Activité Intégration

Bonjour !

Nous venons d'entamer le chapitre sur les intégrations en classe, et du coup j'ai une activité à faire en DM pendant ces vacances. Il me semble que cette activité permet de "démontrer" certaines choses essentielles de ce chapitre, avec l'utilisation de suites adjacentes qui permet de calculer l'aire sous une courbe quelconque, si j'ai pu y comprendre quelque chose ?

En tout cas nous n'avons fait que survoler ce début de chapitre, donc je pense que ces exercices et notamment cette activité seront certainement longs et fastidieux ^^
C'est pour ça que je m'y lance dès le début des vacances d'ailleurs..

Voici l'énoncé :
https://2img.net/r/ihimizer/i/scan4u.jpg/

(Il n'est pas complet, il manque encore deux questions qui se trouvent sur une page différente, que je scannerai un peu plus tard si ces premières questions sont acquises)

Alors enfait, je ne sais pas vraiment par quoi commencer..
La suite u_n est une somme d'aire de n rectangles qui possèdent chacun la même largeur 1/n. Leur longueur n'est cependant jamais la même et dépend de l'abscisse du point le plus petit qui est à la "base" du rectangle, élevée au carré.
Si l'on pouvait définir cette longueur on pourrait calculer les aires des premiers rectangles par exemple, et les comparer entre eux pour peut-être voir que la suite u_n est une somme de suites arithmétiques ou géométriques et du coup on aurait une formule qui pourrait peut être nous amener à la formule que l'on cherche à trouver.

Mais je n'arrive pas à calculer cette longueur selon n, pourriez-vous me mettre sur la piste ?

Suis-je sur la bonne voie ?

Je vous remercie d'avance,
Mirabelle

Bonsoir,

Merveilleuse activité que celle-ci. Pourquoi? Car c'est la plus classique des activité pour introduire la notion d'intégrale et donc d'intégration. Bonj e vais m'attarder un tout petit peu sur l'aspect globale de l'activité.

Que cherche-t-on à faire exactement?

(la question primordiale: "Où va-t-on?")

Et bien, nous souhaitons déterminer l'aire sous la courbe de la fonction carrée sur l'intervalle [0;1]. Bon dit comme cela c'est un peu vague mais essayons de reprendre l'idée. En fait, on va délimiter une partie du plan dont on va chercher l'aire. Rien de plus simple me diras-tu si la forme en question étiat fait de lignes brisées par exemple c'est à dire de raccord de petit segment. Il y aurait donc des trapèze un peu partout et nous savons très bien faire cela. Le soucis ici c'est que la fonction carrée et bien c'est une fonction qui est continue et même dérivable. Du coup, c'est une ligne continue cette petit chose et là le drame, on ne sait pas faire le calcul !!!

Mais qui a dit qu'on s'arrêtait au premier problème en mathématiques? Personne! Tant mieux . Du coup, quelle est l'idée pour calculer cette aire là?

Et bien vu qu'on ne sait pas faire le calcul de façon directe et bien on va essayer au moins d'approcher cette aire. Après tout c'est possible et la plus simple façon d'approcher les chose serait de dire que l'aire en question est inférieur à l'aire du carré de côté 1 tout simplement. En effet, le carré de côté 1 est délimité par les deux axes ainsi que par les droites d'équation y=1 et x=1. Donc notre aire à calculer est bien à l'intérieur de ce gros carré.

Du coup, avant même de commencer on peut se dire quel e résultat qu'on trouvera sera forcément inférieur strictement à 1 (un carré de côté 1, ça admet une aire de 1 ). Et puis on pourrait se limiter là qu'en penses-tu?

Bon ce n'est pas très intéressant car on aimerait vraiment l'approcher de façon un peu moins grossière cette aire tout de même. Après tout, nous ne sommes pas si bête . Mais alors comment faire?

Et bien, on découpe notre intervalle en n sous intervalles de taille n. 1/n+1/n+...+1/n=n*(1/n)=1 donc tout marche bien jusque là ce n'est pas trop déconnant. En effet, on part bien de 0 et on arrive à 1 en ayant parcouru n intervalle de largeur 1/n.

Et maintenant, nous allons entouré notre aire par des rectangles. Mais pas n'importe quels rectangles (sinon, on risquerait d'être encore trop grossier au niveau de notre approche). On va donc s'arranger pour qu'une partie des rectangles soit totalement incluses dans la partie S mais avec un point en commun avec la courbe pour chacun d'eux. Ainsi, c'est une approche dite par défaut car l'aire qu'on trouvera sera strictement inférieur à l'aire cherché mais bon au moins on ne sera pas très loin de la valeur recherchée. Et pour l'autre partie et bien on va cette fois-ci considérer des rectangles qui contienne totalement l'aire S qu'on cherche et ayant toujours un point en commun avec la courbe pour chacun d'eux. C'est ce qui s'appelle une approche par excès cette fois-ci vu que l'aire sera strictement supérieure à l'aire recherchée sans pour autant y être très éloignée.

Du coup, avec tout ça, on a quoi sous les yeux?

Et bien, on a réussi à totalement encadrer l'aire qu'on cherche par d'une par une approche par défaut et d'autre par une approche par excès. Et que constatons-nous si on augmente le nombre d'intervalles qu'on considère? Et bien qu'on va se rapprocher de plus en plus de l'aire qu'on cheche car les rectangle vont être de moins en moins large et donc de plus en plus proche de la courbe elle-même. Ainsi, on sent bien qu'à la limite, nous allons être exactement à l'aire que nous cherchons.

Maintenant, comme tu l'as remarqué, l'une des deux suites va être croissante (celle par défaut qui va augmenter vers l'aire recherchée) et l'autre décroissante (celle par excès qui va décroître vers l'aire recherchée). Et nous allons donc avoir à faire à des suites adjacentes que cela n'étonnera personne .

Et bien, il ne nous reste plus qu'à faire les calculs d'aire maintenant vu qu'il s'agit de somme d'aire de rectangle cela ne devrait pas être déficile à calculer encore faut-il avoir accès à la largeur et à la longueur de chacun des rectangles. Bon pour la largeur c'est facile en effet. Mais pour la longueur comment faire?

Pourquoi, ne pas regarder simplement sur les trois premiers rectangles par exemple avant de chercher la formule générique?

Bon courage!

Bonsoir,
Merci pour ces explications.

Je suis peut-être arrivée à quelque chose, mais ces résultats me paraissent assez "grossiers" donc je ne suis pas sûre du tout que ce soit ce à quoi vous vous attendiez :

Pour le premier rectangle tout d'abord, pour l'approche par défaut et bien je dirais que son aire est égale à zéro puisque dans ce cas sa longueur est égale à zéro également.
Par excès, sa longueur serait égale à 1/n²
Donc son aire à sa longueur x sa largeur : 1/n x 1/n² = 1/n³

Pour le second rectangle, si je reprends mes calculs d'avant et bien il s'agit de l'aire calculée par excès du premier rectangle, donc 1/n³
Par excès, sa longueur serait cette fois égale à 4/n²
Et son aire : 1/n x 4/n² = 4/n³

Pour le troisième, son aire par défaut est de la même façon égale à l'aire par excès du rectangle précédent
Et son aire par excès : 9/n³

Est-ce correct ?

C'est tout à fait correct!

Et en plus, il n'y a même pas besoin de généraliser la démarche vu qu'on te demande de montrer qu'une expression est juste et l'expression en question c'est l'addition de toutes les aires. Donc en justifiant bien les calculs des aires, tu va pouvoir finir la question 1) sans trop de difficulté, je pense. On aurait pu démontrer cela par récurrence aussi en démontrant le passage d'un découpage en n intervalle à un découpage en n+1 intervalle. Mais je pense sincèrement qu'une bonne explication comme tu viens de le faire là, suffit largement .

Bon courage!

En calculant les aires par défaut des deux derniers rectangles je trouve :

(n² - 4n + 4)/ n³

Puis (n² - 2n + 1)/ n³

En développant la suite u_n je retrouve bien les aires des deux premiers rectangles puis du dernier.
Mais détailler ces calculs comme je viens de le faire suffit-il à prouver quelque chose ?!
On ne sait pas ce qui se passe entre les pointillets, on ne fait que "prouver" trois calculs sur un nombre indéterminé..

Comment rédiger cela ?

Merci beaucoup,
Mirabelle

Il doit y avoir un petit soucis je pense car le dernier terme par défaut est (n-1)²/n³ c'est à dire (n²-2n+1)/n³ d'après la réponse qu'on attend. et par excès le dernier terme c'est n²/n³.

Pour la rédaction, tu peux écrire correctement les choses en ne calculant pas tous les termes comme tu la fait, c'est rigoureux en fait du mometn que la méthode est bien explicité pour chaque calcul (pourquoi il y a telle longueur pour l'excès et telle longueur pour le défaut). Le mieux serait de considérer une étape k générique avec k compris entre 0 et n-1 pour le défaut par exemple et bien mettre en évidence le calcul de la démarche puis dire ensuite que tu sommes de 0 à n-1. C'est un moyen de faire qui est tout à fait acceptable en fait.

Sinon, c'est la récurrence en considérant le passage de n intervalle à n+1 intervalle. C'est aussi faisable ainsi après tout.

Est-ce que les démarches proposées te semblent satisfaisantes?

Bon courage!

Bonjour !

Oui excusez moi je n'ai pas été très claire dans ma dernière réponse, je calculais enfait l'aire par défaut des deux derniers rectangles sans calculer l'aire par excès (je traitais juste la première question concernant la suite un pour le moment).

Merci pour votre réponse, je vais tenter de rédiger ça le plus clairement possible et si mon scanner le veut bien je pourrais toujours vous le montrer sur le forum une fois écrit au propre.

J'ai un seul petit soucis concernant cette question, lorsqu'il s'agit de calculer l'aire par excès du dernier rectangle. La réponse attendue est bien n²/n³ vu l'énoncé, et vous l'avez également vous même écrit mais je n'arrive pas à le trouver ?

Ce dernier rectangle a une largeur de 1/n comme tous les autres, et une longueur de 1² il me semble ? ce qui donne bien 1, c'est même indiqué dans l'énoncé.
Cependant en multipliant les deux je trouve 1/n x 1 = 1/n à nouveau..
Ce qui n'est pas la bonne réponse.

Pour trouver le bon résultat il faut transformer la fraction 1/1 en n²/n², c'est donc comme ça qu'il faut trouver la réponse ?
Ca me paraît un peu bizarre comme démarche ?! m'enfin bon, pourquoi pas après tout. Je préfère vous en parler en tout cas, au cas où je me tromperais..

Pour la question suivante, voici ce que j'ai tenté de faire :

Soit Qn la propriété " somme des k² de k=1 à k=n est égale à ( n+1)(2n+1) ) / 6 "

Pour n=1 on trouve 1 pour chaque calcul, donc Q1 vraie.
On suppose la propriété Qn vraie pour tout n, démontrons qu'elle est vraie pour n+1 :

J'ai alors calculé d'une part ( (n(n+1)(2n+1)) /6 ) + (n+1)²
et d'autre part ( (n+1)(n+2)(2n+2) ) / 6

En toute logique je devrais trouver le même résultat pour les deux calculs et je pourrais donc conclure ma démonstration par récurrence, mais je trouve pour le premier calcul (2n³ + 9 n² + 13n + 1) / 6
Alors qu'au deuxième je trouve ( 2n³ + 8n² + 10n + 4 ) / 6

Voyez-vous d'où vient mon erreur ?

Je vous remercie d'avance,
Mirabelle

Bonsoir,

Citation :

Ce dernier rectangle a une largeur de 1/n comme tous les autres, et une longueur de 12 il me semble ? ce qui donne bien 1, c'est même indiqué dans l'énoncé.
Cependant en multipliant les deux je trouve 1/n x 1 = 1/n à nouveau..

En effet, j'ai bien trouvé n²/n³ mais toi aussi en fait . Je te laisse simplifier la fraction tout simplement. alors pourquoi une tel écriture? Pour que la factorisation par 1/n³ soit visible tout simplement. En gros, tu peux laisser 1/n comme aire ce qui est logique. Et lorsque tu fera la somme et que tu mettras 1/n³ en facteur et bien tu vas faire apparaître n² comme dernier terme de la somme tout simplement. Il y a plusieurs moyen de l'écrire mais la cohérence reste là en tout cas.

Pour la récurrence, il s'agit d'une erreur de calcul. Le terme de droite dans l'égalité pris au rang n+1 n'est pas égale à ( (n+1)(n+2)(2n+2) ) / 6.

En effet que vaut le terme (2*k+1) au range n+1?

Bon courage!

Ok donc c'était quand même ce que je pensais. ^^ Cette première question est donc réglée, je dois juste la rédiger correctement. Merci !

Aaah, mon problème vient de là alors..
Et bien je dirais.. que cela donne (2n+3) et non pas (2n+2) ?
J'ai apparemment fait une autre erreur dans l'autre calcul, maintenant je trouve comme réponse commune 2n³ + 9n² + 13n + 6

Et non pas "+1" à la fin du calcul.

Puis-je avoir votre approbation avant d'attaquer la suite ?
=)

Si la réponse est commune pourquoi se poser des questions . Un peu de confiance en toi, voyons!

En effet, 2*(n+1)+1=2*n+2+1=2n+3.

L'erreur est classique certes mais ce n'est pas parce qu'elle est classique qu'il faut la faire . Il vaut mieux faire attention à ce genre de chose et regarder les deux premier terme par exemple, tu aurais vu le problème tout de suite, je pense.

J'imagine qu'ensuite, on te demande d'exprimer U_n et V_n en fonction de n et de démontrer que les deux suites sont adjacente non?

Bon courage!

Ok, merci. ^^

Oui ce sont les prochaines questions. " déduire de nouvelles expressions des termes u_n et v_n "

Pour la suite v_n la somme est la même, il suffit simplement dans ce cas de multiplier la formule que l'on a démontré par récurrence par 1/n³ ?

On obtiendrait alors : v_n = ( 2n³ + 3n² + n ) / 18
Mais je doute que ce soit cela qui soit demandé ?!
Cependant je ne vois pas quoi faire d'autre..

Pour la suite u_n ensuite, j'arrive de la même façon à u_n = ( 2n³ - 2n² ) / 6
En modifiant n en n-1 et n+1 en n à cause de la somme qui est différente, mais je n'en suis pas persuadée non plus.

Bonne soirée, et merci beaucoup de votre aide encore une fois.
Mirabelle

Les questions s'enchaînent et sont simples, on ne va pas s'en plaindre tout de même.

D'après ce qu'on vient de faire, on déduit de façon assez élémentaire les expressions de U_n et V_n en remplaçant les sommes par leur valeur tout simplement.

Par contre, il y a une erreur:

Citation :

v_n = ( 2n³ + 3n² + n ) / 18

On a multiplié la somme par 1/n³, c'est bien cela?

Bon courage!

Oui c'est bien ça, effectivement une erreur s'est glissée la dedans

Pour v_n : ( 2n³ + 3n² + n ) / 6n³

Pour u_n : ( 2n³ - 2n² ) / 6n³

On pourrait simplifier les expressions mais on s'en sortirait avec des n^-1, je pense qu'il est préférable de les laisser comme ça ?

Bonne journée,
Mirabelle

Bonjour,

Comment calcules-tu u_n en fonction de n vu que la somme n'a pas tout à fait la même?

Sinon, v_n est juste. On peut simplifier par n par contre et garder le quotient, cela ne mange pas de pain.

Bon courage!

Bonjour,

Pour la suite u_n, sa somme commence à 0 et se termine à n-1 alors que la somme trouvée par récurrence commence à 1 et se termine à n.
J'ai donc changé n+1 en n, et n en n-1, j'ai décalé la somme d'un rang.. je ne vois pas comment faire autrement pour les faire correspondre ?
C'est apparemment faux

vⁿ = ( 2n² + 3n + 1 ) / 6n²

Merci,
Mirabelle

Nous avions ceci:

∑(k=1 à n) k² = n*(n+1)*(2n+1)/6

Et nous voulons ceci: ∑(k=0 à n-1) k²

Donc en effet, il faut considérer la somme jusqu'à n-1 au lieu de n sachant que pour k=0 cela ne change rien à la somme.

En conclusion on a donc: ∑(k=0 à n-1) k² = (n-1)*[(n-1)+1)*[2(n-1)+1]/6

Es-tu d'accord avec cela? Ce qui me fait voir l'erreur en fait c'est qu'il y a encore un terme en n de degré 1 qui doit apparaître à la fin dans l'expression vu que seul n est en facteur total et nous n'avons pas de n² en facteur total, donc aucun risque d'annulation des terme de degré 1.

Ce qui devrait te sauter aux yeux en fait c'est qu'il y a juste une différence de 1 terme entre les deux suites qu'on considère (vu que le 0 ne contribue pas dans la somme). Du coup, la forme globale des deux suites devrait être sensiblement la même ce qui n'est pas le cas car d'un côté il y a seulement n en facteur et de l'autre il y a n² qui peut être mis en facteur ce qui change la forme de la suite en fait. V_n est juste quant à lui.

Bon courage!

Bonjour,

Hunh, oui, j'ai compris d'où provenait mon erreur.. C'est la même que tout à l'heure, j'aurais du m'en rendre compte, je suis désolée.

Je trouve donc u_n = ( 2n³ - 3n² + n ) / 6n³

C'est à dire u_n = ( 2n² - 3n + 1 ) / 6n²

Citation :

Montrer que les deux suites sont adjacentes et calculer leur limite commune. En déduire une définition de l'aire de la surface S

J'ai calculé u_n+1 - u_n = ( 18n² + 6n - 6 ) / ( 6n² + 12n + 6 )(6n²)

Le numérateur est tjrs positif, ainsi que le dénominateur (multiplication de membres strictement positifs), la différence est donc positive.
Donc u_n+1 > u_n
Et donc la suite u_n est croissante.

Pour la suite v_n, v_n+1 - v_n = (- 8n² - 15n - 1 ) / ( 6n² + 12n + 6 )(6n²)

Le dénominateur est strictement positif comme pour la suite précédente, le numérateur est strictement négatif.
Le quotient est ainsi négatif, donc v_n+1 < v_n
Et donc la suite v_n est décroissante.

----

En calculant v_n - u_n on trouve un résultat égal à 1/n après simplifications.

Et lim x->+oo de (1/x) = 0

Donc les suites u_n et v_n sont adjacentes, et donc elles tendent vers une même limite L.

Par contre je crois que j'ai un petit soucis lorsque je calcule ces limites..
Je cherche donc :
lim +oo v_n = lim +oo u_n = L
lim L v_n = lim L u_n = L

Donc L devrait à la fois être solution de l'équation :

( 2(L²) + 3L + 1 ) / 6L² = L

et également solution de l'équation :

( 2L² - 2L + 1 ) / 6L² = L

Ca pose déjà un petit problème parce qu'on arrive à un trinôme du troisième degré, mais en regardant à la calculatrice une seule solution apparaît pour chaque équation et ce n'est pas la même.

Quelle grosse erreur ais-je fait ?

Je vous remercie d'avance,
Mirabelle

Bnosoir,

En fait, le fait de laisser sous forme factorisée aurait pu te permettre une justification du signe de façon plus rigoureuse en fait. Car:

Citation :

multiplication de membres strictement positifs

alors que les facteurs ne question sont des polynôme de degré 2 dont tu n'as pas explicité le signe (calcul du discriminant et signe du coefficient dominant) cela peut donc te mettre en défaut. J'ai tendance à dire que tout ce qui s'énonce clairement est mieux perçu voire même plus juste le plus souvent que de longue phrase surtout dans des exercices de maths.

Même remarque pour la suite (v_n). En fait, essaie de te relire et de te dire que tu n'as pas fait l'exercice et que tu es correcteur de l'exercice. Admettons que c'est la 15ème copie de la journée, tu connais les réponses par cœur mais tu n'as plus du tout l'énoncer en tête. Comprendrais-tu ta justification d'une part? Et d'autre part lui accorderais-tu des points? En toute honnêteté j'entends vu qu'on est entre nous là. C'est un peu la question qu'il faut se poser lorsqu'on commence à rédiger une réponse un peu bancale: "d'après moi, si j'ai cette copie, est-ce que je lui accorderait les points".


Sinon, pour la fin de ton raisonnement les deux suites tendent vers la même limite en effet lorsque n tend vers l'infini (n ne tend pas vers L cela n'a pas de sens en soit, tu fais bien tendre x vers l'infini et tu poses x=n en fait). Du coup, ceci

Citation :

Donc L devrait à la fois être solution de l'équation :

( 2(L²) + 3L + 1 ) / 6L² = L

et également solution de l'équation :

( 2L² - 2L + 1 ) / 6L² = L

N'a pas de sens car la limite de droite c'est bien L mais à gauche c'est la limite lorsque n tend vers l'infini donc il n'y a pas de L qui apparaît sinon cela voudrait dire qu'on a par exemple:

u_n= (2*(u_n)² - 2*u_n + 1) / (2*(u_n)²) ce qui n'est pas le cas bien entendu.

Est-ce que tu comprend l'erreur de logique que tu as faite? la limite de nos deux suites est bien à prendre lorsque n tend vers l'infini (l'analogique avec les fonctions c'est qu'au lieu d'avoir une infinité de point on ne considère que les valeur entière de x mais la limite c'est bien quant x tend vers l'infini).

Bon courage!

Bonsoir,

Au dénominateur j'aurais donc du laisser ( 6(n+1)² * 6n² ) ? Vous parlez de cette forme factorisée ?

Est-ce plus clair ? On trouve ici une identité remarquable strictement positive, multipliée par des nombres strictements positifs également.
Mais du coup je trouve que les justifications se "retrouvent", enfin je voudrais dire par là que je ne trouve pas l'une plus claire que l'autre
C'est pour ça d'ailleurs que je ne l'avais pas laissée sous forme factorisée, mais si c'est bien ainsi que vous trouvez la justification plus plausible, pouvez-vous m'expliquer pourquoi elle l'est ? Une identité remarquable est-elle plus "démonstrative" ?

J'ai souvent remarqué que ma logique n'était pas celle des profs de maths en général

Pour trouver la limite de la suite, cette façon de faire n'est donc pas du tout la bonne ?!
Pourtant j'étais persuadée qu'on avait utilisé ce genre de raisonnement en cours, en utilisant une équation dont la limite était la solution, il faudrait que je recherche ces exercices, je dois certainement confondre

Pour trouver cette limite on raisonne donc simplement en "transformant" la limite en fonction par exemple ? pour mettre en place un x au lieu d'un n, plus confortable..

Cette limite serait-elle 1/3 ?

Bonne soirée !
Mirabelle

Alors la limite est bien 1/3 en effet. Tu as le droit de dire directement sur la suite qu'il s'agit d'une limite de quotient de deux polynôme et qu'elle est donc égale à la limite du quotient des deux termes de plus haut degré comme pour les fonctions.

En fait ce qu'on vous dit rarement c'est qu'une suite n'est autre qu'une fonction. Regarde:

u : N ---> R et qui à n |---> u(n).

Et voilà, notre suite u_n qui n'est autre que notre fonction u(n) c'est juste un jeu d'écriture pour ne pas vous faire voir qu'il s'agit d'une fonction en fait. Mais je pense que pour toi ça sera peut-être plus claire. Et surtout que tu comprendras mieux l'analogie entre x et n qui est faite pour les limites par exemple.


Pour la question précédente. Serais-tu me donner le signe au premier coup d'œil de la quantité suivante: 15x² -6x + 3 ?
C'est le gros désavantage de cette écriture développer: "on ne lit rien dessus". Alors que si je te demande le signe de 12*(x+1)² et bien là tu me dis qu'un carré est toujours positif et que 12 est positif donc le tout est positif.

Bon c'est vrai que sur l'exemple les deux façon d'écrire les choses se valent car il s'agit en forme développer d'une addition de termes positifs. Ce qui est donc normal que tu trouves qu'il s'agit de la même chose tout compte fait au niveau de la rédaction sur cet exercice précis. Mais pour le numérateur comment tu justifie sa positivité par exemple?

Bon courage!

Ok je vois, merci pour l'explication de votre raisonnement.
J'y ferais attention

Pour le numérateur "18n² + 6n - 6"

Je dirais que comme l'on est dans le cadre de suites, n est un entier naturel et désigne le nombre d'intervalles choisi entre [O;1].
Ce nombre ne peut pas être nul car il se trouvera toujours au minimum un intervalle, n sera donc supérieur ou égal à 1.

Dans ce cas 18n² + 6n > 6
Et par conséquent le numérateur sera toujours positif, quelque soit le nombre que prendra n.

Est-ce satisfaisant ?

Pour la suite de la question, "En déduire une définition de l'aire de la surface S"

Si je comprends bien, c'est ce que vous m'avez expliqué en début d'exercice ?
Le but de la démarche est d'étudier une suite par défaut, et une suite par excès, qui "encadrent" l'aire recherchée. Plus le nombre n sera important et plus l'approche sera précise, et c'est ce qu'on fait en cherchant la limite de ces suites en +oo.
Ces deux suites étant adjacentes, elles tendent vers une même limite qui est l'aire recherchée. Et qui est donc à priori égale à 1/3 unité d'aire.



Cependant l'exercice demande une "définition"... ?

Bonne soirée !
Mirabelle

L'explication est excellente!

Sinon, on peut faire une explication via les polynôme de degré 2. En effet, en revenant à la fonction F(x)=18x² + 6x -6 dont on cherche le signe pour x>0 par exemple. Et là on connaît plein de chose sur les fonctions polynôme du second degré dont le signe ne fonction des racine et du signe du coefficient dominant. Mais ici pas besoin de tout ce bagage via une jolie remarque de ta part que je n'avais pas vu (je suis conditionner à comprendre les suite comme des fonctions, c'est un défaut pour le coup, j'en oublie les raisonnement simple mais qui marche avant d'appliquer une démarche toute faite).

Pour ta conclusion c'est bon. Alors maintenant comment conclure pour une définition en effet?

Tu l'as presque écrite la définition en fait. Tu as dit que S c'était la limite de ses deux suites. Alors comment exprimer cela? A-t-on besoin des deux suites pour bien définir les choses ou une seule suffit?

Bon courage!

Merci.

Hum, les deux limites étant les mêmes, je dirais que l'une des deux suites suffit ?
L'aire de la surface S correspond donc à la limite de ces suites, ou de l'une de ces deux suites.

Mais il faut expliquer dans cette définition d'où proviennent ces suites je suppose ?

Or l'exercice nous guide, mais je ne saurais pas donner un cas "général" ?

Mais mais mais, attend voir.

Les suites ont été introduite en effet mais de quelle manière? Ha mais oui il s'agit d'un problème d'aire et donc on a exprimer concrètement ces deux suites à l'aide de considérations géométriques tout simplement.

Du coup, commetn formaliser cela à l'aide d'une limite par exemple mais sans parler de suite?

Bon courage!

Il s'agit de la somme des aires des n rectangles présents sur l'intervalle. On s'interesse à la limite de cette somme et donc à la somme des aires du plus grand nombre de rectangles possibles, ayant donc la plus petite aire possible... ?!

Je pense voir où l'exercice veut en venir mais c'est très difficile à expliquer avec des mots ?!
Très tordu

A moins que je n'y sois pas encore..