Maths Cuicui, l'envolée mathématique

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 exo coordonnées

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tono



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MessageSujet: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 8:27

Salut à tous !
J'ai un exo à faire pour la rentrée et j'y rencontre des difficultés : une aide me serait donc la bienvenue...
A(5 ; 6) B( 1 ; 4 ) C(3 ; 2) sont 3 points dans le repère orthonormal
( O ; i, j). I, J , K sont les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].
1 a ) Calculer les longueurs AB et AC.
J'y arrive pas ... Merci d'avance lol! lol! lol!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 12:24

Bonjour,

Tout d'abord, pour simplifier les écritures, nous notons les vecteurs en gras.

Alors la première chose à faire pour ce genre d'exercice est de tout de suite faire le dessin et de placer les trois points dont on te donne les coordonnées.

Sinon, pour ta première question, il s'agit de calculer des distances à partir du moment où on connaît les coordonnées des points dans un repère orthonormal.

Tu n'as vraiment aucune idée de comment démarrer cette question?

Si c'est le cas, nous allons retrouver la formule directement dans le repère. après avoir placé tes trois points (A, B et C), trace la parallèle à l'axe des ordonnées passant par A et la parallèle à l'axe des abscisses passant par B. Elles se coupent en un point qu'on peut appeler H par exemple.

i) Que peut-on dire du triangle ABH?
ii) Après avoir exprimer les longueurs AH et BH. Calculer la longueur AB.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 13:07

Merci pour ces indications. J'ai placé les placé les points.
i) Triangle ABH rectangle en H.
ii) AH = 2 cm et BH = 4cm
Calcul de BA :
AH² + BH² + AB²
2² + 4² = AB²
4 + 16 = AB²
20 = AB²
racine de 20 =AB
AB environ égal à 4.47 cm

JUSTE ?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 13:26

C'est tout à fait juste!

Par contre, on appréciera d'avoir la valeur exacte avant la valeur approchée sous la forme a√b par exemple.

Bon maintenant, essayons de généraliser ce qu'on vient de faire ce qui va te permettre de retrouver la formule qu'on a due te donner dans ton cours. Alors si je prend un point A(xA,yA) et un point B(xB,yB) et que j'effectue le même tracer pour trouver le point H, je constate que dans un repère orthonormal mon triangle ABH est toujours rectangle en H. Le fait que le repère soit orthonormal est non négligeable car sinon, mes deux droites ne se coupent pas perpendiculairement.

Maintenant que savons-nous?

On sait que H a le même abscisse que A car Hl appartient à la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par A.
On sait aussi que H a la même ordonnées que B vu car H appartient à la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par B.

Par conséquent, on a H(xA,yB).

Maintenant, (AH) est parallèle à l'axe des ordonnées, donc la distance AH se lit sur le graphique en faisant la différence des ordonnées des deux points (vu que l'abscisse est constante). On a donc AH= |yH-yA| c'est à dire AH=|yB-yA|. La valeur absolue est indispensable car une distance est toujours positive.

De même, (BH) est parallèle à l'axe des abscisses, donc la distance HB se lit directement sur le graphique en faisant la différence des abscisses des deux points (vu que l'ordonnée est constante). On a donc HB=|xB-xH| c'est à dire HB=|xB-xA|

Maintenant, par le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle ABH rectangle en H, on a:

AB²=HB²+AH² = (xB-xA)² + (yB-yA)² (j'ai enlevé les valeurs absolues car (a-b)²=(b-a)², donc il n'y a plus de raison de mettre des valeurs absolues)

Conclusion: AB=√[ (xB-xA)² + (yB-yA)² ]

Et tu retrouves la formule de ton cours avec une démonstration en prime Wink. Et ceci est vrai pour tous les point A et B du moment que le repère est orthonormal.

Le calcul suivant tombe tout de suite du coup!

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 13:42

Donc AB = 2√5 car
AB= √[ (xB-xA)² + (yB-yA)² ]
AB = √ [(5-1)² +( 6-4)²]
AB = 2√5[u]
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 13:48

AC = √[ (xB-xA)² + (yB-yA)² ]
AC = √[( ) ² + ( ) ² ]
Jen sè rien ...
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 14:00

AC = √[ (xB-xA)² + (yB-yA)² ]
AC = √[(5-3 ) ² + ( 6-2) ² ]
AC = 2√5 !
AB = AC = 2 √5 !
car triangle ABC isocèle en A !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 14:06

Pour la réponse exacte, elle est juste.

Pour le calcul de AC, il ne fait pas intervenir les coordonnées de B soyons logique tout de même Wink. Il fait intervenir les coordonnées de A et de C seulement.

Si, tu ne vois pas comment adapter la formule qu'on vient de démontrer (et qui sauf erreur doit être écrite quelque part dans ton cours), il faut que tu revienne à la même méthode que pour calculer AB.

C'est à dire, qu'on trace la parallèle à l'axe des ordonnées passant par A et on trace la parallèle à l'axe des abscisses passant par C. On appelle H' le point d'intersection de ses deux droites.

i) Que peut-on dire de la nature de ACH'
ii) Calculer AC à partir de AH' et CH'.

Essaie de mettre en évidence dans tes calculs les abscisses des point A et C, tu va arriver à une formule qui ressemble étrangement à celle qu'on vient d'écrire plus haut mais adapté aux point A et C.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 14:15

ACH' rectangle en H
4²+2² = AC²
16+4 = AC²
AC = 2√5[i][u]

AC = racine de (6-2)² +(5-3)² = 20
AC = racine de 20 = 2√5 NON ??
scratch
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 14:24

C'est exact!

C'est ceci qui était faux:

Citation :
AC = √[ (xB-xA)² + (yB-yA)² ]

Car nous avons en fait: AC = √[ (xC-xA)² + (yC-yA)² ]

Je n'ai jamais dit que ton calcul était faux, j'ai juste dit que ce que tu avais écrit n'était pas juste Smile.

Ton triangle est donc isocèle en A en effet.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 14:29

2 a) Calculer les coordonnées des points I, J , K puis des vecteurs IK et JA.
Que peut-on enn déduire ?
Je coince lol!
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 14:36

Est-ce que tu as vu la notion de barycentre ?

Si oui, le milieu d'un point est aussi le barycentre de ces deux points avec un poids de 1. A partir de là, on connaît un moyen de calculer les coordonnées des barycentres.

Si ce n'est pas le cas, je vais passer par un autre moyen pour arriver au résultat Wink.

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 14:38

non j'ai pas vu le barycentre bounce bounce bounce
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 14:49

Ok!

Alors I(xI,yI) est le milieu de [BC].

i) Quelle relation lie BI et BC?
ii) En déduire des relation sur les coordonnées de chacun des vecteurs en fonction de xI et yI
iii) Conclure


En fait, il faut que tu utilises un maximum ce que tu sais lorsqu'il y a une donnée dans l'énoncer. Après tu va voir réapparaître une formule de calcul des coordonnées des milieux que tu connais depuis l'année dernière mais je te laisse la redécouvrir.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 15:03

I (2 ; 3)
J (4 ; 4 )
K( 3 ; 5 )

Juste ? afro
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 15:12

C'est tout à fait juste!

La démarche que je te donnais te permettait de retrouver que si M(xM,yM) est milieu de [NP], alors:

xM=(xN+xP)/2
yM=(yN+yP)/2

On remarque en passant d'ailleurs, qu'on fait le calcul de la moyenne des abscisses et de la moyenne des ordonnées des points P et N. Et ceci n'est pas si anodin que cela et ça se général à plusieurs points aussi.

Bon maintenant que tu as les coordonnées des points, ceux des vecteurs vont se calculer plus facilement normalement Smile.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 16:00

Excuse-moi je me suis absenté...
Donc vecteur IK (3-2 ; 5-3 )
vecteur IK (1 : 2 )

Donc vecteur JA (5-4 ; 6-4 )
Vecteur JA ( 1 ; 2 )


JUSTE ?? afro

La qestion suivante est : que peut-on en déduire ?
Bah que les vecteurs IK et JA sont égaux, non ?

ps Blagu'cuicui: tu peux éditer tes messages en appuyant sur "Editer" lorsque j'ai aps encore répondu, c'est plus simple que le double message.
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 16:06

C'est juste en effet!

Par contre ta conclusion est "faible", je trouve. En effet, les deux vecteurs sont égaux mais de la à avoir tous les points pour dire cela, ça serait un peu gros, tu ne crois pas?

Alors qu'est-ce qu'on en déduit lorsqu'on a deux vecteurs égaux?

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 16:09

Un peu gros en effet Razz

Bah que les segments [IK] et [JA] sont égaux Basketball
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 16:14

Eux c'est c'est encore plus faible que dire que les deux vecteurs sont égaux Wink.

Rappel: Deux vecteurs égaux cela signifie: même direction, même longueur et même sens.

Donc dire que les segments ont même longueur c'est encore plus restrictif que de dire quel es deux vecteurs sont égaux. Donc autant dire quel es deux vecteurs sont égaux au cas où tu ne te souviens plus de ce qu'il y a derrière géométriquement parlant.

Mais, moi je te demande d'aller au bout de la question Razz. On a JA=IK, donc que peut-on dire concrètement sur le quadrilatère composé de ses 4 points?

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 16:17

Ah ! J'avais pas compris d'où tu voulais en venir Razz
IJAK est un parallélogramme, non cheers

Autre question que je comprends pas : Calculer les longueurs IK et JI confused
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 16:37

IJAK est bien un parallèlogramme en effet!

D'après la toute première question, je prétend que tu sais calculer des longueurs à partir de coordonnées des points Smile.

Tiens juste pour voir si tu comprend ce qu'on cherche à faire. D'après toi sans faire de calcul supplémentaire quelle va être la nature de IJAK de façon intuitive rien qu'en lisant la question suivante?

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 16:49

un parallélogrammetto

Razz Razz Razz Razz Razz

Redevenons sérieux Surprised
IK =√[ (xK-xI)² + (yK-yI)² ]
Fais moi la fin je t'en supplie Crying or Very sad
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 17:06

Et bien ta formule est juste, il n'y a plus qu'à remplacer maintenant Wink.

Sinon, je vois que tu fais les calculs sans forcément comprendre pourquoi on les fait.

On a montrer au début que ABC était isocèle en A. Ensuite on a montrer que IJAK était un parallélogramme.

Maintenant, on nous demande de calculer deux côtés consécutifs de ce parallélogramme. Intuitivement et sachant qu'on fait rarement des calculs pour rien, on va donc en déduire l'égalité des côtés ce qui va nous amener sans doute vers un losange ou un carré.

C'est concret ce qu'on fait car il y a une figure qu'on peut suivre au fur t à mesure des tracer donc il faut vraiment s'en servir pour comprendre ce qu'on nous demande. Cela aide un peu à ne pas tomber dans le travers de faire des maths poru des maths ou du calcul pour du calcul en gros. Il faut mieux être un brin acteur de ce qu'on fait que de subir les questions les unes après les autres. Ainsi, on y prend un peu plus de plaisir car on comprendre un peu plus ce qu'on fait concrètement.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: exo coordonnées   Sam 11 Avr - 17:13

Non sans blague c'est comme dans un film alors !
"Il vaut mieux être un brin acteur" Razz
Non je déconne
Wink


IK =√[ (xK-xI)² + (yK-yI)² ]
IK = √[3-2) ² + (5-3)²
IK = √5 Juste ?
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MessageSujet: Re: exo coordonnées   

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