Bonjour,
Tout est juste!
Sinon pour gagner en temps, il y a une méthode pour trouver l'encadrement plus rapide que le balayage par 10, puis par 5, puis par 2, puis par 1, puis par 0.2, puis part 0.1 puis par 0.02 et enfin par 0.1.
En effet, il suffit juste de diviser l'intervalle qu'on considère en deux à chaque fois et affiner réellement qu'à la fin. Ainsi on a beaucoup moins de calcul à faire et donc plus de temps pour faire autre chose.
Sinon, je t'avais dit que je reviendrait sur une autre méthode pour trouver les variations de notre polynôme de degré 4:
- Citation :
- 2. Même exercice avec l'équation x4 = 32x - 48.
La méthode qu'on a utilisé pour l'instant est la plus simple lorsqu'on arrive à trouver une racine évidente de la fonction dérivée (ici c'était 2) mais comment faire si on ne trouve pas de racines évidentes de notre fonction dérivée?
Et bien, on va dériver une nouvelle fois pour se ramener à un polynôme de degré deux dont on connaît toutes les méthodes pour déduire son signe. Ensuite, on déduira le sens de variation de notre fonction dérivée de degré trois ce qui nous permettra de déduire son signe par la suite. Et on déduira du signe de la dérivée le sens de variation de notre fonction.
On a:
g(x)= x
4- 32x + 48
Donc g'(x)=4x
3-32
D'où g''(x)=4*(3x²)=12x²
On constate donc que pour tout x dans R*, on a g''(x)>0 et g''(0)=0.
Donc
g' est strictement croissante croissante sur ROn a lim
x->-∞ g'(x)=-∞ et Lim
x->+∞ g'(x)=+∞
Donc pour tout xЄ
R, g'(x)Є
ROr 0Є
R et g' est strictement croissante
Donc
d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique point α tel que g'(α)=0.
Conclusion,
pour xЄ]-∞,α[, g'(x)<0 et pour xЄ]α,+∞[, g'(x)>0D'où,
g est strictement décroissante sur ]-∞,α[ et strictement croissante sur ]α,+∞[Déterminons α:On a g'(0)=-32<0 et Lim
x->+∞ g'(x)=+∞
De plus, 0Є]-32,+∞[
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, αЄ]0,+∞[
De plus, on a: g'(10)=4*10
3-32= 3968>0
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, αЄ]0,10[
De plus, g'(5)=4*5
3-32=448>0
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, αЄ]0,5[
La moitié de mon intervalle fait 2,5 là mais je vais prendre 3 pour garder des valeurs entières. Donc g'(3)=4*3
3-32=76>0
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, αЄ]0,3[
De plus, g'(2)=0
Sachant qu'on a unicité de α, on a donc α=2
Par conséquent,
g est strictement décroissante sur ]-∞,2[ et strictement croissante sur ]2,+∞[Or g(2)=2
4-32*2+48=0
De plus, lim
x->-∞ g(x)=+∞ et Lim
x->+∞ g(x)=+∞
Or g est strictement décroissante sur ]-∞,2[
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, g ne s'annule pas sur ]-∞,2[
De plus, g est strictement croissante sur ]2,+∞[
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, g ne s'annule pas sur ]2,+∞[
Conclusion, 2 est l'unique solution de l'équation g(x)=0Voilà une autre rédaction, très détaillée, pour cette question là. Bien entendu en devoir, il ne faut pas détailler autant sinon on perd du temps et ici ce n'était pas la méthode la plus rapide mais au moins tu auras vu une autre méthode si un jour tu te retrouve face à une étude de fonction polynôme qui te pose des soucis.
Bon courage pour la suite!