[TERM S] Exercice de spé Pondichéry 2009

Voici le lien du sujet de bac, c'est l'exercice 2.

Même avec le corrigé qui est disponible sur le même site ici, je ne comprends pas la question 3.a).

J'avais le début de l'idée qu'ils mettent dans le corrigé ( zn+1 = (1-i)zn + i et montrer que c'est une suite géométrique), mais ensuite je comprends pas comment ils enchainent le raisonnement avec le point invariant ?

Merci,

Nakor.

Bonsoir,

Alors en fait le piège est justement de croire que (z_n) est une suite géométrique. En effet, un suite (u_n) géométrique à un terme général qui s'écrit u_n=u₀*qⁿ.

Or ici, on nous dit de montrer que z_n=1-(1-i)ⁿ.

Donc on constate ici que si on veut voir une suite géométrique, il faut regarder la suite u_n=z_n-1

En effet, si leur formule est juste, on aura (u_n) suite géométrique de premier terme u₀=-1 et de raison q=1-i. Ainsi u_n=(-1)*(1-i)ⁿ et sachant que u_n=z_n-1, on retrouve bien z_n=1-(1-i)ⁿ.

Donc cette idée là si on l'a c'est la plus rapide car comme tu l'écris, on sait que z_n+1=(1-i)*z_n+i

Donc u_n+1=z_n+1-1=(1-i)z_n+(i-1)=(1-i)*(z_n-1)

Conclusion, u_n+1=(1-i)*u_n Donc (u_n) est une suite géométrique de raison q=1-i et u₀=z₀-1=0-1=-1

On retrouve bien ce qu'on cherche.

Bon maintenant, il faut savoir que les corrigés trouvé sur le net donne UNE démonstration possible (pour les site les plus sérieux car dès fois il y a des erreurs dans les corrections mais ici ce n'est pas le cas). Ils n'ont pas vocation a donner toutes les preuves possibles et toutes les explications possibles. Ici le soucis c'est que le correcteur ce la joue correcteur fatigué et écrit peu de détails ce qui peut gêner en effet. D'ailleurs, il revient à ce que j'ai fait au-dessus mais de façon plus rapide et plus automatique, on va dire.

En effet, que savons-nous d'une similitude à centre?

Il s'agit d'une transformation qui fait tourner un point par rapport au centre puis qui multiplie la distance au centre par un facteur k. D'ailleurs,o n peut apprendre la formule d'une similitude comme suit:

Une similitude S de centre C(ω), de rapport k et d'angle θ envoie un point M(z) sur un point M'(z') par la relation:
z'=k*e[su]i*θ[/sup]*(z-ω)+ω

Cette formule tombe du ciel dans votre court mais elle se démontre (certain professeur démontre cette formule d'ailleurs):

On sait qu'une Une similitude S de centre C, de rapport k et d'angle θ est telle que:

CM=k*CM'
(CM,CM')=θ [2*pi]

Ce qui s'écrit en complexe:

|z-ω|=k*|z'-ω|
Arg[(z'-ω)/(z-ω)]=θ <=> Arg(z'-ω)-Arg(z-ω)=θ <=> Arg(z'-ω)=θ+Arg(z-ω)

On a le module et l'argument du complexe z'-ω, on peut donc l'écrire en complexe: z'-ω=|z'-ω|*e^i*Arg(z'-ω)

On remplace par leur valeur ce qui nous donne: z'-ω=k*|z-ω|*e^{i*[θ+Arg(z'-ω)]}=k*e^i*θ*|z-ω|*e^i*Arg(z-ω)

Or |z-ω|*e^i*Arg(z-ω)=z-ω (c'est l'écriture complexe de z-ω)

Conclusion: z'-ω=k*e^i*θ*(z-ω)

Et c'est sur cette formule écrite ainsi quel e correcteur fait la différence. En effet, il écrit en fait: z'-ω=A*(z-ω) et sachant qu'ici ω=1 et A=1-i la conclusion est immédiate.

En espérant que ceci soit plus clair!

Bon courage pour la suite!

Ah oui ok ! Merci ! (la démonstration de la formule on l'avait vu en cours il me semble)