Suite de Fibonacci

Re bonsoir,

Soit (U_n) la suite définie par U₀=0, U₁=1 et, pour tout n Є N, U_n+2=U_n+1+U_n (1)
1.Calculer U₂ ,U₃, U₄, U₅
2..Soit α et β les deux racines de l’équation :
x² -x -1 =0
Donner les valeurs exactes de α et β ( on notera α la plus petite valeur)
3.Montrer que la suite définie pour tout n Є N, par V_n = λαⁿ + μβⁿ est solution de (1)
4.Déterminer λ et μ telles que V₀=U₀ et V₁=U₁. On admet désormais que, pour tout n Є N, U_n =V_n
Indication du prof Question 3: il est inutile d’utiliser les valeurs exactes de α et β trouvées dans la question précédente
on utilisera le fait que α et β sont solutions de x² - x- 1=0, ce qui donne x² = x+1.

J'ai trouvé U₂=1 U₃=2 U₄=3 U₅=5
Les deux racines α=(1-V5)/2 et β=(1+V5)/2
après je ne vois pas trop quoi faire, j'ai essayé ça vn+1 +vn = λαⁿ⁺¹ +μβⁿ⁺¹+ λαⁿ + μβⁿ
= λαⁿ(α+1) +μβⁿ(β+1)
Mais je suis resté bloqué

La fameuse suite de Fibonacci! Elle en aura fait couler de l'encre celle-là.

Bon trève de bavardage et allons-y.

La première question est juste. La deuxième est excellente!

La troisième par contre elle n'est pas aboutie et c'est dommage ça !!

Le but est donc de montrer que V_n+2=V_n+1+V_n

On a claculer V_n+1+V_n mais que vaut V_n+2? Est-ce que par harsard α+1 ne serait pas égale à ce qu'on cehrche pour avoir la bonne puissance?

Bon courage!

Ok je crois que j'ai compris :

vn+1 +vn = λαⁿ⁺¹ +μβⁿ⁺¹+ λαⁿ + μβⁿ
= λαⁿ(α+1) +μβⁿ(β+1)
Mais on sait que α+1=α² et β+1=β²
Donc vn+1+vn= λαⁿ*α² +μβⁿ*β²
vn+1+vn=λα⁽ⁿ⁺²⁾ + μβ⁽ⁿ⁺²⁾

Donc c'est bien Vn+2

Et par contre pour la question pour la quest 4 je n'ai pas trop d'idées

Bonsoir,

C'est nickel pour la troisième question.

Maintenant pour la 4), ne pas avoir d'idée m'étonne un peu. Le but ici est de montrer que l'écriture explicite en fonction de n est bien la même suite que la suite de Fibonacci. On a montré dans la 3) que notre suite (V_n) vérifiait bien la relation de récurrence.

Et la question 4) a donc pour but de fixe les deux constante pour que notre suite vérifie aussi les conditions initiales. Il nous resterait à montrer l'unicité de la solution mais dans cette exercice on va admettre que V_n=U_n lorsqu'on a les bonnes constantes.

Maintenant, que vaut V₀ et V₁ en fonction des constante bien évidemment? Que vaut U₀ et U₁ d'après l'énoncer?

Nous devons avoir les deux conditions simultannément. Nous sommes donc devant un système de deux équations à deux inconnues μ et λ vu que alpha et béta sont toutes les deux fixées.

Est-ce que la démarche te semble plus claire?

Bon courage pour la résolution de ce système!

J'essaye

U0=V0=0==> λ + μ = 0
U1=V1=1==> λ(1-V5/2)^1 + μ(1+V5/2)^1=1


Pour trouver ce système
λ + μ = 0
λ(1-V5/2)+ μ(1+V5/2)=1

Est-il bon ?

Il est tout à fait exacte!

Tu pouvais presque l'écrire en fonction de alpha et béta aussi mais peut-être que l'explicitation aidera dans les calculs après tout.

Bon courage pour la résolution de ce système!

λ + μ = 0 ===< μ=-λ
λα+ μβ=1

λα+ -λβ=1 ===< λ=1/(α-β)

Après en appliquant la formule je trouve λ=-1/V5 et α=1/V5

Voilà j'espère que je ne me suis pas trompée dans mes calculs

Sans refaire les calculs, je dirai que c'est tout à fait cohérent au fait près que c'est mu pour le deuxième et non alpha .

Nous avons donc explicité la suite de Fibonacci. Enfin l'une des suites de Fibonacci car tu le constates toi même, si on change la valeur de U₀ et de U₁ nous allons trouver d'autre constante qui vérifie la relation de récurrence de Fibonacci.

Sinon, il faut avoir conscience qu'on a juste montré l'existence de notre suite ici. En effet, on a explicité V_n en fonction de n avec les bons coefficient pour que tout marche. Mais nous n'avons pas montrer l'unicité. C'est à dire existe-t-il d'autre forme de suite vérifiant les hypothèses?
La réponse est non mais nous ne le montrons pas il faut bien en avoir conscience pour savoir quel raisonnement nous avons mis en évidence ici.

En espérant que la démarche de cette exercice t'aura fait réfléchir sur quelque méthode de calcul ainsi que sur une démarche scientifique en générale (pour la remarque en aparté à la fin).

Bon courage pour la suite!