Maths Cuicui, l'envolée mathématique

forum gratuit d'entraide mathématique de la 6ème à la 2ème année de licence
 
AccueilPortailFAQRechercherS'enregistrerMembresGroupesConnexion

Partagez | 
 

 [Term S] suites

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
Tuty

avatar

Féminin Nombre de messages : 8
Age : 26
Localisation : 95
Date d'inscription : 05/01/2008

MessageSujet: [Term S] suites   Sam 5 Jan - 12:08

Je suis pas franchement inspirée. Quelqu'un peut m'aider????

(Un) et (Vn) sont deux suites numériques définies par U0=9, et pour tout n appartenant à N:


U(n+1) = (1/2Un)-3 et Vn=Un+6
1.a Montrer que (Vn) est une suite géométrique à termes positifs. Préciser sa raison.


b Exprimer Sn= V0+V1...+Vn, puis Sn'=U0+U1+...+Un en fonction de n


c Determiner les limites des suites (Sn) et (Sn')



2. On définit la suite (Wn) sur N par:
Wn=ln(Vn)


a Montrer que Wn est une suite arithmétique. Préciser sa raison.


b Exprimer Sn''=W0+W1+...+Wn en fonction de n et établir la convergence de cette suite vers un réel que l'on determinera.


c Exprimer le produit Pn=V0 X V1 X ...X Vn en fonction de n. En déduire la convergence de la suite Pn vers un réel que l'on determinera
fou2 Sad
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui
avatar

Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 31
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: [Term S] suites   Sam 5 Jan - 17:06

Bonjour et bienvenu parmi nous Tuty !

Je vais commencer par la mise au point de l'énoncer:

U0= 9
Un+1= (1/2)*Un - 3


De plus, Vn= Un + 6

Alors, la première chose qu'il faut remarquer et c'est souvent bon de le remarquer maintenant, il s'agit de voir que:
Si Vn= Un + 6
Alors, on a aussi: Un= Vn - 6
La remarque semble idiote mais va s'avèrer souvent utile lorsqu'on n'a pas d'expression pour la suite (Un).

Maintenant que nous avons vu tout ce qu'il y avais à remarquer, on va pouvoir commencer l'exercice.

1)a) Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut exprimer Vn+1 en fonction d'une constante fois Vn. LA constante multiplicative sera la raison de la suite géométrique.

Une suite géométrique s'exprime ainsi: Vn= V0*R^n avec R la raison de la suite géométrique.

Le fait que la suite soit à terme positive découle de lui même.

b) Il s'agit de calculer la somme d'une suite géométrie vu que (Vn) est une suite géométrique (ne pas oublier qu'on a en plus son expression).
Pour la deuxième partie c'est là que ma remarque du départ est primordiale car Un s'exprime en fonction de Vn.

c) Si après avoir calculé les deux sommes, tu as des soucis pour calculer leurs limites, on y reviendra.


2) On pose: Wn= ln(Vn)
Mais avant même de commencer cette deuxième question, il faut se rappeler que nous possédons l'expression de Vn. Nous allons donc pouvoir l'utiliser et ce qui est remarquable c'est qu'il s'agit justement du but de la première question!!

a) Ne pas oublier les propriété du logarithme népérien et tu devrais arriver au bout du calcul. Une suite arithmétique s'exprime ainsi:
Wn= W0 + R*n avec R la raison de la suite.

b) Il s'agit de faire la somme d'une suite arithmétique dont nous connaissons maintenant l'expression. A partir de là, il restera à calculer la limite mais après le calcul, donc nous en reparlerons après celui-ci.

c) Pour cette question, il y a une propriété qu'il ne faut JAMAIS oublier:

La somme de logarithme est égale au logarithme du produit !!!

Tu viens de calculer la somme des Wn en utilisant le fait qu'il s'agisse d'une suite arithmétique. Mais nous avons aussi: Wn= ln(Vn)
Donc la somme des Wn est aussi égale à une somme de logarithme Wink. Il ne restera plus qu'à passer à l'exponentielle dans l'expression pour trouver ce qu'on cherche.

Je pense qu'avec celà, tu vs pouvoir démarrer et peut-être même finir cette exercice Very Happy.

Bon courage en tout cas et n'hésite pas si tu as des questions!

@bientôt au sein du forum!

ps: pour mettre en indice le n ou le n+1, il y a le code suivant que vous pouvez recopier directement:
Code:
[sub] [/sub]
.

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Tuty

avatar

Féminin Nombre de messages : 8
Age : 26
Localisation : 95
Date d'inscription : 05/01/2008

MessageSujet: Re: [Term S] suites   Sam 5 Jan - 17:52

Merci beaucoup, c'est super sympa cheers
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui
avatar

Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 31
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: [Term S] suites   Sam 5 Jan - 18:15

De rien, c'est super intéressant les suites car celà permet de faire pas mal de révision tout en manipulant des choses nouvelles Razz.

Si tu as des soucis ou envie de mettre la correction de ton exercice pour affiner la rédaction ou encore vérifier tes résultats n'hésite pas surtout.

Au plaisir sur le forum!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Tuty

avatar

Féminin Nombre de messages : 8
Age : 26
Localisation : 95
Date d'inscription : 05/01/2008

MessageSujet: Re: [Term S] suites   Sam 5 Jan - 18:32

Par contre est-ce que tu pourrais m'expliquer comment calculer les limites de Sn et Sn' et aussi comment établir la convergence de Pn et Wn???
J'arrive pas à trouver comment faire. Very Happy
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui
avatar

Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 31
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: [Term S] suites   Sam 5 Jan - 18:50

Qu'as-tu trouvé pour le calcul de Sn, S'n, S''n et Pn?

Il faut se rappeler que limn->+∞ an = 0 si et seulement si |a|<1.

Je pense que celà devrait suffir pour conclure mais tout dépent des valeurs que tu as trouvées dans tes calculs.

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Tuty

avatar

Féminin Nombre de messages : 8
Age : 26
Localisation : 95
Date d'inscription : 05/01/2008

MessageSujet: Re: [Term S] suites   Sam 5 Jan - 19:03

J'ai trouvé que Sn=[30(1-(1/2)^(n+1))] et que Sn'=Sn-6(n+1)
Je pense que lim Sn=30 et lim Sn'=-∞
Par contre pour Sn" j'ai appliqué la formule W0+W1+...+Wn=W0x(n+1)+[(n(n+1))/2]r,puisque c'est une suite géométrique, mais j'arrive pas à simplifier correctement l'expression
Et puis pour Pn j'ai montré que Sn"=ln(Pn) et je pense que Pn=exp(Sn"), mais je suis pas sur du tout
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui
avatar

Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 31
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: [Term S] suites   Sam 5 Jan - 19:17

Alors pour Sn et S'n c'est tout à fait exacte Very Happy.

Pour somme S"n l'égalité est juste la justification c'est qu'elle est arithmétique et non géométrique mais je pense qu'il s'agit d'une erreur de "frappe" ça Wink.

on avait Wn= ln(V0) +n[-ln(2)] (la raison étant r=-ln(2) ).

On se retrouve avec une forme indéterminée pour S"n et bien on va essayer de trouver mieux Very Happy.

On peut déjà mettre (n+1) en facteur puis faire rentrer tout le reste dans un seul logarithme grâce aux propriétés du logarithme que tu connais. Faire les calculs lentement mais sûrement, ça finit par payer Wink.

Enfin, Pn est tout à fait juste vu que l'inverse du logarithme au niveau fonctionnel est bien sur l'exponentielle.

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

_________________


Dernière édition par le Jeu 10 Jan - 15:17, édité 3 fois
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Tuty

avatar

Féminin Nombre de messages : 8
Age : 26
Localisation : 95
Date d'inscription : 05/01/2008

MessageSujet: Re: [Term S] suites   Sam 5 Jan - 19:20

merci beaucoup c'est génial!! ça m'a franchement aidé cheers
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui
avatar

Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 31
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: [Term S] suites   Sam 12 Jan - 17:43

Je vais terminer cette exercice en vous proposant une correction de celui-ci.

On a:
U0 = 9
Un+1 = (1/2)*Un -3
Vn = Un +6

1)a)

On a: Vn+1 = Un+1 +6

Or Un+1 = (1/2)*Un - 3

Donc Vn+1 = (1/2)*Un -3 + 6 = (1/2)*Un + 3

D'où Vn+1 = (1/2)*[ Un +6 ]
Or Vn = Un +6

Donc Vn+1 = (1/2)*Vn

D'où (Vn) est une suite géométrique de raison R=1/2

De plus, on a: V0 = U0 + 6 = 9 +6 = 15

Donc Vn = 15*(1/2)n

D'où (Vn) est à termes positifs

b)
On pose pour tout nЄN, Sn = ∑i=0i=n Vi

Or Vn est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme V0 = 15 d'après la question 1)a).

Donc Sn = 15* (1 - (1/2)n+1) / (1- 1/2)
D'où Sn = 30* (1 - (1/2)n+1)

De plus, on pose pour tout nЄN, S'n = ∑i=0i=n Ui

Or Ui= Vi - 6 (d'après l'énoncer)

Donc S'n = Sn - (n+1)*6 (par sommation de 0 à n)
D'où S'n = 30* (1 - (1/2)n+1) - (n+1)*6


c)
On a 1/2<1, donc limn->∞ (1/2)n=0

Donc limn->∞ Sn = 30

D'où la limite de (Sn) est finie,
Donc limn-∞ S'n = lim Sn - limn->∞ [(n+1)*6]

Or limn->∞ [(n+1)*6] = +∞

Donc limn->∞ S'n = -∞


2) a)

On définit Wn=Ln(Vn)

Or Vn = 15*(1/2)n d'après la question 1)a)

Donc Wn = Ln(15*(1/2)n)
D'où Wn = Ln(15) + n*Ln(1/2)
Donc Wn = Ln(15) + n*(-Ln(2))

Donc (Wn) est une suite arithmétique de raison R=-Ln(2) et de premier terme W0 = Ln(15)

b)
On pose pour tout nЄN, S"n = ∑i=0i=n Wi

Or (Wn) est une suite arithémtique de raison R=-Ln(2) et de premier terme W0 = 15

Donc S"n = (n+1)*Ln(15) + [n(n+1)/2]*(-Ln(2))
D'où S"n = (n+1)*[-Ln(1/15) + (n/2)*(-Ln(2))]

Or (n/2)*(-Ln(2)) = -Ln[2n/2]

Donc S"n = -(n+1)*Ln(2n/2/15)

Or limn->∞ 2n/2/15 = +∞ car 2>1
Donc limn->∞ Ln(2n/2/15) = +∞

D'où limn->∞ S"n = -∞

c)
On définit pour tout nЄN, Pn = ∏i=0i=n Vi

On a: pour tout nЄN, S"n = ∑i=0i=n Wi

Or Wn = Ln(Vn)

Donc pour tout nЄN, S"n = ∑i=0i=n Ln(Vi)

D'où pour tout nЄN, S"n = Ln(∏i=0i=n Vi)

Donc pour tout nЄN, S"n = Ln(Pn)

Donc Pn = Exp(S"n)

De plus, limn->∞ Pn = 0 car limx->+∞ Exp(-x) = 0


Ceci conclut donc cette exercice très intéressant mettant en jeu des suites géométrique et arithmétique ainsi que des sommes et des limites. De plus, il y a des révisions sur les propriétés des fonctions logarithme népérien et exponentielle.

En espérant que cete correction soit la plus claire possible, je vous souhaiteune bonne continuation toutes et tous.

@bientôt au sein du forum!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: [Term S] suites   

Revenir en haut Aller en bas
 
[Term S] suites
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» DS SUITES
» Jésuites .... ?
» États-Unis : les jésuites américains acceptent de verser 166 millions aux victimes d’actes pédophiles
» LA GUERRE AUX JÉSUITES
» Pathologies dominicaines et pathologies jésuites au Québec

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Maths Cuicui, l'envolée mathématique :: L'envolée du Lycée GT, Pro et du CAP :: Entre-aide pour la Terminale G, T et Pro :: Le perchoir aux exercices-
Sauter vers: