[Term S] suites

Je suis pas franchement inspirée. Quelqu'un peut m'aider????

(Un) et (Vn) sont deux suites numériques définies par U0=9, et pour tout n appartenant à N:


U(n+1) = (1/2Un)-3 et Vn=Un+6
1.a Montrer que (Vn) est une suite géométrique à termes positifs. Préciser sa raison.


b Exprimer Sn= V0+V1...+Vn, puis Sn'=U0+U1+...+Un en fonction de n


c Determiner les limites des suites (Sn) et (Sn')



2. On définit la suite (Wn) sur N par:
Wn=ln(Vn)


a Montrer que Wn est une suite arithmétique. Préciser sa raison.


b Exprimer Sn''=W0+W1+...+Wn en fonction de n et établir la convergence de cette suite vers un réel que l'on determinera.


c Exprimer le produit Pn=V0 X V1 X ...X Vn en fonction de n. En déduire la convergence de la suite Pn vers un réel que l'on determinera
fou2

Bonjour et bienvenu parmi nous Tuty !

Je vais commencer par la mise au point de l'énoncer:

U₀= 9
U_n+1= (1/2)*U_n - 3

De plus, V_n= U_n + 6

Alors, la première chose qu'il faut remarquer et c'est souvent bon de le remarquer maintenant, il s'agit de voir que:
Si V_n= U_n + 6
Alors, on a aussi: U_n= V_n - 6
La remarque semble idiote mais va s'avèrer souvent utile lorsqu'on n'a pas d'expression pour la suite (U_n).

Maintenant que nous avons vu tout ce qu'il y avais à remarquer, on va pouvoir commencer l'exercice.

1)a) Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut exprimer V_n+1 en fonction d'une constante fois V_n. LA constante multiplicative sera la raison de la suite géométrique.

Une suite géométrique s'exprime ainsi: V_n= V₀*R^n avec R la raison de la suite géométrique.

Le fait que la suite soit à terme positive découle de lui même.

b) Il s'agit de calculer la somme d'une suite géométrie vu que (V_n) est une suite géométrique (ne pas oublier qu'on a en plus son expression).
Pour la deuxième partie c'est là que ma remarque du départ est primordiale car U_n s'exprime en fonction de V_n.

c) Si après avoir calculé les deux sommes, tu as des soucis pour calculer leurs limites, on y reviendra.


2) On pose: W_n= ln(V_n)
Mais avant même de commencer cette deuxième question, il faut se rappeler que nous possédons l'expression de V_n. Nous allons donc pouvoir l'utiliser et ce qui est remarquable c'est qu'il s'agit justement du but de la première question!!

a) Ne pas oublier les propriété du logarithme népérien et tu devrais arriver au bout du calcul. Une suite arithmétique s'exprime ainsi:
W_n= W₀ + R*n avec R la raison de la suite.

b) Il s'agit de faire la somme d'une suite arithmétique dont nous connaissons maintenant l'expression. A partir de là, il restera à calculer la limite mais après le calcul, donc nous en reparlerons après celui-ci.

c) Pour cette question, il y a une propriété qu'il ne faut JAMAIS oublier:

La somme de logarithme est égale au logarithme du produit !!!

Tu viens de calculer la somme des W_n en utilisant le fait qu'il s'agisse d'une suite arithmétique. Mais nous avons aussi: W_n= ln(V_n)
Donc la somme des W_n est aussi égale à une somme de logarithme . Il ne restera plus qu'à passer à l'exponentielle dans l'expression pour trouver ce qu'on cherche.

Je pense qu'avec celà, tu vs pouvoir démarrer et peut-être même finir cette exercice .

Bon courage en tout cas et n'hésite pas si tu as des questions!

@bientôt au sein du forum!

ps: pour mettre en indice le n ou le n+1, il y a le code suivant que vous pouvez recopier directement:

Code:

[sub] [/sub]

.

Merci beaucoup, c'est super sympa

De rien, c'est super intéressant les suites car celà permet de faire pas mal de révision tout en manipulant des choses nouvelles .

Si tu as des soucis ou envie de mettre la correction de ton exercice pour affiner la rédaction ou encore vérifier tes résultats n'hésite pas surtout.

Au plaisir sur le forum!

Par contre est-ce que tu pourrais m'expliquer comment calculer les limites de Sn et Sn' et aussi comment établir la convergence de Pn et Wn???
J'arrive pas à trouver comment faire.

Qu'as-tu trouvé pour le calcul de S_n, S'_n, S''_n et P_n?

Il faut se rappeler que lim_n->+∞ aⁿ = 0 si et seulement si |a|<1.

Je pense que celà devrait suffir pour conclure mais tout dépent des valeurs que tu as trouvées dans tes calculs.

J'ai trouvé que Sn=[30(1-(1/2)^(n+1))] et que Sn'=Sn-6(n+1)
Je pense que lim Sn=30 et lim Sn'=-∞
Par contre pour Sn" j'ai appliqué la formule W0+W1+...+Wn=W0x(n+1)+[(n(n+1))/2]r,puisque c'est une suite géométrique, mais j'arrive pas à simplifier correctement l'expression
Et puis pour Pn j'ai montré que Sn"=ln(Pn) et je pense que Pn=exp(Sn"), mais je suis pas sur du tout

Alors pour S_n et S'_n c'est tout à fait exacte .

Pour somme S"_n l'égalité est juste la justification c'est qu'elle est arithmétique et non géométrique mais je pense qu'il s'agit d'une erreur de "frappe" ça .

on avait W_n= ln(V₀) +n[-ln(2)] (la raison étant r=-ln(2) ).

On se retrouve avec une forme indéterminée pour S"_n et bien on va essayer de trouver mieux .

On peut déjà mettre (n+1) en facteur puis faire rentrer tout le reste dans un seul logarithme grâce aux propriétés du logarithme que tu connais. Faire les calculs lentement mais sûrement, ça finit par payer .

Enfin, P_n est tout à fait juste vu que l'inverse du logarithme au niveau fonctionnel est bien sur l'exponentielle.

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

merci beaucoup c'est génial!! ça m'a franchement aidé

Je vais terminer cette exercice en vous proposant une correction de celui-ci.

On a:
U₀ = 9
U_n+1 = (1/2)*U_n -3
V_n = U_n +6

1)a)

On a: V_n+1 = U_n+1 +6

Or U_n+1 = (1/2)*U_n - 3

Donc V_n+1 = (1/2)*U_n -3 + 6 = (1/2)*U_n + 3

D'où V_n+1 = (1/2)*[ U_n +6 ]
Or V_n = U_n +6

Donc V_n+1 = (1/2)*V_n

D'où (V_n) est une suite géométrique de raison R=1/2

De plus, on a: V₀ = U₀ + 6 = 9 +6 = 15

Donc V_n = 15*(1/2)ⁿ

D'où (V_n) est à termes positifs

b)
On pose pour tout nЄN, S_n = ∑_i=0ⁱ⁼ⁿ V_i

Or V_n est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme V₀ = 15 d'après la question 1)a).

Donc S_n = 15* (1 - (1/2)ⁿ⁺¹) / (1- 1/2)
D'où S_n = 30* (1 - (1/2)ⁿ⁺¹)

De plus, on pose pour tout nЄN, S'_n = ∑_i=0ⁱ⁼ⁿ U_i

Or U_i= V_i - 6 (d'après l'énoncer)

Donc S'_n = S_n - (n+1)*6 (par sommation de 0 à n)
D'où S'_n = 30* (1 - (1/2)ⁿ⁺¹) - (n+1)*6


c)
On a 1/2<1, donc lim_n->∞ (1/2)ⁿ=0

Donc lim_n->∞ S_n = 30

D'où la limite de (S_n) est finie,
Donc lim_n-∞ S'_n = lim S_n - lim_n->∞ [(n+1)*6]

Or lim_n->∞ [(n+1)*6] = +∞

Donc lim_n->∞ S'_n = -∞


2) a)

On définit W_n=Ln(V_n)

Or V_n = 15*(1/2)ⁿ d'après la question 1)a)

Donc W_n = Ln(15*(1/2)ⁿ)
D'où W_n = Ln(15) + n*Ln(1/2)
Donc W_n = Ln(15) + n*(-Ln(2))

Donc (W_n) est une suite arithmétique de raison R=-Ln(2) et de premier terme W₀ = Ln(15)

b)
On pose pour tout nЄN, S"_n = ∑_i=0ⁱ⁼ⁿ W_i

Or (W_n) est une suite arithémtique de raison R=-Ln(2) et de premier terme W₀ = 15

Donc S"_n = (n+1)*Ln(15) + [n(n+1)/2]*(-Ln(2))
D'où S"_n = (n+1)*[-Ln(1/15) + (n/2)*(-Ln(2))]

Or (n/2)*(-Ln(2)) = -Ln[2^n/2]

Donc S"_n = -(n+1)*Ln(2^n/2/15)

Or lim_n->∞ 2^n/2/15 = +∞ car 2>1
Donc lim_n->∞ Ln(2^n/2/15) = +∞

D'où lim_n->∞ S"_n = -∞

c)
On définit pour tout nЄN, P_n = ∏_i=0ⁱ⁼ⁿ V_i

On a: pour tout nЄN, S"_n = ∑_i=0ⁱ⁼ⁿ W_i

Or W_n = Ln(V_n)

Donc pour tout nЄN, S"_n = ∑_i=0ⁱ⁼ⁿ Ln(V_i)

D'où pour tout nЄN, S"_n = Ln(∏_i=0ⁱ⁼ⁿ V_i)

Donc pour tout nЄN, S"_n = Ln(P_n)

Donc P_n = Exp(S"_n)

De plus, lim_n->∞ P_n = 0 car lim_x->+∞ Exp(-x) = 0


Ceci conclut donc cette exercice très intéressant mettant en jeu des suites géométrique et arithmétique ainsi que des sommes et des limites. De plus, il y a des révisions sur les propriétés des fonctions logarithme népérien et exponentielle.

En espérant que cete correction soit la plus claire possible, je vous souhaiteune bonne continuation toutes et tous.

@bientôt au sein du forum!