mpsi inégalité nombres complexes

Bonjour, voici un exercice corrigé que je ne comprend pas:

Etablir :
∀z,z′∈C,|z|+∣∣z′∣∣≤∣∣z+z′∣∣+∣∣z−z′∣∣
Préciser le cas d'égalité.

On a |z|+∣∣z′∣∣=(1/2)∣∣(z−z′)+(z+z′)∣∣+(1/2)∣∣(z′−z)+(z′+z)∣∣≤∣∣z+z′∣∣+∣∣z−z′∣∣
Il y a égalité si, et seulement si, : z−z′=0 (i.e. z=z′) ou (z+z)′/(z−z′)∈R+ et (z+z')/(z′−z)∈R+ ce qui se résume à z′=−z.



Comment pouvons nous conclure l'inégalité en écrivant:
|z|+∣∣z′∣∣=(1/2)∣∣(z−z′)+(z+z′)∣∣+(1/2)∣∣(z′−z)+(z′+z)∣∣.

D'ailleurs, pourquoi faut-il que (z+z)′/(z−z′)∈R+ et (z+z')/(z′−z)∈R+ pour qu'il y ait égalité?

Merci d'avance!

Bonsoir et désolé du contre temps.

Alors, on utilise ici le fait que |a+b| < |a| + |b| pour tout a et b.

A partir de là, en remplaçant les nombres a et b en fonction de z et z', on retrouve l'inégalité souhaitée.

Enfin, pour l'implication "<=" c'est évident. Par contre pour le sens direct, j'avoue que pour le moment, je sèche encore sur le sujet pour être honnête mais je continue de chercher.

Bon courage pour la suite!