Distance d'un point à une courbe

Devoir de maths à faire mais gros problème pour le faire , voici le sujet :

Démontrer que si la distance d'un point A à un point M d'une courbe est minimale, alors le vecteur AM et le vecteur directeur de la tangente à la courbe en M sont orthogonaux.

Le prof nous a donné des indications, mais je n'arrive pas à voir leur utilité :
Soit A(a;b) et M(x;f(x)).
On pose dx=AM²=(x-a)²+(f(x)-b)²
Et si d est minimum en xo alors d'(xo)=0.

J'ai beau utiliser tout ce qui me passe par la tête je n'y arrive pas...
Aidez moi !!
Merci...

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Alors essayons de mettre en place le raisonnement. On cherche quoi en fait?

On cherche à montrer que si une distance est minimale entre A et M alors la vecteur AM est perpendiculaire au vecteur directeur de la tangente à C_f en M.

Donc ton professeur pose les idées on disant qu'on prend pour coordonnées de A et de M, respectivement (a;b) et (x;F(x)). Et ainsi, on définit la fonction distance au carrée:
D(x)=AM²=(x-a)² + [F(x)-b)]²

Et puis, il te rappelle qu'une fonction admet un minimum si la fonction dérivée s'annule en un point en changeant de signe. Mais là, il sous-entend qu'on sait déjà qu'il y a déjà existence d'un minimum unique et par conséquent, si la fonction dérivée s'annule c'est forcément au minimum.

Ainsi, on appelle x₀ l'abscisse du minimum de la fonction D(x). C'est à dire que D'(x₀)=0 et D(x₀) est minimal.

Bon maintenant, nous avons la valeur de notre distance minimale c'est à dire √[D(x₀)] ainsi que l'abscisse du point M pour que ce minimum soit réalisé c'est à dire x₀. C'est à dire que M₀(x₀;F(x₀) est tel que AM² soit minimal c'est à dire tel que AM₀ soit minimale.

i) Maintenant quelles sont les coordonnées du vecteur directeurs de la tangente à C_f en M₀?
ii) Comment montrer que deux vecteurs sont perpendiculaire?


Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas clair dans ce que j'ai dit ou autre!

Alors donc on a le vecteur directeur de la tangente à la courbe qui est : u(1;f'(x)) c'est à dire, (1;2x-2) je ne sais pas si c'est utile de la calculer mais bon .

Et pour montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires, il faut montrer que leur produit est égal à zéro... Mais comment trouver le vecteur directeur de AM ?
On a la distance minimale... Mais pas le vecteur ? Faut il calculer sa dérivée ? j'ai essayé mais j'ai obtenu un truc très étrange.
Merci.

Bonjour,

Les coordonnées du vecteur directeur de la tangente en M est tout à fait exacte! Si j'appelle u le vecteur directeur dont l'origine est M₀,

il va, donc en effet, falloir montrer que le produit scalaire: AM₀.u=0

Par contre, je ne pense pas qu'il faille expliciter F'(x), garde simplement F'(x₀) tout simplement.

Maintenant que valent les coordonnées de AM₀? Je rappelle que M₀ est le point réalisant le minimum de la fonction D(x) c'est à dire d'abscisse x₀ (d'où le nom de M₀ que j'utilise ).Ne cherche pas à expliciter les coordonnées avec des dérivée ou autre écris-les simplement en fonction des données et de F(x) et x.

Ensuite regarde le produit scalaire et cherche ce qui pourrait te convaincre d'après les hypothèse de sa nullité en x₀.

Est-ce que tu comprends le raisonnement qu'on utilise ici?

Bon courage et n'hésite pas à demander des précisions si quelque chose n'est pas claire!

Oula... Alors non je n'ai pas tout compris... Je ne vois pas en fait comment on peut exprimer AM en fonction de f(x) et de x... Car A n'a rien à voir avec f(x)... Je ne vois pas vraiment...
Et quelles sont les hypothéses qui me permettent de montrer que leur produit est égal à 0 ?
Merci

J'ai marqué en fonction des données et de F(x) et x . Les données sont a et b bien entendu vu que A ne dépend absolument pas de la coubre vu que seul M appartient à celle-ci.

En fait, on sait que le minimum est atteint pour une abscisse de M égale à x₀. Donc en toute logique, nous devons surtout chercher les coordonnées de AM₀ en fonction de a, b, F(x₀) et x₀.

A partir de là, on a utilisé quasiment toutes les données du problème c'est à dire que le minimum existe et est atteint en x₀, que le point M appartient à la courbe et la définition du vecteur directeur de la tangente en M₀ à la courbe C_f. Il en reste donc plus qu'une seule donnée qu'on n'a pas réellement utilisé qui serait que D'(x₀)=0 connaissant la forme de D(x).

Est-ce plus clair ainsi ou toujours aussi flou?

En fait, il faut vraiment se focaliser sur ce qu'on a dans les données dans un premier temps et essayer d'en tirer le maximum d'informations en mettant en évidence les choses qui sont en lien avec notre problème c'est à dire:

- Coordonnées du vecteur directeur de la tangente
- Coordonnées du vecteur AM
- Deux droites sont perpendiculaires si leur vecteur directeur sont orthogonaux c'est à dire que leur produit scalaire est nul

A partir de là, on sait exactement où on va et il faut donc mettre tout en évidence pour y arriver. On constate quel e produit scalaire sera la dernière chose à calculer car il nous faut les coordonnées des vecteurs d'abord.
Ensuite, nous connaissons les coordonnées d'un vecteur directeur d'une tangente à partir du moment où on sait que la fonction F est dérivable en ce point là.
Enfin, il nous reste à expliciter où on va devoir calculer les coordonnées c'est à dire à trouver les coordonnées du point M qui réalise le minimum de la distance AM. Et les données nous disent que ce minimum est atteint pour une abscisse égale à x₀. Donc connaissant l'abscisse du point M, on peut déduire sont ordonnée vu qu'il appartient à la courbe C_f. Et on peut même conclure sur les coordonnées du vecteur AM connaissant les coordonnées du point A.

Est-ce que la démarche te paraît plus clair là? Il faut vraiment bien structurer les chose au brouillon et poser clairemetn ce qu'on cherche à faire puis ensutie ce qu'on a pour y arreiver et enfin chercher à faire le lien entre les deux.

Bon courage!

Oui merci c'est clair ainsi, cependant, il reste un point trouble pour moi...
Comment avec les coordonnées des points Mo(xo,f(xo)) et A(a;b) et le fait que d(xo)=0 peut-on trouver le vecteur AM ?

Désolée... Mais je bloque vraiment ^^

J'imagine très bien que cela n'estp as simple car manipuler autant de variable en meêm temps n'estp as des plus simple mais en fait ici nous sommes en train d'effectuer une démonstration d'un résultat très intéressant qui généralise l'idée de distance d'un point à une droite (la perpendiculaire passange par le point). Donc forcément, lorsqu'on essaie de rester très généraliste pour que le théorème ou la propriété soit démontrée dans un cadre le plus générale possible, il faut qu'on reste dans un cadre théorique avec toute les variables.

Alors ici nous avons A(a;b) et M₀(x₀; F(x₀) donc que valent les coordonnées de AM₀ d'après la définition même de coordonnée d'un vecteur (il ne faut pas chercher loin dès fois )?

Ensuite, que vaut le produit scalaire AM₀.u?
Et enfin que donne comme relation D'(x₀)=0 d'après la définition de D?

Bon courage!

Donc d'après les coordonnées d'un vecteur le vecteur AM a pour coordonnées (x-a;f(x)-b)... C'est ça ?
Et le produit de u.AM=0 donc (x-a)+(f(x)-b)(f'(x))=0...
Et pour D'(x)=0... Et bien ça nous permet de dire que la courbe de D change de sens en xo ...? C'est ça qu'il faut en déduire ? Et si oui quel est l'intéret de cette information ?

Merci beaucoup

Alors les coordonnées de AM₀ sont exactes et s'en suit que le propduit scalaire est exact aussi.

Cependant, nous ne savons pas encore que le produit scalaire est nul vu que c'est ce qu'on cherche à montrer . Donc faut mieux éviter d'écrire qu'il est nul.

Maintenant, pour D'(x₀) cela signifie qu'il y a peut-être un minimum mais ici, on affirme qu'il y a un minimum. Mais la déduction de cela, nous permet de dire que notre abscisse réalisant le minimum est x₀ ce que nous avons déjà utilisé pour l'isntnat.

Que pouvons-nous déduire d'autre sur D'(x₀)=0? Qu'est-ce qu'on a pas encore fait en fait? On a pas encore utilsier l'expresion de D(x) et donc nous n'avonsp as encore calculer la dérivée de cette fonction pour savoir quelle relation entre toutes les données cela nous donne lorsque cette dérivée est nulle.

Et bizarrement c'est la seule chose qu'on n'a pas encore fait et c'est aussi la seule chose qu'on peut encore déduire de toutes les données car sinon, nous avons tout utilisé.

Bon courage!

Donc le but est de calculer la dérivée... Et si je sius le raisonnement nous allons trouver les mêmes expressions pour le produit des vecteurs que pour la dérivée je me trompe ?
Enfin si je calcula la dérivée j'obtiens :
d'(x)=2(x-a)+2(f'(x)(f(x)-b)...
Et si on factorise on obtient : d'(x)=2(x-a+f'(x)*f(x)-b*f'(x) et pour d'(xo) on obtient que tout ça est nul....

Or, si on calcule le produit des vecteurs on trouve : u.AM=x-a+f'(x)*f(x)-b*f'(x).
Ce qui est la même chose... Hormis le 2... Il n'a pas d'importance ?? Ou comment l'enlever alors ?

Merci beaucoup...

C'est tout à fait exact !

Maintenant, le soucis est de savoir pourquoi on a le droit d'enlever le 2.

En fait que savons-nous de la valeur de D'(x₀)? Du coup, que pouvons nous dire de la valeur de 2(x-a)+2(f'(x)(f(x)-b)? Et donc en factorisant par 2, que déduisons-nous?

Bon courage!

Eh bien en factorisant par 2... Si le produit est nul... Il est possible de diviser par 2 de chaque coté de l'égalité... Et donc d'obtenir l'égalité souhaitée... C'est ça...?

En tout cas merci énormement.. Je n'aurais rien pu faire sans vous . Merci beaucoup !!

C'est tout à fait exacte en effet!

Ce petit exercice est en fait très intéressant car il montre un réelle démarche scientifique vu qu'on souhaite démontrer quelque chose à partir de quasiment rien mis à part des théorèmes classiques liés à la dérivée. Il montre donc un état d'esprit mathématique qui répond à la question "comment démontrer ceci?". Et bien, il faut y aller par étape en essayant de tout bien mettre en palce sans jamais perdre de vue l'objectif.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!