Bonsoir,
En fait, on définit l'exponentielle comme une fonction comme une solution de l'équation fonctionnelle suivante:
Pour F une fonction de R à valeur dans R*, on pose: pour tout x,y dans R, F(x+y)=F(x)*F(y).
On constante qu'en posant: x=1 et y=0, on a: F(1+0)=F(1)*F(0) donc F(1)=F(0)*F(1) <=> F(0)=1 (car F(1) est non nul vu que F est à valeur dans R* par hypothèse).
De plus, si je pose x=y, on a: F(2x)=F(x)*F(x)=[F(x)]²
D'où en prenant, x=u/2, on a que pour tout u dans R, F(u)=[F(u/2)]²
Ainsi, notre fonction F est toujours positive ou nul.
On constate qu'on peut continuer à raisonner ainsi et donc arriver au fait que F(n)=F(1+1+...+1)=[F(1)]n pour n entier non nul. ET on peut dérouler ainsi pour n dans Z puis n dans Q et enfin par densité, on obtient que pour tout x dans R, F(x)=[F(1)]x et en posant F(1)=e, on retrouver l'exponentielle.
on c'est une méthode pour retrouver que l'exponentielle est positive. Mais le plus souvent, on définit l'exponentielle comme la solution de l'équation différentielle: F'(x)=F(x) pour tout x dans R avec F(0)=1.
En effet, on pose, G(x)=F(x)*F(-x) avec F solution de l'équation différentielle, je dérive: Pour tout x dans R, G'(x)=F'(x)*F(-x) + F(x)*[-F'(-x)]
Or F'(x)=F(x) et F'(-x)=F(-x)
Donc pour tout x dans R, G'(x)=F(x)*F(-x) - F(x)*F(-x)=0
Donc G est constante sur R vu que sa dérivée est nulle pour tout les réelles. Donc pour tout x dans R, G(x)=G(0)=F(0)*F(-0)=1
D'où pour tout x dans R, F(x)*F(-x)=1
Cela veut donc dire que pour tout x dans R, F(x) est non nulle. Par conséquent, soit elle est toujours positive comme fonction soit elle est toujours négative.
Or F(0)=1>0
Donc notre fonction est toujours positive.
En espérant que cela répondra à ta question en tout cas. Il y a deux autre façon de définir la fonction exponentielle au cas où n'hésite pas à demander si on ne t'as pas défini la fonction exponentielle comme je l'ai fait (soit l'une soit l'autre des manière), je te montrerai cela autrement à la rigueur.
Bon courage!
Lun 24 Mai - 16:01
