Limites

Bonsoir
Je bloque sur ces deux exo
EXERCICE 1 :
f est un fonction définie sur [0 ; 8]
f(x) = racine carré de x , x appartient à [0,4]
f(x) = m , x appartient à ]4,8[
Calculer m pour que la fonction f soit continue sur l'intervalle [0;8]
EXERCICE 2
Soit f une fonction continue et définie d'un intervalle [a,b] à un intervalle [a,b]
Démonter que l'équation f(x) = x a au moins une solution dans l'intervalle [a,b]
Merci d'avance.

Oualid

Bonsoir et bienvenu parmi nous Oualid!

Alors pour ton premier exercice, il faut se rappeler de la définition de la continuité d'une fonction qui nous dit:

Citation :

Une fonction F est continue en un point x₀ si et seulement si les limites à gauche de x₀ et à droite de x₀ de F sont égales.

Sachant que la fonction racine carrée est continue sur R₊ et qu'une fonction constante est contniue sur R. Donc notre fonction F est continue sur [0;4[ et sur ]4;8]

Le problème réside donc dans la continuité en 4 et pour que ce soit continue, il faut utiliser la définition citée ci-dessus.


On va déjà regarder ce première exercice et on étudiera le deuxième ensuite car, il n'aborde pas le sujet de la même façon. Donc autant bien voir un thème et voir le suivant ensuite.

bon courage pour le première exercice dans un premier temps et n'hésite pas à poser des questions si quelque chose n'est pas clair, nous sommes là pour ça.

Donc :
lim ( x→4-) = V4 = 2
lim ( x→4+) = m
Donc m=2

C'est tout à fait ça !

L'exercice 1 est donc bouclé passons à l'exercice 2. Alors on prend une fonction continue sur un intervalle [a;b] à valeur dans ce même intervalle.

La fonction est donc situé à l'intérieur du carré délimité par les droites x=a et x=b ainsi que y=a et y=b.

De plus la fonction est continue, donc l'image de tous les points de [a;b] existe et sont situé à l'intérieur de [a;b].

Maintenant, sur un dessin, on peut déjà visualiser qu'on ne peut pas tracé une fonction qui soit continue et que ne coupe pas au moins une fois la droite d'équation y=x. En effet, une fonction continue sur un tracer revient à pouvoir tracer la courbe sans lever le crayon.

Cependant, il faudrait montrer cela de façon un peu plus théorique, est-ce que tu as une idée de comment commencer?