Dérivés et Limites

Bonjour à tous!
J'ai un problème avec un exercice, et j'aurais besoin de votre aide pour m'éclaircir un peu.. Voici l'énoncé:

Soit λ un nombre réel. On définit la fonction f sur |R par f(x) = (x+λ)/(x²+1)
1) Montrer que cette fonction est dérivable et calculer sa dérivée.
2)a) Montrer que f' s'annule en 2 points a et b (où a<b). Etudier le signe de f'.
b) Montrer que f(a)=1/2a et que f(b)=1/2b.
3) Dresser le tableau de variation de f.
4)a) On appelle mλ le minimum de la fonction et Mλ son maximum. Exprimer mλ et Mλ en fonction de λ.
b) On peut considérer mλ et Mλ comme des fonctions de λ. Quelles sont leurs limites lorsque λ devient très grand ?



L'exercice ne me semble pas si compliqué que ça, mais c'est le λ qui me pose problème!
Mes réponses:
1) Etant donné que λ est un nombre réel, et qu'on sait que f'(x) = (u'v - uv') / v², on trouve que f(x) = [1(x²+1) - (x+λ)x²]/(x²+1)² soit f(x) = (x²+1-2x²+2λx)/v² et ainsi que f(x) = (-x²+2λx)+1)/v²
2)a) Pour trouver ces deux points a et b, on calcul le discriminant grâce à la formule ∆ = b²-4ac ce qui donne ∆ = (2)² - 4*(-1)*1 = 8 et que √∆ = 2√2 et ensuite on remplace dans les formules x(a) = (-b + √∆)/2a et x(b) = (-b - √∆)/2a. Ce qui nous donne (-2+2√2)/-2 et (-2-2√2)/-2 (On ne pourrait pas simplifier par -2 par hasard ?!) Ensuite pour l'étude du signe de f', on dit simplement que le dénominateur est toujours positif, donc on étudie le signe du polynôme. Et comme f'<0 pour -2√2<x<2√2, alors on fais le table de signe de f'(x) ?
b) Là, je n'en ai aucunes idées...
3) Ceci n'est pas compliqué!
4)a) et b), je n'en ai aucunes idées non plus...

Merci d'avance & bonne soirée!

Bonjour et excusez moi, je viens de remarquer une erreur...

1) Pour la dérivée, on trouve (-x²-2λx+1)/(x²+1)²
Mais pour le calcul du discriminant, λ me pose problème...
Car ∆=b² - 4ac soit ∆=(-2λ)² - (-4) = 4λ + 4. Mais pour √∆ ? On dit simplement que c'est égal à √(4λ+4) ?
Et ainsi pour les racines on trouverait x(a) = (-2λ + √(4λ+4))/-2 soit λ + √(4λ+4) et x(b) = (-2λ - √(4λ+4))/-2 soit √(4λ-4)) ? Mais est-ce vraiment nécessaire d'ensuite faire un tableau de signe pour étudier le signe de f' sachant qu'un polynome est du signe de son coefficient dominant à l'extérieur des racines? Donc il serait négatif ?

Pourriez-vous également m'éclaircir un peu sur les autres questions ?

Merci d'avance, et bonne journée!

Bonjour,

Un exercice assez intéressant car le travail avec un paramètre est souvent problématique en soi mais le soucis c'est que scientifiquement parlant, nous travaillons en majorité avec ce genre de paramètre vu qu'on chercher des solutions liées à des paramètres (le terrain, la température, l'inflation, ...).

Alors la dérivée de ton deuxième message est juste en effet. Comment justifies-tu le fait que la fonction soit dérivable d'ailleurs? Car il faut justifier ceci avant même de calculer la dérivée lorsque la question est posée dans cette ordre là.

Ensuite, pour la suite, il y a une chose à dire tout de même au niveau de la justification. En effet, pourquoi le discriminant est strictement positif? Car s'il n'était pas strictement positif on pourrait ne pas avoir de racines réelles ou avoir une racine double. D'ailleurs, ton discriminant n'est pas tout à fait juste.

Pour le tableau de signe, il n'est pas obligatoire en effet. Par contre, il est obligatoire de justifier une réponse. Ainsi, il faudra écrire la propriété qui te permet de connaître le signe d'un polynôme (ou de bien mettre en évidence les hypothèses qu'il faut pour pouvoir conclure).

Pour la question 4)a), il s'agit d'utiliser le tableau de variation tout simplement. En effet, la fonction a un minimum et un maximum en certains points qui dépendent des racines du numérateur de la fonction dérivée. Il ne rest plus qu'à calculer l'image des abscisses en question.

La question 4)b) est une étude de fonction classique en fait, tu considère que M_λ est une fonction de λ c'est à dire que Mλ=G(λ) et G sera la fonction a étudier et en l'occurrence, il faut juste trouver les limites de cette fonction sachant que λ est un nombre réel quelconque.


Est-ce que ceci est plus clair ainsi?

Bon courage!

Merci beaucoup, mais j'ai encore des difficultés pour les calcules du 2)b) ...
On doit donc calculer f[λ+√(λ²+1)] = et f[λ-√(λ²+1)] ?
Mais les calcules semblent vraiment difficiles!! :S

Pour f[λ+√(λ²+1)] = ([λ+√(λ²+1)]+λ)/([λ+√(λ²+1)]²+1) ...
Ce qui pourrait donner [2λ+√(λ²+1)] / [λ²+2λ√(λ²+1)+1]
Je me perd dans mes calcules et je n'arrive pas à m'en sortir... & surtout, je ne vois pas comment faire pour retrouver... 1/2a ...


J'ai aussi un petit problème pour la 3) ... En faite, pour le tableau de variation, je n'arrive pas à savoir comment faire pour calculer les limites des racines afin de les mettre dans les bornes du tableau... Mais après réflexion, je suppose que c'est ce qu'on me demande dans la question 4)b) non ? Mais je ne vois pas à quoi cela pourrait correspondre...


Ensuite, petite question pour la 4°)a)... mλ et Mλ correspondent aux racines, c'est à dire que mλ = [λ+√(λ²+1)] et Mλ = [λ-√(λ²+1)] ?

Merci d'avance!

Pardon, je me suis trompée! c'est [-λ+√(λ²+1)] !!!
Donc, pour f[-λ+√(λ²+1)] = ([-λ+√(λ²+1)]+λ)/([-λ+√(λ²+1)]²+1) ...
Ce qui pourrait donner [√(λ²+1)] / [λ²+2λ√(λ²+1)+1] et on pourrait simplifier par √(λ²+1) donc f = 1/(λ²+2λ+1)
Je me perd dans mes calcules et je n'arrive pas à m'en sortir... & surtout, je ne vois pas comment faire pour retrouver... 1/2a ...

Bonjour,

Pour la question 4)a), le maximum et le minimum sont des valeurs d'images et non des valeurs d'abscisses. En effet, le maximum est la valeur qui se lit sur l'axe des ordonnées et ce maximum est atteint en une valeur qui quant à elle se lit sur l'axe des abscisses. Pour être plus clair, a et b non sont pas les valeurs des extrema mais plutôt les valeur pour lesquelles les extrema sont atteints.

Donc en effet, une des racine est bien -λ+√(λ²+1). Et on cherche donc à calculer l'image de celle-ci et montrer qu'elle est égale à la moitié de celle-ci en gros.

Il faut donc calculer de façon disciplinée et avec rigueur l'image tout simplement: F(-λ+√(λ²+1))=[-λ+√(λ²+1)+λ] / [ (-λ+√(λ²+1) )² + 1]

La simplification que tu proposes n'est pas faisable par contre. En effet au dénominateur, √(λ²+1) n'est pas en facteur, on ne peut donc pas effectuer la simplification. En revanche, on sait qu'il faut trouver un résultat qui n'a plus de racine carrée au dénominateur, il faut donc essayer de faire en sorte d'enlever les racines carrées du dénominateur. Connaîs-tu la méthode qui permet de faire cela?

Si ce n'est pas le cas, essaie de réfléchir à comment enlever la racine carrée au dénominateur de l'expression suivante: 1/[2+√3] par exemple.

Bon courage!