Sur quelques notions d'algèbre...

Bonjour CuiCui, j'ai quelques questions qui me tracassent ! Je vais essayer pour certaines d'apporter une réponse et j'aimerais que tu me dises si mon raisonnement est juste car je ne suis jamais sûr lorsque je produis un raisonnement par moi-même.

Citation :

1) Soit E est un K-ev de dimension finie n, B=(u₁,..,u_n) une base de E et F un sev de E. Alors si F contient tous les vecteurs de la base B, F=E ?

Démo : F contient tous les vecteurs de B, donc comme F est stable par combinaison linéaire (car sev de E), F contient toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de B. Or B est une famille génératrice de E. Donc F=Vect({u₁,...,u_n})=E

Citation :

2) Dans une base d'un espace vectoriel E de dimension finie (et plus généralement pour une famille d'éléments d'un ensemble E), il y a un ordre puisque qu'une famille de p éléments de E est par définition une application de [[1,p]] dans E. Donc si je considère E un K-ev de dimension finie n, B=(u₁,u₂,...,u_n) une base de E. Alors la base B1=(u₂,u₁,...,u_n), obtenue en permutant u1 et u2 est différente théoriquement de la base B. Il y a donc un ORDRE pour les éléments d'une base. Mais dans la pratique, différencie-t-on ces deux bases ? notamment pour le dénombrement d'un certain type de bases d'un espace vectoriel de dimension finie ?

Citation :

3) On a montré en cours que les familles libres d'un espace vectoriel E de dimension finie n ont pour taille maximale n. De même, est-ce qu'on a bien que les familles génératrices ont une taille minimale, qui est n ?

Démo : Puisque, d'après le théorème d'existence d'une base dans un espace vectoriel de dimension finie, on peut extraire de n'importe quelle famille génératrice une base de E. Comme on a montré plus loin dans le cours que toutes les bases ont le même nombre d'éléments (appelé dimension de E, que je note maintenant n), alors toute famille génératrice possède au moins n éléments puisqu'on peut en extraire une base (à n éléments) ?

Citation :

4) En général, dans un espace vectoriel (de dimension quelconque), si un sev a un supplémentaire (si la dimension est finie, on sait qu'il y en a au moins un), alors ce supplémentaire n'est pas unique, c'est pour ça qu'on ne peut pas dire "le supplémentaire". Mais des sev possédant qu'un seul supplémentaire, ça existe non ? Par exemple, si je considère E un K-ev. Alors les sev triviaux E et {0} n'ont qu'un seul supplémentaire qui sont, respectivement, {0} et E non ?

Démo : si E est de dimension finie, comme dimE = dimE1 + dimE2 pour tous supplémentaires E1 et E2 de E, alors ce sont bien les seuls car seul {0} est de dimension 0

Peut-on toujours trouver des sev, autres que les sev triviaux, qui ne possèdent qu'un seul supplémentaire ?

Citation :

5) On l'a donné en exemple mais on ne l'a jamais montré : comment démontrer que l'anneau (Z,+,x) est intègre ? (Z représente l'ensemble des entiers relatifs)
est-ce "inscrit" dans la "définition" de Z ? Z est-il intègre par construction ?

Citation :

6) Soit (G,.) un groupe fini d'ordre n (nЄN*). S'il existe aЄG d'ordre n, alors a engendre G et G est alors un groupe cyclique ? Réciproquement, tout élément qui engendre un groupe cyclique d'ordre n, est un élément d'ordre n ????

Démo : si aЄG d'ordre n, alors le sous-groupe engendré par a possède n éléments, et ces n éléments sont alors les n éléments du groupe G d'ordre n, donc le sous-groupe engendré par a est G, donc a engendre G.
Pour la réciproque, si a engendre G, alors son ordre divise l'ordre de G (théorème de Lagrange), mais il ne peut pas le diviser strictement, sinon il n'engendrerait pas G, donc son ordre est égal à n.

Citation :

7) Concernant les morphismes, a-t-on systématiquement le transfert de structure ?
e.g : Soit (G,*) un groupe et E un ensemble muni d'une loi interne T. Si j'exhibe un morphisme entre (G,*) et (E,T), (E,T) est-il un groupe ?
De même, a-t-on le transfert de la structure d'anneau, d'anneau intègre, de corps, d'espace vectoriel, d'algèbre, d'algèbre commutative ? Si oui quelles sont les conditions à rajouter dans chaque cas ?

Merci d'avance.

Bonsoir,

Oulà, j'ai la vague impression que je commence à rouillé un peu mais essayons d'être pragmatique .

La première démonstration est excellente. Je l'aurait fait par double inclusion à la rigueur en utilisant les les espace engendré vu que E=Vect(e₁,...,e_n).

Pour ta 2ème citation, il y a bien plusieurs bases ce qui va changer la matrice d'un endomorphisme en fonction de la base que tu considérera par exemple et l'année prochaine tu verras d'ailleurs tu as peut-être vu que le but serait de pouvoir trouver une base où la matrice de l'endomorphisme à une bonne tête (diagonale, tridiagonale, triangulaire, ...). Doc bien comprendre cela.

Ta troisième citation découle directement du fait qu'avec n+1 vecteurs dans un espace de dimension n, on une famille lié. Ainsi, la famille lié est soit génératrice soit quelconque. Une autre manière de voir les chose serait décrire la l'espace sous forme vectorielle c'est à dire E=Vect(e1,...en) ainsi, on constate directement qu'une famille génératrice contient au moins n élément vu que par définition d'une base c'est la plus petite famille génératrice et la plus grande famille libre.

Pour la 4ème citation, il y a un moyen de "normaliser" le supplémentaire en considérant non pas un supplémentaire quelconque mais un supplémentaire orthogonale. Mais pour cela, il faut que nous soyons un peu plus que dans un sev, il nous faut un produit scalaire.

Pour la citation suivante, je ne sais pas pour le coup c'est une colle.

Pour la citation 6, cela fonctionne par stabilité du groupe G. En effet, si a est dans G alors a² aussi et ainsi de suite. Par définition de l'ordre toutes les puissances donnent un élément différent (tu n'insistes pas assez sur ce point à mon goût) ce qui permet de conclure en effet. La réciproque est mal explicitée mais l'idée est là si a est dans G sont ordre divise l'ordre du groupe. Or l'ordre de a est égale à l'ordre du groupe, donc il est générateur par définition même je dirai.

Pour ta dernière citation, sans conviction, je dirai qu'il y a bien transfert mais j'ai un gros gros gros doute pour le coup. Donc à vérifier.

Bonne continuation!