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 Interrogation forme exponentielle et algébrique

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MrTheYo



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MessageSujet: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Mer 14 Jan - 19:28

Salut!
J'ai une question vis-à-vis d'un exercice sur l'application des nombres complexes :

Déjà, dans un exercice trouvé dans un livre, je dois déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants dont on me donne le module et l'argument :

m = Racine(2) et Arg = 3Pi/4

--> Racine(2) [ cos(3Pi/4) + sin(3Pi/4)]
Je fais mon cercle trigo etc et je remplace 3Pi/4 par Pi/4 ce qui me donne :
Racine(2) [ -cos(Pi/4) - isin(Pi/4)] = -1 -i
PROBLEME : La correction me dit que la réponse est -1 + i donc, ça me semble étrange...





Ensuite, on me donne z2 = e-iPi / 3

1/z2 = 1 / e-iPi / 3 = eiPi / 3
Or, la correction dit que le résultat est 2eiPi / 3 ce qui me semble louche vu que pour chaque valeur de z2 dans la correction, ils écrivent 2e-iPi / 3. Donc, j'aurais opté pour une erreur dans l'énoncé mais comment en être sûr?

Merci d'avance!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Mer 14 Jan - 20:33

Re-bonsoir,

Pour ton exercice je suis d'accord avec la correction de ton livre et l'erreur est sans doute plus bête que méchante.

En effet, ta méthode est bonne, on a bien:

m=(√2)*( Cos(3*π/4) + i*Sin(3*π/4) )

Mais l'erreur vient de ton calcul du sinus en fait. En effet, 3*π/4= 2*π/4 + π/4= π/2 + π/4. Donc Sin(3*π/4)=Sin(π/2+π/4)=0+Sin(π/2)*Sin(π/4)=Sin(π/4) et non -Sin(π/4) comme tu l'écrivais.

Un moyen de voir tout de suite ton erreur? l'angle 3*π/4 est positif et inférieur à π, nous sommes donc dans les deux cadran supérieur du cercle trigonométrique ce qui implique que le sinus est forcément positif ou nul.


Pour le deuxième exercice, il y a une erreur dans la correction en effet. Ton calcul est un calcul sur les exponentielle sur des propriété basique de celui-ci (l'inverse de l'exponentielle est égale à l'exponentielle de "moins l'exposant"). Donc ta réponse est juste pour ma part.


Bon courage pour la suite!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Mer 14 Jan - 21:06

Dans notre cercle on a 3Pi/4 dans le quart Nord-Ouest et Pi/4 dans le quart Sud-Est donc normalement ils n'ont pas le même sinus ni le même cosinus...
Désolé j'ai lu et relu mais je ne comprends pas...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Mer 14 Jan - 21:17

Le sinus dans le quart nord-ouest est positif, non ? (nous sommes au-dessus de l'axe des abscisses).

Maintenant, croire que parce que deux angles sans différent, ils ont forcément des sinus et des cosinus différents est une erreur de logique.

En effet, connaissant les relation Cos(a+b) et Sin(a+b), on peut montrer facilement que:

Sin(π-x)= Sin(x)
Cos(π-x)=-Cos(x)
Sin(π/2 + x)= Cos(x)
Cos(π/2+x)= Sin(x)

Et je te laisse ne voir d'autre.

D'ailleurs en me relisant j'ai fait une erreur en développement Sin(π/2 + π/4)= Cos(π/2)*Sin(π/4) + Sin(π/2)*Cos(π/4)= Cos(π/4) (et non Sin(π/4) comme je l'avais marqué (vitesse et précipitation ne font pas bon ménage en voilà encore un exemple qu'il faut toujours se relire Wink)).

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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Jeu 15 Jan - 12:26

Ah!!! j'avais pris -Pi/4 au lieu de Pi/4. En relisant mon précédent post je viens de m'en apercevoir! Dans la correction, ils écrivaient -Pi/2 voilà pourquoi ej comprenais pas.... Sinon :

Sin(π/2 + x)= Cos(x) ??
= Sin(π/2) * Sin(x) = 1 * sin(x) non?

Cos(π/2+x)= Sin(x)
Cos(π/2) * Cos(x) = 0 * Cos(x) non?

En fait', j'ai pas compris comment on trouve ces propriétés ^^
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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Jeu 15 Jan - 14:08

C'est bon!
J'ai trouvé! lol! tu te sers de ceci :

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sina)sin(b)
sin(a+b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)

C'est bien cela?
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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Sam 17 Jan - 21:20

Bonsoir,

Désolé pour le contre-temps (c'est rare mais ça arrive, nous sommes tous humains comme on dit).

Donc venons-en au fait:

Citation :
Sin(Pi/2+x)= Sin(π/2) * Sin(x) = 1 * sin(x)

Tu me railles ça immédiatemment avant que je me déplace dans ta région pour te le faire copier 100000000000 fois !!!!!!!

La fonction sinus n'est pas la fonction exponentielle, donc le sinus d'une addition N'EST PAS la multiplicatino des sinus et ENCORE moinsl 'addition des sinus.

J'utilise en effet les propriétés (A CONNAITRE PAS COEUR!!) sur les sinus et les cosinus d'une addition comme tu l'a si bien redit dans ton deuxième message.

Est-ce que depusi tu as réussi à retrouver les formules que j'en avais déduit plus haut c'est à dire:

Citation :
Sin(π-x)= Sin(x)
Cos(π-x)=-Cos(x)
Sin(π/2 + x)= Cos(x)
Cos(π/2+x)= Sin(x)

ou il y a toujours des soucis à ce niveau là?

Ces formules ne sont pas à connaître par coeurs mais en savoir quelques-unes ou au moins savoir les retrouver sur le cercle trigo pour éviter de dire des bétise lorsqu'on déduit des angles c'est préférable. Mais savoir les redémontrer par contre ça c'est une chose basique (car application de formules connu depuis longtemps) qu'il faut savoir faire assez rapidement en fait.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Dim 18 Jan - 11:04

Citation :
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
sin(a+b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)

---------------------------------------


Sin(π-x)= Sin(x)

--> sin(a+b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)

Ici, j'ai le droit d'écrire ceci ?
sin(π-x) = sin(π)cos(-x) - sin(-x)cos(π)
Parceque je pense pas....



Cos(π-x)=-Cos(x)

Même remarque ici...



Sin(π/2 + x)= Cos(x)

--> sin(a+b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)
sin(π/2 + x) = sin(π/2)cos(x) - sin(x)cos(π/2)
sin(π/2 + x) = 1 * cos(x) - sin(x) * 0
sin(π/2 + x) = cos(x)


Cos(π/2+x)= Sin(x)

--> cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
cos(π/2+x) = cos(π/2)cos(x) - sin(π/2)sin(x)
cos(π/2+x) = 0 * cos (x) - 1 * sin(x)
Je trouve - sin(x)...
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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Dim 18 Jan - 11:23

Bonjour,

alors attention au signe:

Citation :
sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

Mais par contre à partir de cette formule là et du fait que le cosinus soit paire et le sinus impaire, on retrouve:

sin(a-b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)


De même, on connait par coeur, la formule:

Citation :
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

On déduit à l'aide de la parité du cosinus et de l'imparité du sinus que:

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)


Je te laisse revoir tes calculs mais les erreurs ne venaient que des erreurs de signe sauf erreur.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Dim 18 Jan - 19:06

Sin(π/2 + x)= Cos(x)

--> sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)
sin(π/2 + x) = sin(π/2)cos(x) + sin(x)cos(π/2)
sin(π/2 + x) = 1 * cos(x) + sin(x) * 0
sin(π/2 + x) = cos(x)



Sin(π-x)= Sin(x)

--> sin(a-b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)
sin(π-x) = sin(π)cos(x) - sin(x)cos(π)
sin(π-x) = 0 * cos(x) - sin(x) * (-1) = sin(x)



Cos(π-x)=-Cos(x)

--> cos(π-x) = cos(π)cos(x) + sin(π)sin(x)
cos(π-x) = -1 * cos(x) + 0 * sin(b)
cos(π-x) = -cos(x)



Cos(π/2+x)= Sin(x)

--> cos(π/2+x) = cos(π/2)cos(x) - sin(π/2)sin(x)
cos(π/2+x) = 0 * cos(x) - 1 * sin(x) = -sin(x)

Là, tout me semble correct
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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Dim 18 Jan - 20:07

Il restait une erreur de signe mais sinon tout est juste en effet.

J'avais moi aussi fait une erreur de signe pour ma dernière relation mais que tu as corrigée en refaisant le calcul proprement.

Donc ses relations ne sont pas à apprendre mais cela permet de retrouver visuellement sur le cercle trigonométrique si une réponse est cohérente ou non. Cela peut donc être utile de savoir les retrouver facilement et rapidement lorsqu'on en a besoin.

Est-ce qu'il y a quelque chose qui ne te paraît pas clair sur ce sujet là?

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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Mer 21 Jan - 18:34

Là, ça parait clair mais, où est cette erreur de signe?
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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Mer 21 Jan - 20:02

Bonsoir,

L'erreur du signe s'était le "-" que j'ai transformé en "+" rouge dans ton message précédent. Une erreur d'inattention plus qu'une véritable erreur je pense c'est pour cela que j'ai corrigé directement dans le message.

En tout cas si tout est clair c'est le principale car même si c'est pas exigible textuellement au bac, c'est des manipulations qui restent pratiques et qu'il faut savoir refaire au cas où on nous les demande.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

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MessageSujet: Re: Interrogation forme exponentielle et algébrique   Aujourd'hui à 15:59

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