Géométrie dans l'espace

Bonjour,

J'ai un DM de géométrie dans l'espace. Pouvez vous vérifier mes réponses svp
?

On considère un cube ABCDEFGH, AB = 4cm, I est le milieu de [FB] et J celui de [FG]?
1. Pourquoi les droites (HG) et (BA) sont elles coplanaires ?
(HG)//(EF) et (EF)//(BA) donc (EG) et (BA) sont coplanaires car parallèles.
Démontrer que HGBA est un parallélogramme.
(HG)//(BA) et HG = BA (arêtes d'un cube) d'où HGBA parallélogramme.
2. (a) Démontrer que (IJ)/(HA).
On considère le triangle FGB. On a :
I est le milieu de [FB] et J celui de [FG]
donc d'après le théorème de la droite des milieux,
(IJ)//(GB).
or (GB)//(HA) car HGBA parallélogramme.
d'où (IJ)//(HA)
(b) (HJ) et (AI) se coupent en K. Démontrer que K appartient à (EF) et que F est le milieu de [EK].
K appartient à (HJ) donc K appartient au plan (EFG).
K appartient à (AI) donc K appartient au plan (EFB).
Les points E, F, K appartiennent aux deux plans sécants (EFB) et (EFG) donc ils constituent la droite d'intersection de ces deux plans. Autrement dit, K appartient à (EF).
Doit on utiliser la réciproque de la droite des milieux pour montrer que F est le milieu de [EK] ? Dans quel triangle ?
3. Calculer HA, IJ, HJ et AI.
Pour HA.
On considère le triangle HDA rectangle en D. HD=DA=4 cm. D'après le th. de Pythagore, HA²=HD²+DA² soit HA²= 4²+4² = 32 d'ou HA= V(32) cm= 4V2 cm.

Pour IJ
IJ= 1/2 HA= 2V2 cm. (une des propriétés de la droite des milieux.)
Pour HJ
On se place dans le triangle rectangle HGJ. D'après Pythagore :
HJ²=HG²+GJ².
HJ²=4²+2²=20 d'ou HJ=V20=4V5 cm.
Pour AI
On fait de même. On trouve le même résultat.

Est-ce correct ?

Bonsoir,

La question 1) est excellente. Tu aurais pu être encore plus expéditif en utilisant les vecteurs au lieu du parallélisme vu que nous avons des carrés, nous avons donc des égalité vectoriel un peu partout ce qui permet de déduire des parallélogrammes de façon plus rapide mais ta démarche est bonne et aboutie tout aussi bien d'ailleurs.

La rédaction de la 2)a) est nickel!

Pour la 2)b) première partie c'est bon. Pour la conclusion que F est le milieu de [EK], on peut en effet se placer dans le triangle EAK par exemple (dans le plan composé des mêmes points pour la rigueur), en utilisant les parallélismes, on a en effet la réciproque de la droite des milieux (qui n'est autre que la réciproque du théorème de Thalès pour un rapport égale à 1/2 si on souhaite être précis).

Pour le calcul de HA, il faut se souvenir d'un truc assez simple pour vérifier son calcul au cas où qui est que la diagonale d'un carré de côté a mesure toujours a*Racine(2) (en effet, AH²=2*a² tout simplement).

Je ne suis pas d'accord pour ça:

Citation :

HJ²=4²+2²=20 d'ou HJ=V20=4V5 cm.

En effet, 16*5 est très loin d'être égale à 20 . Je pense qu'il s'agit d'une erreur d'inattention car la première simplification de racine carrée était bonne.

sinon, le reste est bon pour ma part.

Bon courage pour corriger les dernières erreurs!

Merci ! Je dois ensuite calculer les volumes des pyramides HEAK et. JFIK et en deduire le volume du tronc de pyramide AEHJFI. Comment faire svp ? Pour HEAK, doit on multiplier l'aire du triangle isocèle HEA par 1/3 puis par EK ? Merci d'avance !

Bonjour,

Pour le volume d'une pyramide c'est en effet (1/3)*(Aire de la base)*(hauteur). Si tu justifies correctement que la hauteur de la pyramide est bien [EK], il n'y a plus de soucis à ton calcul. Pour le volume de JFIK, on peut tenter d'être malin et donc de ne pas refaire tous les calculs, je te laisse regarder comment. Le tronc se déduit des deux calculs précédents.

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions!