Les lunules de Leonard de Vinci

Bonjour, j'ai besoin de votre aide
Merci


Dans un cercle de centre O et de rayon a est inscrit un carré ABCD.

Voici la figure de base

a) Tracer les demis cercles de diamètre [AB] [BC] [CD] ET [DA]
Comme indiqué sur la figure
Les surfaces colorées sont des lunules

Reponse :
C'est correcte ?

b) L'objectif est de montrer que la somme des aires des lunules est égale à l'aire du carré0
Pour cela calculer en fonction de a.
- le côté et l'aire du carré
- le rayon et l'aire de chacun des demi-cercles tels que le demi-cercle de diametre [AD]
Par différence, montrer que l'aire de chaque lunules est égales à 2au carré/2
Conclure


Tous d'abord, j'ai fait le a) es-ce correcte ?
Un coté = a\2
Donc le carré = coté au carré
Donc a\2 au carré !
On peut mettre ça comment ? On peut le réduire ?


Mais je ne compras pas du tous faire cette partie :
le rayon et l'aire de chacun des demi-cercles tels que le demi-cercle de diametre [AD]
Par différence, montrer que l'aire de chaque lunules est égales à 2au carré/2
Conclure



Merci

Bonsoir et bienvenu parmi nous !!

Ta figure est tout à fait correcte .

Après c'est un travail de mise en équation du problème qu'on se pose. Mais quel est le problème en fait?

On veut montrer que la sommes des airs formées par les lunules (en rouge sur ton dessin) est égale à l'air de ton carré central.


Bon pour montrer ça, il va donc falloir calculer l'aide du carré ainsi que l'air de toutes les lunules. ET en toute logique on commence par calculer le plus simple c'est à dire l'air du carré.


Que sait-on? Pas grand chose en fait! En effet, on sait que notre carré est inclus dans un cercle de centre a.
Cela veut donc dire que A, B, C et D appartiennent au cercle de centre O et de rayon a.

Nous ce qu'on veux calculer pour trouver l'air de notre carré, c'est la longueur d'un des côtés. En effet, comme tu l'as si bien dit: Aire(carré)= (côté)²


Comment calculer la longueur du côté de notre carré?

Nous savons que A, B, C et D appartiennent au cercle de centre O et de rayon a. Celà veut dire que OA=OB=OC=OD=a

Essayons de calculer la longueur AB par exemple. On sait que OA=a et OB=a.

Quelle propriété ont les diagonales d'un carré? A partir de là quel théorème utiliser pour calculer la distance AB² ? Puis en déduire AB.


Nous verrons l'autre question par la suite car il faut bien que ton comprenne la démarche poru cette première partie de la question b). En fait, la démarche est toujours la même en mathématique: "Qu'est-ce que je veux?" puis "Qu'est-ce que j'ai en ma possession (énoncer ou calcul déjà effectué)?" puis "Quelle théorème je connais pour arriver à la solution en employant les données déjà connues?". En ce posant c'est questions là, on arrive le plus souvent à avancer dans un problème en comprenant ce qu'on fait ce qui est beaucoup plus pratique pour comprendre le problème qu'on nous pose.

Bon courage!

Bonsoir @toutes et tous!

Voilà un exercice qui allie très bien géométrie et analyse. De quoi plaire à tout le monde donc! Je vais vous en proposer une correction et je vous rappelle l'énoncer:

Citation :

L'objectif est de montrer que la somme des aires des lunules est égale à l'aire du carré

Je vous laisse regarder le dessin et la définition d'une lunule.

Alors de façon intuitive, l'aire de la sommes des lunules est égale à l'aire de chaque demi-cercle moins l'aire du cercle tout entier+l'aire du carré.
Or les quatre demi-cercle sont identique car ABCD est un carré et que tous les demi-cercle ont pour diamètre un côté du carré.

On a donc Somme des l'aire des lunules=4*(l'aire d'un demi-cercle)-l'aire du cercle+aire du carré.
Mais nous connaissons l'aire d'un cercle de rayon a. En effet, elle est égale à π*a² et l'aire du carré c'est AB² par exemple.
Ainsi, on a: Somme des l'aire des lunules=4*(l'aire d'un demi-cercle)-π*a²+AB²

Il ne nous reste plus qu'à calculer l'aire d'un demi-cercle. Et cela est très simple à partir du moment où l'on connaît le rayon r du cercle car elle sera égale à (π*r²)/2
Maintenant, si on connaît le diamètre d, on c'est faire aussi car r=d/2, ainsi l'aire du demi-cercle est égale à [π*(d/2)²]/2

Il nous faut donc déduire la valeur du côté du carré pour pouvoir conclure. Que savons nous?

On sait que O est le centre du carré. Par conséquent, O est le point d'intersection des diagonale du carré. Ainsi, [AC] passe par O et O est même le milieu de [AC].

Or ABC est un triangle rectangle en B et il est même isocèle en B car AB=BC car ABCD est un carré.
Donc ABC est un triangle isocèle rectangle en B.
D'où d'après le théorème de Pythagore: AC²=AB²+BC²
Or AB=BC et AC=2*AO (car O milieu de [AC]) donc AC=2*a car OA est un rayon du cercle ce centre O et de rayon a par définition.

Donc (2a)²=2*AB²
D'où 4a²=2*AB² <=> AB²=2a²
Conclusion, AB=a√2

Conclusion général: Somme des l'aire des lunules=4*(π*[a√2/2)²]/2-π*a²+2a²

Donc: Somme des l'aire des lunules=(4*π*a²*2/4)/2-π*a²+2a²
D'où: Somme des l'aire des lunules=π*a²-π*a²+2a²

Conclusion: Somme des l'aire des lunules=2a²=l'aire du carré

Ceci conclut donc cette exercice qui manipule surtout Pythagore et les propriétés du carré (de ses diagonales surtout). Un exercice vraiment intéressant et culturel aussi.

N'hésitez pas à poser vos questions si quelque chose n'est pas claire.

Bonne continuation et @bientôt au sein du forum!