte pour marquer le parallélisme)?

Bah même direction

En effet même direction!!

Et deux droites qui ont la même direction sont donc parallèles tout simplement. Il faut toujours se souvenir des trois caractéristique d'un vecteur:

- Sa direction
- Son sens
- Sa longueur (qu'on appelle aussi: sa norme)

Deux vecteurs égaux ont les mêmes caractéristiques et ici ce qui sert pour trouver un parallélisme c'est bien entendu la direction de notre droite.

Bon courage pour la suite!

Bonjour @toutes et tous!

Les vecteurs vont être vu maintenant surtout par leur coordonnées dans un repère orthonormé. Par conséquent, ces exercices deviennent encore plus intéressants.

Je rappelle l'énoncer du premier:

Citation :

Dans un repère, on donne les points :
M(0;-3) N(2;3) P(-9;0) Q (-1;-1)
1. Calculer les coordonnées des ponts A et B tels que :
a) NA = (1/2)*MN
b) MB = 3*MQ

Je rappelle la propriété fondamentale qu'il faut connaître:

Dans un repère orthonormé, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées

1)a)
On pose A(x_A;y_A).
Donc NA a pour coordonnées (x_A-x_N;y_A-y_N).
Par conséquent, NA a pour coordonnées (x_A-2;y_A-3)

De plus, (1/2)*MN a pour coordonnées (1/2)*(2-0; 3-(-3)).
Par conséquent, (1/2)*MN a pour coordonnées (1;3)

D'après la propriété citée ci-dessus, NA=(1/2)*MN équivaut au système suivant:

x_A-2=1
y_A-3=3

Conclusion, A a pour coordonnées (3;6)

b)
On pose B(x_B;y_B).
Donc MB a pour coordonnées (x_B-0;y_B-(-3)) c'est à dire (x_B;y_B+3)

De plus, 3*MQ a pour coordonnées 3*(-1-0;-1-(-3)) c'est à dire (-3;6)

D'après la propriété rappelée ci-dessus, MB=3*MQ équivaut au système suivant:

x_B=-3
y_B+3=6

Conclusion, B a pour coordonnées (-3;3)


Pour effectuer cette exercice, j'utilise le lien entre un vecteur et ses coordonnées dans un repère orthonormé ainsi que les propriété de multiplication par un réel.


Ensuite le deuxième exercice était le suivant:

Citation :

A (2 ; 1 ) B (5 ; - 3 ) C (0;3) D (6 ; - 5 )
1)Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD
2)En déduire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles

Pour la première question, Tono avait répondu à celle-ci comme suit:

AB (x_B - x_A ; y_B - y_A )
Donc AB(5-2;-3-1)
D'où AB( 3 ; -4 )

De plus, CD(x_D - x_C ; y_D - y_C)
Donc CD(6-0;-5-3)
D'où CD(6 ; -8 )

Ce qui était tout à fait juste. Ensuite comment faire la deuxième question? Et bien il faut se rappeler d'une autre propriété fondamentale sur les vecteurs:

Dans un repère orthonormé, Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'ils ont des coordonnées proportionnelles

Ensuite, il faut se souvenir que deux droites sont parallèles si et seulement si en prenant un vecteur sur chacune des droites, ils sont colinéaire.

Donc sur la droite (AB), je considère le vecteur AB. Sur la droite (CD), je considère le vecteur CD. Il me reste à montrer que AB et CD sont colinéaires.

Or d'après la question 1), on a AB(3;-4) et CD(6;-8)
De plus, 3=(1/2)*6 et -4=(1/2)*(-8)
Par conséquent, AB=(1/2)*CD

Conclusion, AB et CD sont colinéaires. Donc (AB) // (CD)


Ce deuxième exercice montre l'utilité du calcul de coordonnées d'un vecteur et donc l'utilité même de la notion de vecteurs.


Bonne continuation @toutes et tous et n'hésitez pas à poser vos questions.

@bientôt au sein du forum!