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 Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires   Dim 22 Mar - 20:39

C'est tout à fait juste! Rien à redire.

Fais juste attention à ton erreur de recopie pour la limite en moins l'infini qui est égale à +Inf et non à -Inf.

A titre indicatif, on dit que 2 est racine double de g(x) car g(2)=0 et g'(2)=0. On pourrait donc factoriser g(x) par (x-2)². C'est juste à titre indicatif pour faire le lien avec un vocabulaire que tu vois seulement sur les polynôme du second degré mais en fait un racine double se définie de façon générale pour toutes fonction polynôme et on peut même définir des racines de plusieurs multiplicités. Par exemple, f(x)=(x-1)3, 1 est racine triple de f car f(1)=0, f'(1)=0 et f''(1)=0.
C'est juste de la culture sur un sujet qui est très vaste en fait car on peut dire plein de chose sur les fonctions polynômes et tu as vue qu'une partie de ceux-ci mais le reste est vu post-bac car tu connais tout ce que tu dois savoir sur ces fonctions là pour le bac. C'était juste une aparté de culture générale mathématiques Wink.

Il ne reste plus que le dernier à faire.

Bon courage!

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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires   Dim 22 Mar - 20:51

Citation :
Fais juste attention à ton erreur de recopie pour la limite en moins l'infini qui est égale à +Inf et non à -Inf.

Tu es sûr? A la calculette, je la vois qui monte vers le nord ouest
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MrTheYo



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MessageSujet: Re: Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires   Dim 22 Mar - 21:05

h(x) = x3 - 5x = 1
h(x) = x3 -5x -1 = 0

--> h'(x) = 3x² -5

Je cherche les racines de h'(x) :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4 [ 3 * (-5) ] = -4 * -15 = 60

Donc, deux racines réelles :

x1 = [-b - Racine(Delta)] / (2a) = -Racine(60) / 6

x2 = [-b + Racine(Delta)] / (2a) = Racine(60) / 6

--> Je dresse donc le tableau de variations de h(x) :



donc, on aura 3 valeurs de x pour f(x) = 0 :

Une sur ]-Inf. ; -Racine(60) / 6]
Une sur [-Racine(60)/6 ; Racine(60)/6 ]
Une sur [Racine(60)/6 ; +Inf.[


Cherchons la première ]-Inf. ; -Racine(60) / 6] :

-Racine(60) / 6 = -1.29
f(-1.29) = 3.3

--> Balayage par 10 :

f(-10) = -951
f(0) = -1

--> Balayage par 5 :

f(5) = 99

--> Balayage par 2 :

f(2) = -3

--> Par 1 :

f(1) = -5

Je m'y perds là...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires   Dim 22 Mar - 21:33

Pour ta petite erreur je faisait référence à ceci:

Citation :
limx-->-INF. = -INF.

Ton tableau de variation était bien juste.

Sinon, pour l'autre la méthode est juste, il y a bien trois solution. Mais ta recherche n'estp as assez rigoureuse. En effet, tu fait un balayage nickel mais bon encore faut-il le faire au bonne endroit. En effet, tu commence par chercher dans l'intervalle ]-Inf,-racine(60)/6[

Donc les entiers relatifs qu'on va tester sont en dessous de -Racine(60)/6 sinon, on serait dans l'autre intervalle où il y a aussi un point d'annulation de notre fonction. Donc attention, ce genre d'exercice nécessite de la rigueur.

Donc tu test -10, -5, -1 par exemple vu que -Racine(60)/6 est sensiblement égale à -1.30. Il faut reste à gauche de cette borne là, si on veut trouver le bon point annulateur qu'on cherche et ensuite on cherchera dans l'autre intervalle puis dans le dernier.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires   Lun 23 Mar - 9:21

Je cherche la première valeur de x pour h(x) = 0 sur l'intervalle ]-Inf. ; -Racine(60) / 6] :

h(-10) = -951
h(-5) = -101
h(-3) = -13
h(-2) = 1

-3 <= x <= -2

Je balaye à 0.1 :

h(-2.9) = -10
h(-2.8) = -8.9
h(-2.7) = -7.1
h(-2.6) = -5.5
h(-2.5) = -4.125

-2.5 <= x <= -2

h(-2.4) = -2.82
h(-2.3) = -1.66
h(-2.2) = -0.648
h(-2.1) = 0.239

-2.2 <= x <= -2.1

Je balaye à 0.02 :

h(-2.18) = -0.46
h(-2.16) = -0.27
h(-2.14) = -0.1
h(-2.12) = 0.07

Je balaye à 0.01 :

h(-2.13) = -0.013

Donc -2.13 <= x <= -2.12




Je cherche la seconde valeur de x pour h(x) = 0 sur l'intervalle [-Racine(60) / 6 ; Racine(60)/6[ :

h(-1) = 3
h(0) = -1

Donc :
-1 <= x <= 0

Je balaye par 0.2

h(-0.8) = 2.48
h(-0.6) = 1.78
h(-0.4) = 0.936
h(-0.2) = -0.008

-0.4 <= x <= -0.2

Je balaye par 0.1

h(-0.3) = 0.4

-0.3 <= x <= -0.2

Je balaye par 0.02 :

h(-0.28) = 0.378
h(-0.26) = 0.282
h(-0.24) = 0.18
h(-0.22) = 0.089

Je balaye par 0.01 :

h(-0.21) = 0.04
h(-0.2) = -0.008

On aura donc :
-0.21 <= x <= -0.2





Je cherche la dernière valeur de x pour h(x) = 0 sur l'intervalle [Racine(60)/6 ; +Inf. [

Je balaye par 2:

h(2) = -3
h(4) = 43

2 <= x <= 4

Je balaye par 1 :

h(3) = 11

2 <= x <= 3

Par 0.5 :

h(2.5) = 2.125

Par 0.2 :

h(2.3) = -0.33

2.3 <= x <= 2.5

Par 0.1 :

h(2.4) = 0.82

2.3 <= x <= 2.4

Par 0.02 :

h(2.38) = 0.58
h(2.36) = 0.34
h(2.34) = 0.11
h(2.32) = -0.11

2.32 <= x <= 2.34

Par 0.01 :

h(2.33) = -0.01

DONC :

2.33 <= x <= 2.34
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires   Lun 23 Mar - 17:23

Bonjour,

Tout est juste!

Sinon pour gagner en temps, il y a une méthode pour trouver l'encadrement plus rapide que le balayage par 10, puis par 5, puis par 2, puis par 1, puis par 0.2, puis part 0.1 puis par 0.02 et enfin par 0.1.

En effet, il suffit juste de diviser l'intervalle qu'on considère en deux à chaque fois et affiner réellement qu'à la fin. Ainsi on a beaucoup moins de calcul à faire et donc plus de temps pour faire autre chose.

Sinon, je t'avais dit que je reviendrait sur une autre méthode pour trouver les variations de notre polynôme de degré 4:
Citation :
2. Même exercice avec l'équation x4 = 32x - 48.

La méthode qu'on a utilisé pour l'instant est la plus simple lorsqu'on arrive à trouver une racine évidente de la fonction dérivée (ici c'était 2) mais comment faire si on ne trouve pas de racines évidentes de notre fonction dérivée?

Et bien, on va dériver une nouvelle fois pour se ramener à un polynôme de degré deux dont on connaît toutes les méthodes pour déduire son signe. Ensuite, on déduira le sens de variation de notre fonction dérivée de degré trois ce qui nous permettra de déduire son signe par la suite. Et on déduira du signe de la dérivée le sens de variation de notre fonction.

On a:
g(x)= x4- 32x + 48

Donc g'(x)=4x3-32
D'où g''(x)=4*(3x²)=12x²

On constate donc que pour tout x dans R*, on a g''(x)>0 et g''(0)=0.

Donc g' est strictement croissante croissante sur R

On a limx->-∞ g'(x)=-∞ et Limx->+∞ g'(x)=+∞
Donc pour tout xЄR, g'(x)ЄR

Or 0ЄR et g' est strictement croissante

Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique point α tel que g'(α)=0.

Conclusion, pour xЄ]-∞,α[, g'(x)<0 et pour xЄ]α,+∞[, g'(x)>0

D'où, g est strictement décroissante sur ]-∞,α[ et strictement croissante sur ]α,+∞[

Déterminons α:

On a g'(0)=-32<0 et Limx->+∞ g'(x)=+∞
De plus, 0Є]-32,+∞[
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, αЄ]0,+∞[

De plus, on a: g'(10)=4*103-32= 3968>0
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, αЄ]0,10[

De plus, g'(5)=4*53-32=448>0
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, αЄ]0,5[

La moitié de mon intervalle fait 2,5 là mais je vais prendre 3 pour garder des valeurs entières. Donc g'(3)=4*33-32=76>0
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, αЄ]0,3[

De plus, g'(2)=0
Sachant qu'on a unicité de α, on a donc α=2

Par conséquent,
g est strictement décroissante sur ]-∞,2[ et strictement croissante sur ]2,+∞[

Or g(2)=24-32*2+48=0

De plus, limx->-∞ g(x)=+∞ et Limx->+∞ g(x)=+∞
Or g est strictement décroissante sur ]-∞,2[
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, g ne s'annule pas sur ]-∞,2[

De plus, g est strictement croissante sur ]2,+∞[
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, g ne s'annule pas sur ]2,+∞[

Conclusion, 2 est l'unique solution de l'équation g(x)=0


Voilà une autre rédaction, très détaillée, pour cette question là. Bien entendu en devoir, il ne faut pas détailler autant sinon on perd du temps et ici ce n'était pas la méthode la plus rapide mais au moins tu auras vu une autre méthode si un jour tu te retrouve face à une étude de fonction polynôme qui te pose des soucis.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires   Mer 25 Mar - 17:36

Désolé pour le léger retard.

Oui, c'est vrai que je trouvais ça longtemps et fastidieux...

On dérive deux fois l'expression on a donc :

g(x)
g'(x)
g''(x)

On trouve le signe de g''(x) donc les variations de g'(x) et à partir des variations de g'(x), on détermine le signe de g(x) c'est bien ça?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires   Mer 25 Mar - 18:23

Bonsoir,

Pas tout à fait en fait. Le but est de déduire les variations de g et non son signe lorsqu'on fait une étude.

Par conséquent, la première partie est juste:

Citation :
On trouve le signe de g''(x) donc les variations de g'(x)

Mais à partir des variation de g'(x), on en déduit le signe de g'(x) et à partir du signe de g'(x), on en déduit les variation de g(x).


Cette méthode est rarement utilisée en terminale mais bon c'est un moyen de débloquer une situation et d'éviter la panique si on est bloqué sur une question de ce type là.

Le truc à retenir c'est que le plus souvent les racine sont évidentes et pour un polynôme de degré 3, il faut tenter en remplaçant x par -2, -1, 0, 1 ou 2 en espérant trouver une racine. Pour un polynôme de degré supérieure, il n'y a plus de méthode et la dérivation est le plus sur à faire en devoir.

bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires   Dim 5 Avr - 17:37

D'accord! Merci pour le tuyau! ET désolé pour le retard!
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MessageSujet: Re: Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires   Aujourd'hui à 16:31

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