DM [1er S]

Bonjour, bonjour...

Je poste ici, car j'ai besoin (Encore?!) de votre aide... (Logique xD)

Voici le sujet :

Citation :

Mat et Matix s'amusent avec le jeu suivant :
Pour toute la durée du jeu, ils se fixent un nombre entier n>1.
A chaque tour, ils tirent au sort deux nombres entiers distincts et strictement positifs x et y.
Ils essaient en partant de x, d'arriver à y, en plusieurs étapes, avec la contrainte suivante :

- A une certaine étape, si z le nombre initial ou le nombre obtenu à l'étape précédente, on peut seulement ajouter n à z, soustraire n à z, multiplier z par n, ou diviser z par n.
Si au bout de m étapes on obtient y, on dit que le passage de x à y, à l'aide de n, est réalisable en m étapes.

Pour mieux comprendre, prenons un exemple n=3, x=5, et y=63.
Nous pouvons faire alors 5*3=15 puis 15+3=18, 18+3=21 et enfin 21*3=63
et donc le passage de 5 à 63, à l'aide de 3 est réalisable en 4 étapes.

1) Donner un passage de 15 à 16, à l'aide de 2, en 3 étapes, puis un passage de 168 à 126, à l'aide de 7 en 4 étapes.

2) Prouver que si le passage de x à y, à l'aide de n, est réalisable en m étapes, le passage de y à x, à l'aide de n, est aussi réalisable en m étapes.

3) Prouver que le passage de x à y est toujours réalisable.

Voici ce que j'ai trouvé.

1)
Passage de 15 à 16: 15*2=30, 30+2=32, 32/2=16.
Passage de 168 à 126: 168/7=24, 24-7=17, 17*7=119, 119+7=126.

Par contre pour le 2)... C'est le néant, pis le 3) aussi.

Pourriez vous m'aider ? Merci ! ^^

Bonsoir,

C'est un exercice très intéressant que tu nous proposes là. Intéressant car il utilise beaucoup de logique et surtout nous fait travailler sur l'intuition aussi.

La première question sert surtout à savoir si tu as compris le principe et je constate que c'est le cas d'ailleurs vu que tes calculs sont tout à fait juste.

La deuxième question est de savoir si l'ordre à de l'importance. C'est à dire d'aller de x à y ou d'aller de y à x est-ce que cela changera la donne au niveau des étapes de calculs d'une part et de la possibilité de faire ces calculs d'autre part. Mais bon avant de se lancer corps et âme dans les calculs théoriques et intuitif, je vais te faire passer par un intermédiaire.

En effet, nous allons reprendre la question 1) qui t'es proposé mais cette fois-ci le but va être de faire le passage inverse avec le même nombre d'étapes. C'est à dire que tu vas essayer de passer de 16 à 15 à l'aide de 2 en 3 étapes et de passer de 126 à 168 à l'aide de 7 en 4 étapes.

Après tout la question 2) nous dit que cela est possible donc vérifions-le d'abord sur des exemples.

Et d'ailleurs en comparant les calculs que tu fais dans ce que je te demande et ceux que tu as fait pour la question 1) que remarques-tu ?

Ok... Donc je fais tout à l'envers.

Passage de 16 à 15:
16*2=32, 32-2=30, 30/2=15

Passage de 126 à 168:
126-7=119, 119/7=17, 17+7=24, 24*7=168

Qu'est ce que je remarque ?... Ça marche dans l'autre sens aussi C'est pas ca ? xD

Ce qu'il faut remarquer tu l'as remarqué mais tu 'as peut-être pas eu conscience que tu venais de mettre le doigt sur la solution du problème:

Citation :

Donc je fais tout à l'envers

C'est nue formulation française par très correcte mathématiquement mais c'est exactement cela. si on passe de x à y à l'aide de n en m étapes.

Pour passer de y à x à l'aide de n, nous allons effectuer les opérations inverses ou opposées (tout dépend si c'est une multiplication/division ou une addition/soustraction) à partir de la dernière étape.

Donc est-ce que tu pourrais explicité les 4 opérations que nous allons effectuer si nous avons une opération définie à une étape k quelconque du passage de x à y pour pouvoir passer de y à x? Avec une phrase clair et précise comme lorsqu'ils t'énoncent comment faire les calculs pour passer de x à y.

nous verrons la dernière question ensuite.

Bon courage!

Ah... J'ai pas tout compris. xD

Bon je tante...

y=(x+n)/n

x+n=x+n, (x+n)/n=y

Je peut peut être faire une composé ?

x ==> x+n = X ==> X/n= Y

Et donc l'inverse.

y=(x+n)/n, ((x+n)/n)*n=x+n, (x+n)-n=x

Je crois que j'ai vraiment fait n'importe quoi...

Alors il y a un peu trop de x et de y un peu partout, en effet .

Essayons de faire simple . Pour passer de x à y à l'aide de n en m étapes, on va faire des multiplication, des divisions, des additions et des soustractions par n. Jusque là c'est la définition du passage de x ) y à l'aide de n en m étapes.

Bon maintenant, on suppose celà connu, et regarde comment tu as fait pour les deux exemples. Tu as commencer par prendre l'étape m du passage de x à y puis tu as fait une division si c'était une multiplication, un multiplication si c'était une division, une soustraction si c'était un addition ou encore une addition si cette étape m était une soustraction.

Et cela te donne la première étape du passage de y à x. Et tu sais que tu peux effectuer cette opération pour chaque étape et à la fin tu arriveras bien à x en étant partie de y et ceci en m étapes.

Est-ce que tu comprends mieux ou c'est toujours aussi flou ?

J'ai peut être compris...

Je prend une étape m d'un passage de x à y.

x+n=y

Puis j'inverse l'étape m pour passer de y à x.

y-n=x

C'est cela ?

C'est tout à fait ça !!

Et tu constates que chacune des opérations admet un inverse (au sens des fonctions). Donc cela ne t'ajouteras pas plus d'étape pour passer de y à x à l'aide de n vu que les m étape sont fixée par le passage de x à y à l'aide de n.

Il suffit donc de faire ce que tu as fait pour les 4 opérations et dire qu'à chaque étape nous avons une des 4 opérations que nous pouvons donc inverser. Ainsi en partant de la dernière étape du passage de x à y et en revenant jusqu'à la première étape, on trouve nos m étape du passage de y à x.

C'est plus clair maintenant?

Oui tout à fait ! ^^

Pour la présentation, je fais comme ci dessus pour chacune des étapes ? Multiplication/division et addition/soustraction ? Ou est ce que je fais un tout ?

Faire les étapes séparément serait le mieux pour expliquer vraiment que tu as compris le raisonnement dans sa globalité.

Après as-tu des idées pour la dernière question?

Non, aucune idée.

C'est le néant...

Donc on nous dit que dans tous les cas on peut passer de x à y l'aide de n. On nous précise d'ailleurs pas le nombre d'étapes pour le faire.

Conclusion, il faut juste trouver un moyen de passer de x à y à l'aide de n peut importe le nombre d'étape du moment qu'on en trouvve un. On a toujours le droit à l'addition, la soustraction, la division et la multiplication par n.

Dans un premier temps on peut chercher à savoir comment passer de x à y en utilisant que les termes x et y. En gros, on cehrche comment écrit y en faisant intervenir x.

Un idée ?

Oye... Non. Je ne vois pas du tout comment trouver un terme équivaut à y avec des x... Vu que ce sont des entiers distincts.

Alors il existe une astuce de calcul en fait.

Tu es d'accord que x-x=0 ? Jusque là j'ai pas inventé la poudre .

Mais maintenant que je sais ça et bien je peut écrire y=y + (x-x)

Donc x + (y-x)= y

Alors on a x + quelque chose qui est égale à y. Il serait peut-être temps d'amener notre n dans les parage tout de même. Alors comment faire ?

L'astuce réside dans cette égalité très bête n/n=1 pour tout entier n non nul.

Maintenant est-ce que tu vois un moyen de conclure ?

Bon... Je suis vraiment désolé mais je suis vraiment fatigué donc je vais me coucher et je regarde ca demain !

A demain et encore Merci ! ^^

J'ai peut être compris...
Pour prouver que le passage de x à y est toujours possible, je fais cela ? :

x*n = xn
(xn)/n = x * n/n = x*1 = x

Enfin non, je ne pense pas que ça soit ça. Car la je prouve que y = x... Ce qui n'est pas demandé.

C'est presque l'idée en effet mais comme tu le constate elle ne marche que pour x=y comme tu l'as utilisée.

Par contre, on a dit que x+ (y-x) = y. Tu es toujours d'accord avec celà, je pense.

Maintenant est-ce qu'il ne serait pas possible de faire apparaître notre n dans cette expression ci?

Est ce possible que ca soit ceci :

x+n
(x+n)-n = y

Enfin... J'ai du mal à comprendre...

Alors ici, tu écris encore x=y. En effet, (x+n)-n=y <=> x=y

Donc, on ne peut pas utiliser cela pour s'en sortir vu qu'on veux une égalité qui passe de x à y pour tout x et pour tout y fixé et non pour x=y seulement.

Il y a plusieurs moyen de résoudre ce problème je pense mais je te propose le plus intuitif:

On passe d'abord de x à y sans se soucier du n: x + (y-x)= y


Ensuite, on peut aussi l'écrire comme ceci: x + 1*(y-x) =y

Quel est l'intérêt de faire cela? Et bien dans un premier temps, on utilise que les données fixées qui sont x et y puis après on ajoute la multiplication par 1 car on a dans l'idée que 1=n/n

Du coup, que devient notre égalité ?

A je comprend cette fois ci. xD

x +1*(y-x)
x+((yn-xn)/n)
(xn + yn -xn)/n
yn/n = y

C'est ca ? xD

C'est bien ça !

Bon maintenant, il faut le rédiger un peu quand même .

Car là c'est ce qu'on appelle une analyse du problème. On vient de trouver la bonne forme pour que tout fonctionne comme on le souhaite maintenant, on va peut-être dire quelque mot sur la forme en question.

qu'est-ce qu'on effectue comme opération et il y a combien d'étape au maximum ?

Oye... xD Et on explique ça comment ?

Il y a quatre étapes mais après...

Quelles sont ses étapes?

Attention dans l'ordre dans lequel on va réellement les effectue vu qu'on a le droit seulement d'ajouter, de soustraire, de multiplier et de diviser par n!

Oui mais à ce compte là, comment fait pour ajouter (y-x) ?

Très bonne question et je l'attendais justement. J'attendrai même que t'y réponde toi même .

Sachant que x et y sont des entiers, qu'est-ce qu'on peut dire de (y-x) ? Si x>y et si y>x ?