Bonsoir,
Beaucoup d'interrogation sur l'espace à ce que je vois.
Alors dans un premier temps il faut savoir que dans l'espace il y a trois composante et elles sont toujours présentes même lorsqu'elles ne sont pas écrites.
En effet, un plan (P) d'équation z=1 n'est autre qu'un plan P d'équation: 0*x+0*y+1*z=1. Donc toutes les composantes interviennent seulement, on constate que x et y peuvent prendre n'importe quelle valeur tout simplement. Le plan est donc parallèle au plan (xOy). On peut lui donnée un système de représentation suivant aussi:
{x Є
R{y Є
R{z=1
C'est pompeux pour pas grand chose mais cela s'écrit. Et on peut donner aussi un paramétrage en t et t' pour x et y cela ne changera rien du moment que x et y ne dépendent pas du même paramètre.
La convention reste d'écrire l'équation des plan ainsi: (P): a*x+b*y+c*z=d tout simplement. Et dès qu'un variable n'intervient plus dans l'équation c'est que le coefficient situé devant est nul et donc la variable peut prendre toute les valeurs.
Je pense que cela va répondre à tes trois voire quatre premières questions normalement. Pour la quatrième, si un plan peut avoir plusieurs équations, les équations doivent rester toutes équivalentes pour définir le même plan. On doit donc pouvoir passer de l'une à l'autre. En conséquence, une paramétrisation faisant intervenir x et y et une autre ne faisant intervenir que z ne définissent pas le même pas tout simplement.
Les deux autres questions ont trouvé réponse dans la première partie. En effet, si les vecteur directeur sont colinéaire, il y a bien parallélisme.
Pour la suite:
- Citation :
- Par exemple si je considère la sphère d'équation x²+y²+z²=5 et le plan d'équation x+y-5=0.
On doit dire si le plan P coupe la sphère suivant un cercle ou non.
Comment faire, sachant qu'un cercle dans l'espace doit être défini par deux équations !?
On peut faire : y=5-x et remplacer dans l'équation de la sphère, mais on peut aussi faire x=5-y. Dans ce cas là, on obtient deux équations différentes en remplaçant dans celle de la sphère, laquelle choisir ?
Il y a équivalence entre les trois systèmes:
{x²+y²+z²=5
{x+y-5=0
<=>
{x²+y²+z²=5
{x=5-y
<=>
{x²+y²+z²=5
{y=5-x
En fait, l'intersection se verra comme un cercle mais pas un cercle dans l'espace loin de là !!!!! Cela sera un cercle dans le plan: x+y-5=0 !!! Du coup, on définira le même cercle , ce qui changera c'est juste le deuxième axe qu'il y aura dans ton plan. En effet, on va transféré un axe (O'z) dans ton plan vu que celui est parallèle à l'axe (Oz) mais après il reste deux axe possibles qui sera parallèle à la droite d'équation soit y=5-x dans le plan (XOy) soit d'équation x=5-y dans le plan (xOy). Mais c'est la même droite dans ce plan !! Conclusion, c'est le même axe qu'on considérera et c'est juste l'orientation de l'axe qui changera tout simplement.
Tu peux faire un dessin, je pense que tu vas vite comprendre les choses. L'intersection d'un plan avec une sphère est unique et c'est soit un point (tangence à la sphère) soit un cercle dans le plan de coupe soit le vide (le plan ne rencontre pas la sphère).
On continue:
- Citation :
- x-2y+3z=3
2x+3y-2z=6
4x-y+4z=12
et
7x+5z=21
7y-8z=0
sont équivalents ???
Impossible !!! Voyons, un peu de rigueur! Le premier système à trois équations et le second n'en a plus que deux, il ne peuvent pas être équivalent sauf si tu as démontré qu'un ligne pouvait s'écrire comme un combinaison linéaire des deux autres c'est à dire par exemple que L3= a*L1 + b*L2. Mais tu n'as pas démontré cela ici et par conséquent, il n'y a pas possibilité d'équivalence.
Deux système sont équivalents sont on peut passer de l'un à l'autre par des opération élémentaire c'est à dire une substitution ou une combinaison linaires entre les lignes.
Enfin etp our conclure, l'équation d'une droite dans l'espace??? Hmmm gros dilemme en effet mais essayons d'être pragmatique deux minutes. qu'est-ce qu'une droite? Ou plutôt comment caractérise-t-on une droite?
Un point M appartient à une droite si j'arrive à montrer qu'en prenant un ponit de ma droite, A, alors
AM est colinéaire au vecteur directeur de ma droite qu'on peut appeler u par exemple.
Ainsi, si je considère que ma droite passe par A(x
A;y
A;z
A) et de vecteur directeur
u(a;b;c) alors:
M appartient à ma droite, s'il existe un réel t tel que
AM=t*
uOr dire que deux vecteurs sont égaux c'est dire qu'ils ont les mêmes coordonnées. On se retrouve donc avec un système de trois équations à trois inconnue (x;y;z) qui sont les coordonnées de notre point M tout simplement.
En espérant que cela éclaircisse un peu les choses en tout cas. Essaie autant que faire se peut de revenir à des choses connu, l'espace n'est pas si compliqué que cela en fait, il faut juste bien écrire les choses et surtout surtout prendre son temps pour les écrire et faire ce que tu fais c'est à dire remettre en cause tout ce qui est écrit pour bien comprendre les choses en profondeur et non en superficie. Car l'espace si on plante un raisonnement, on risque de se retrouver avec des choses bizarre à terme.
Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est toujours pas claire!
Lun 17 Mai - 22:18
