[1ère S] Questions sur les dérivés

Salut!
J'ai encore un exercice sur les dérivés où, j'ai réussi à faire les premières questions mais, j'ai un doute sur la 2) et pour la 3), je ne vois pas comment procéder...

Voici l'énoncé :



La figure 1 ci-dessous représente un patron d'un parallélépipède. Ce patron est fabriqué à partir d'une feuille cartonnée carrée de 30 cm de côté.



1) Démontrer que le volume du parallélépipède ABCDEFGH s'exprime en cm^3 par :



2) Dresser le tableau de variations de V sur [0 ; 15]

3) Tracer la courbe représentative de V dans le plan muni d'un repère orthogonal, 1cm représentant en abscisses 1cm, et en ordonnée 100 cm^3.

4)Comment faut-il choisir x pour que le volume V(x) du parallélépipède décrit ci-dessus soit le plus grand possible? Quel est ce volume maximal?

5) Le parallélépipède ainsi obtenu est une boîte de lait. Le fabriquant voudrait que le volume de cette boîte soit de 0.5Litres, c'est à dire 500cm^3.

(a) Combien de valeurs de x permettent de fabriquer des boîtes de 0.5 Litre? Les faire figurer sur le graphique.

(b) En déterminer des valeurs approchées à 0.1 près à l'aide de la calculatrice.

(c) Parmi ces valeurs, laquelle retiendra le fabriquant?



Pour la 1), je développe V(x) donné et, je fais AD * DC * CG et je trouve le même donc, c'est bon.

Pour la 2), je sais que V(x) = 2x^3 - 60x² + 450x donc : V'(x) = 6x² - 120x + 450
Delta = 3600 ; x1=5 et x2 = 15 donc : s'en suit le tableau de signes suivant :



Il semble bon mais, sur la courbe , je vois qu'entre 5 et 15 et précisément à x = 10, la courbe croît de nouveau (fonction carrée oblige) donc, la règle selon laquelle quand la dérivée est positive, la courbe est croissante et inversement se retrouve faussée.
J'ai donc expliqué que comme on avait ici un polynôme de degré 2, la courbe changeait de pente entre [5 ; 15] et ai fait mon tableau ed variation de V(x) selon ce modèle :



avec -b/2a = 10 et Delta/4a = -150 ce qui nous donne donc :



On aura donc V(x) croissant sur [ 0 ; 10 ] et décroissant sur [10 ; 15].

Mais, j'ai comme qui dirait.. un doute sur cette explication...

3) Là, je bloque... Je ne vois pas du tout comment tracer la courbe ce qui me bloque également pour les questions suivantes...

J'aurais donc besoin d'une vérification et d'un tit coup de main.

Merci d'avance.

Bonjour,

Pourras-tu dans ton prochain post me dire ce qui vaut x sur ton dessin car il me manque juste cette donnée là pour les avoir toutes en main.

Sinon, je te fait confiance pour la V(x), ta méthode est juste et tes calculs ne peuvent que l'être aussi.

Sinon, pour la 2, tu as voulu faire bien trop vite. En effet, ta fonction carré c'est la dérivé, V', alors que ta fonction de départ est une fonction cube, V.

Ton interrogation est bonne et tu as le mérite de t'être posé une très bonne question: Pourquoi lorsque je trace ma fonction, les variation ne correspondent pas au signe de la dérivée? Et bien la réponse vient du fait que tu n'as pas tracé la bonne fonction. En effet, tu as tracé la fonction, V' et non la fonction V sur ta calculatrice ce qui t'amène donc à une contradiction par rapport au signe de ta dérivée que tu as trouvé.

Cependant, le signe de la dérivée V' est bon, c'est bien du signe de a en dehors des racines et du signe opposé de a entre les racine (pour une fonction carré s'écrivant: a*x² + b*x +c ). Donc ton tableau est bon et tu aurait du t'en apercevoir lorsque tu as fait le tableau de variation car tu ne prenait plus V mais V' ce qui fausse tout.

Donc ton tableau de variation découle bien du signe de la dérivée, ce théorème est comme son nom l'indique un théorème qui a le mérite d'être vraie . Cependant, ta démarche de faire une vérification avec ta calculatrice est nue très bonne démarche mais avant de conclure qu'un théorème est mis en défaut essaie de voir si il ne s'agit pas d'erreur dans le signe de la dérivée (ce qui peut arriver) ou d'une erreur au niveau du tracer de la fonction (savoir si tu traces la bonne fonction). Les deux erreurs peuvent être vu mais lorsqu'après vérification des calcul pour le signe de la dérivée tu retrouves la même chose plusieurs fois de suite, dis toi qu'il s'agit peut-être d'une erreur au niveau du graphique que ta calculatrice trace.


Alors, j'avais oublié de faire un bilan sur l'exercice et savoir qu'est-ce qu'on nous fait faire. En effet, il est souvent important de comprendre la logique des questions. Bon la première question c'est la mise en équation du problème. Ensuite à la deuxième question, on cherche à avoir une approche théorique du visuelle de cette fonction c'est à dire son sens de variation et savoir où il y a des tangente verticale (là où la dérivée s'annule il y a des tangente verticale).

Oui mais voilà, un tableau de variation donne beaucoup d'information mais il est souvent utile de savoir à quoi ressemble la courbe réellement dans un graphique. Et c'est le but de cette question 3), il s'agit de tracer la courbe, V.

Mais il ne faut pas oublier ce que représente V. En effet, V c'est le volume de notre parallélépipède une fois qu'il sera construit. C'est à dire que pour une longueur x donnée en cm, on peut calculer son volume V(x) qui sera donc exprimer en cm³. Bon maintenant, l'équation de la courbe que nous allons tracer c'est y=V(x). C'est à dire que sur l'axe des abscisse on aura x en cm et sur l'axe des ordonnées, on aura V(x) en cm³. Mais pour y voir quelque chose sur un graphique manuscrit comme sur une calculatrice, il est bon d'imposer une échelle pour l'axe des abscisses et une autre poru l'axe des ordonnées et c'est ce qu'on nous dit ici, on doit prendre comme unité 1cm poru l'axe des abscisses et 100cm³ pour l'axe des ordonnées. A partir de là, il ne reste plus qu'à prendre quelque valeur pour tracer la courbe.

Dans tout l'exercice, ce qui ne faut jamais oublier c'est que x est une longueur c'est à dire qu'il doit forcément être positif d'une part. ET d'autre par qu'il y a une contrainte de par la grandeur du patron, donc la longueur x ne peut pas dépasser une certaine longueur qui doit être 15cms je suppose vu la question 2).

L'exercice nous oriente vers un aspect très concret qui va être la fabrication d'une bouteille de lait dont le volume sera donc fixé. Le but va être donc de choisir une bonne valeur de longueur x pour que la boite de lait soit vendable.

Je te laisse reprendre ton exercice tranquillement, il ne sert à rien de tout détailler maintenant pour moi vu que celà ne sera pas très intéressant pour toi vu la longueur des posts et les informations déjà présente. Nous verrons donc les dernières questions par la suite.

Bon courage!

Oups, désolé.. X vaut AE1 soit tous les côtés où il y a une marque rouge.
Je reprends :

Pour la 1), je développe V(x) donné et, je fais AD * DC * CG et je trouve le même donc, c'est bon.

Pour la 2), je sais que V(x) = 2x^3 - 60x² + 450x donc : V'(x) = 6x² - 120x + 450
Delta = 3600 ; x1=5 et x2 = 15 donc : s'en suit le tableau de signes suivant :



Avec ce tableau de signes, je peux dresser le tableau de variations de V(x) :




On aura donc V(x) croissant sur [0 ; 5] et décroissant sur [5;15].

3) Je met donc x en cm en abscisses et V(x) en cm^3 en ordonnées.
Pour aller plus vite j'ai fais un tableau de valeurs sur la calculatrice donc normalement ça marche : le graphique est tracé.

Oui, si ça dépasse 15 cm de toutes façons, x ne pourra pas être égal ds 2 côtés le carré faisant 30 cm de côté.


4) Pour que le volume V(x) soit le plus grand possible, il faut prendre le dernier point connu où V(x) croît soi x=5 (ce que le graphique confirme).

Pour x=5 , le volume V(x) = 1000 cm^3 : c'est le volume max
(voir graphique ou par calcul : 2x^3 - 60x² + 450x = 2*5^3 -60*5² + 450*5 = 250-1500 + 2250 = 1000).

5) Ici, on nous dit que le parallélépipède est une boîte de lait :

(a) On cherche les valeurs de x pour obtenir V(x) = 500cm^3. Il y en a 2 sur le graphique : je les marque sur ce dernier.

(b) Les déterminer à 0.1 près :

* La première semble se situer à x = 1.4 cm sur le graphique : je vais le vérifier par le calcul:


V(x) = 2x^3 - 60x² + 450x = 2*1.4^3 - 60*1.4² + 450*1.4
V(x) = 5.488 - 117.6 + 630 = 457.88 cm^3

Je vais essayer avec x = 1.5 cm :

V(x) = 2x^3 - 60x² + 450x = 2*1.5^3 - 60*1.5² + 450 * 1.5
V(x) = 6.75 - 135 + 675 = 546.75 cm^3

On a donc 2 valeurs de x : la première étant moins éloignée des 500 cm^3 demandés mais, qui ne permettra pas de les contenir. On privilégiera donc x = 1.5 offrant plus de volume et qui, peut contenir les 0.5 Litre de lait.


* La seconde valeur de x semble tomber juste sur 10 (ce que montrait le tableau de signes utilisé pour créer le graphique) mais, je vais le vérifier par le calcul :

V(x) = 2x^3 - 60x² + 450x = 2*10^3 - 60*10² + 450*10 = 2000 - 6000 + 4500 = 500 cm^3.

La valeur exacte de x est bel et bien x = 10 cm.

(c) Entre ces deux valeurs, un fabriquant retiendra la première soit : x = 1.5 cm qui permettra de faire des briques de lait plus fines et longues (27 cm de long) qu'avec x = 10 cm qui, fera des "cubes" de lait : 2x = 20 cm sur 30 donc, il restera 10 : tous les côtés seront donc égaux.

Et voilà!

Citation :

Ok plus de problème, le graphique est en accord avec ton tableau de variation en plus .

Pour la question 4), le tableau de variation te donne en effet la réponse. Sinon un petit rappel sur les dérivées:

Lorsqu'une dérivée est nul celà veut dire qu'il y a soit un minimum soit un maximum locale (c'est nue notion local car globalement c'est à dire sur R, ta fonction n'admet pas forcément de minimum ni de maximum globale car elle peut tendre vers plus ou moins l'infinie)

Donc ici le fait que la dérivée s'annule en x=5 signifie qu'il y a un maximum ou un minium locale sur [0; 15] et d'après le tableau de variation, il s'agit bien d'un maximum. La dérivé s'annule aussi en 15 mais là il s'agit d'un minimum locale sur [0; 15]. Donc x=5 est bien le maximum pour le volume de la boite.

Après pour la 5), on te dit que la boite de lait doit faire 500cm³ en volume. Donc la question a) est logiquement savoir poru quelle valeur de x on a bien un volume égale à 500cm³. Par contre une valeur théorique c'est bien sympathique mais bon, il est rare qu'on puisse fabriquer une bouteille de lait avec une précision à l'infini (nombre infini de chiffre après la virgule par exemple) celà est impossible techniquement parlant, il nous faut donc une valeur approchée de cette valeur théorique poru pouvoir faire une création concrète.

Et puis après, il faut trancher car il y a plusieurs solutions au problème (une équation du troisième degré admet 3 solutions au maximum), il va donc falloir faire un choix pour la fabrication avec comme optique qu'il s'agit d'une bouteille de lait donc on s'imagine assez bien la tête que celà a ça ne ressemble pas à une boite à chaussure comme qui dirait .

Bon maintenant, il ne reste plus qu'à retrousser les manche et à faire les calculs .

Bon courage!

Arf, tu as modifié ton message petit malin pendant que j'écrivais le miens . Du coup je passe en citation mon ancien message et écrit mon nouveau message à la suite .


Donc tout est bon en fait. Par contre oru la dernière, j'imagine ue notre marchant ne travaillera pas à perte, donc peut-être privilégier le 10cms. Cependant, je te conseille pour finir de faire les deux patrons possible et de trancher par rapport au plus plausible (que tu rencontre sur les étalages ).

Ceci conclut cette exercice, il n'y a pas grand chose à ajouter poru ma part.

Bonne continuation et @bientôt au sein du forum!

Les nouveautés sont en gras. Pour la 5)a), x= 10 et x=1.5 semblent bon avec 1 chiffre derrière la virgule. Je cerne pas trop l'optique de l'équation à 3 inconnues...



Pour la 1), je développe V(x) donné et, je fais AD * DC * CG et je trouve le même donc, c'est bon.

Pour la 2), je sais que V(x) = 2x^3 - 60x² + 450x donc : V'(x) = 6x² - 120x + 450
Delta = 3600 ; x1=5 et x2 = 15 donc : s'en suit le tableau de signes suivant :



Avec ce tableau de signes, je peux dresser le tableau de variations de V(x) :




On aura donc V(x) croissant sur [0 ; 5] et décroissant sur [5;15].

3) Je met donc x en cm en abscisses et V(x) en cm^3 en ordonnées.
Pour aller plus vite j'ai fais un tableau de valeurs sur la calculatrice donc normalement ça marche : le graphique est tracé.

Oui, si ça dépasse 15 cm de toutes façons, x ne pourra pas être égal ds 2 côtés le carré faisant 30 cm de côté.


4) Pour que le volume V(x) soit le plus grand possible, il faut prendre le dernier point connu où V(x) croît soi x=5 (ce que le graphique confirme).

Pour x=5 , le volume V(x) = 1000 cm^3 : c'est le volume max
(voir graphique ou par calcul : 2x^3 - 60x² + 450x = 2*5^3 -60*5² + 450*5 = 250-1500 + 2250 = 1000).
A noter qu'en x = 5 on a le maximum local de la courbe.

5) Ici, on nous dit que le parallélépipède est une boîte de lait :

(a) On cherche les valeurs de x pour obtenir V(x) = 500cm^3. Il y en a 2 sur le graphique : je les marque sur ce dernier.

(b) Les déterminer à 0.1 près :

* La première semble se situer à x = 1.4 cm sur le graphique : je vais le vérifier par le calcul:


V(x) = 2x^3 - 60x² + 450x = 2*1.4^3 - 60*1.4² + 450*1.4
V(x) = 5.488 - 117.6 + 630 = 457.88 cm^3

Je vais essayer avec x = 1.5 cm :

V(x) = 2x^3 - 60x² + 450x = 2*1.5^3 - 60*1.5² + 450 * 1.5
V(x) = 6.75 - 135 + 675 = 546.75 cm^3

On a donc 2 valeurs de x : la première étant moins éloignée des 500 cm^3 demandés mais, qui ne permettra pas de les contenir. On privilégiera donc x = 1.5 offrant plus de volume et qui, peut contenir les 0.5 Litre de lait.


* La seconde valeur de x semble tomber juste sur 10 (ce que montrait le tableau de signes utilisé pour créer le graphique) mais, je vais le vérifier par le calcul :

V(x) = 2x^3 - 60x² + 450x = 2*10^3 - 60*10² + 450*10 = 2000 - 6000 + 4500 = 500 cm^3.

La valeur exacte de x est bel et bien x = 10 cm.

(c) Entre ces deux valeurs, un fabriquant retiendra la première soit : x = 1.5 cm qui permettra de faire des briques de lait plus fines et longues (27 cm de long) qu'avec x = 10 cm qui, fera des "cubes" de lait : 2x = 20 cm sur 30 donc, il restera 10 : tous les côtés seront donc égaux.

Pas de soucis!

La valeur 1.5cms donc la meilleur des valeurs car la plus réel malgré le fait que 10cms est la valeurs la plus adaptée de façon théorique. Je pense que de laisser les deux est plutot judicieux tout compte fait.

Un joli travail en tout cas .

en fait mis à part ce problème de tableau de variations c'était assez facile .
Malheureusement, quand on a bien cerné un point précis en maths y'en a tjours un autre qui vient et qu'on comprend pas tout de suite... Tu t'y connais en géométrie dans l'espace?

Pose ton exercice sans problème .

nous avons déjà eu un exercice de géométrie dans l'espace et il n'y a pas de problème (ça fait longtemps qu'on n'en a pas eu d'ailleurs tiens ).

Tu verras . Le premier me paraît simple et court (en fait, je ne suis pas sûr de ma démarche) et le second là est avec des mots que je comprends pas mais bon, j'aime faire ce qui est facile en premier . A tout de suite sur un nouveau post.

Et encore une fois un grand merci!

Bonjour @toutes et tous,

Puisque MrTheYo a fait une correction de son propre devoir celle-ci clôturera cette exercice (je vais y faire quelque modification pour la clarté de la lecture):

Citation :

Pour la 1), je développe V(x) donné et, je fais AD * DC * CG et je trouve le même donc, c'est bon.


Pour la 2), je sais que V(x) = 2x^3 - 60x² + 450x donc : V'(x) = 6x² - 120x + 450
Delta = 3600 ; x₁=5 et x₂ = 15 donc : s'en suit le tableau de signes suivant :

Avec ce tableau de signes, je peux dresser le tableau de variations de V(x) :

On aura donc V(x) croissant sur [0 ; 5] et décroissant sur [5;15].


3) Je met donc x en cm en abscisses et V(x) en cm³ en ordonnées.

Pour aller plus vite j'ai fais un tableau de valeurs sur la calculatrice donc normalement ça marche : le graphique est tracé.

Oui, si ça dépasse 15 cms de toutes façons, x ne pourra pas être égal ds 2 côtés le carré faisant 30 cm de côté.


4) Pour que le volume V(x) soit le plus grand possible, il faut prendre le dernier point connu où V(x) croît soit x=5 (ce que le graphique confirme).

Pour x=5 cms , le volume V(x) = 1000 cms³ : c'est le volume max
(voir graphique ou par calcul : 2x³ - 60x² + 450x = 2*5³ -60*5² + 450*5 = 250-1500 + 2250 = 1000).
A noter qu'en x = 5 on a le maximum local de la courbe.


5) Ici, on nous dit que le parallélépipède est une boîte de lait :

(a) On cherche les valeurs de x pour obtenir V(x) = 500cms³. Il y en a 2 sur le graphique : je les marque sur ce dernier.

(b) Les déterminer à 0.1 près :

* La première semble se situer à x = 1.4 cms sur le graphique : je vais le vérifier par le calcul:


pour x=1.4cms, on a: V(x) = 2*(1.4)³ - 60*(1.4)² + 450*(1.4)
V(1.4) = 5.488 - 117.6 + 630
Donc V(1.4)= 457.88 cms³

Je vais essayer avec x = 1.5 cm :

V(1.5) = 2*(1.5)³ - 60*(1.5)² + 450*(1.5)
V(1.5) = 6.75 - 135 + 675
Donc V(x)= 546.75 cms³

On a donc 2 valeurs de x : la première étant moins éloignée des 500 cms³ demandés mais, qui ne permettra pas de les contenir. On privilégiera donc x = 1.5 offrant plus de volume et qui, peut contenir les 0.5 Litre de lait.


* La seconde valeur de x semble tomber juste sur 10 (ce que montrait le tableau de signes utilisé pour créer le graphique) mais, je vais le vérifier par le calcul :

Pour x=10cms, on a: V(10) = 2*10³ - 60*10² + 450*10 = 2000 - 6000 + 4500
Donc V(x)= 500 cms³.

La valeur exacte de x est bel et bien x = 10 cms.

(c) Entre ces deux valeurs, un fabriquant retiendra la première soit : x = 1.5 cm qui permettra de faire des briques de lait plus fines et longues (27 cm de long) par rapport à x = 10 cms qui fera des "cubes" de lait : 2*(10) = 20 cms sur 30 donc, il restera 10 : tous les côtés seront donc égaux.

Je vous souhaite donc nue bonne continuation @toutes et tous et @bientôt au sein du forum!