trigonométrie

Bonjour Monsieur,
je reviens vers vous car j'ai un D.M qui me pose un petit problème.
Voici l'énoncé :
A, B et C désignent trois points non alignés. On pose AB = c , AC = b et BC = a
On notera les mesures des angles du triangle ABC de la façon suivante :
Â=BÂC Bˆ=ABˆC Ĉ=AĈB
Soit H le pied de la hauteur du triangle ABC issue de A ; on pose h = AH
1. Exprimer h en fonction de c et de l’angle Bˆ
2. En déduire une expression de l’aire S du triangle ABC en fonction de a, c et Bˆ
3. En utilisant deux autres expressions de S semblables à la précédente démontrer que
sin = sinBˆ = sinĈ
......a..............b..........c


Voici ma réponse pour le 2. :
S= AH*BC
.............2
S= c*sinBˆ*a
.................2
S= ac*sinBˆ
...................2

Voici ma réponse pour le 3.
je trouve une autre expression de S
S= ac*cosÂ
.................2
puisque sinBˆ=cosÂ

Mais je n'arrive pas à trouver la 2nd expression.
Pourriez-vous m'indiquer dans quelle direction je dois aller ?
Merci

Bonsoir,

C'est osé de la part de votre professeur de donner ce genre de DM mais le résultat est somme toute tellement beau qu'il a raison après tout de se faire plaisir. Il s'agit de très vieille formule en fait utilisant que des principes de géométrie simple c'est à dire utilisation de la trigonométrie et du calcul d'aire. Il y a d'autre formule de ce type qu'on peut démontré mais en 1ère voire en terminale car il nous faut l'accès à un objet mathématiques qu'on appelle le produit scalaire.

Donc ce qu'on cherche à démontrer c'est ce qu'on appelle familièrement, la formule des sinus.

On a donc exprimé sans trop de soucis la première égalité pour le calcul de l'air et il faudrait en avoir deux autres. Mais n'y a-t-il pas deux autres hauteurs dans ce triangle avec lesquelles nous pourrions faire exactement les même question au nom des longueurs près?

Bon courage!

Merci, ça doit donc être :
Soit H le pied des hauteurs du triangle ABC issues de B et C
Soit S= BI*AC
....................2
Et S= CI*AB
..................2

Après réflexion , je pense que ce serait plutôt ça?

S=(ab*sinĈ)/2
S=(bc*sinÂ)/2
Mais je ne vois pas démontrer que
sin = sinBˆ = sinĈ avec ces deux expressions.
.....a........b......c

Bonjour,

Alors en effet, on considère les autres hauteurs dont on déduit les longueurs via des sinus d'angles nous sommes d'accord.

Tu as donc déduit les trois façons d'écrire l'aire de notre triangle c'est nickel!

Et là, tu t'essouffles sur la conclusion, c'est dommage. Est-ce que l'aire change en fonction de son expression? Du coup, quelles sont les égalités et comment conclure?

Bon courage!

Non l'aire ne change pas en fonction de son expression
Donc je pense que la conclusion est:
Puisque S=(ab*sinĈ)/2=(bc*sinÂ)/2=(ac*sinB^)/2
alors sinÂ/a = sinBˆ/b = sinĈ/c

Bonsoir,

C'est en effet exact mais il faudrait au moins dire quelle opération te permet de conclure. Certes la multiplication par 2 est une évidence mais pour avoir les bons dénominateur, il suffit de diviser par quoi? Il faut au moins le préciser sur une copie car cela n'a rien d'évident en soi après tout.

Bonne continuation!

Je pense qu il suffit de diviser par la troisième longueur du triangle.
Donc je pense que la conclusion est:
Puisque S=(ab*sinĈ)/2=(bc*sinÂ)/2=(ac*sinB^)/2
alors ((ab*sinĈ)/2)*2=((bc*sinÂ)/2)*2=((ac*sinB^)/2)*2
donc ab*sinĈ=bc*sinÂ=ac*sinB^
donc ab*sinĈ/c=bc*sinÂ/a=ac*sinBˆ/b
donc sinĈ/c=sinÂ/a=sinBˆ/b

non ce n'est pas possible!

En effet, si tu divises par c, toutes les égalités, tu arrives à ceci: ab*sinĈ/c=b*sinÂ=a*sinBˆ

Mais les dénominateur a et b n'apparaissent pas. Tu ne peux pas diviser chaque expression séparément vu qu'on travail sur des égalités, il faut donc tout diviser par la même quantité.

Bon courage!

donc il faudrait diviser par abc, ça donnerait donc :
Puisque S=(ab*sinĈ)/2=(bc*sinÂ)/2=(ac*sinB^)/2
alors ((ab*sinĈ)/2)*2=((bc*sinÂ)/2)*2=((ac*sinB^)/2)*2
donc ab*sinĈ=bc*sinÂ=ac*sinB^
donc ab*sinĈ/abc=bc*sinÂ/abc=ac*sinBˆ/abc
donc sinĈ/c=sinÂ/a=sinBˆ/b

Nickel!!

En effet, on est obligé de diviser par la multiplication des trois longueurs ce qui est possibles d'ailleurs car aucune des trois longueurs est nulles (sinon le triangle n'existerait pas).

Bonne continuation!

Merci beaucoup pour m'avoir accorder votre temps et votre aide qui m'a été très utile.