Les lunules de Leonard de Vinci P2

Bonjour
J ai cette question dans un dm qui m'embetes
J ai beau cherché, je ne trouve pas

Voici l'image de base :


Ma réprésentation :



Objectif : Démontrer que la somme des aires des lunules est égale à l'aire du triangle ABC


Pour cela, calculer la somme des aires des aires a+b en fonction de AC
- la somme c + d en fonction de BC
- puis la somme S +a + c en fonction de AB

Comment peut t on faire ?
Y-a t-il une formule ?

En utilisant le theoreme de Pythagore, démontrer que :
b + d = S

Merci
Beaucoup

Re-bonsoir ,


Dans le même style que ton autre exercice mais avec une autre application. Alors je vais reprendre ma démarche mathématique que je t'ai exposé dans ton autre exercice (l'histoire de montrer quelle est vraiment utile pour mieux comprendre les choses):

Qu'est-ce que je veux?

Citation :

Calculer la somme des aires a+b en fonction de AC

Qu'est-ce que j'ai en ma possession?

b est l'aire de la partie rouge qui joint le point A au point B
a est l'aire de la partie incolore entre [AB] et la partie rouge.

On cherche à exprimer l'aire a+b mais encore faut-il savoir ce que ça représente!

Que représente a+b?

a+b= aire blanche + aire rouge (au-dessous de [AB])

Donc a+b représente l'aire de la figure délimitée par le segment [AB] et par le demi-cercle de diamètre [AB].

Conclusion: a+b est l'aire d'un demi-cercle de diamètre [AB]


Quel théorème ou/et propriété appliquer pour relier ce qu'on a avec ce qu'on veut?

Et bien d'après ce qu'on a conclu en analysant ce qu'on avait en notre possession et ce qu'on voulait, on peut reformuler la question comme ceci:

Comment calculer l'aire d'un demi-cercle de diamètre [AB] ?????


La réponse à cette ultime question va te donner la réponse à la première question. La démarche est la même pour la question suivante, je te laisse reprendre le raisonnement et n'hésite pas si tu as des questions!

Bon courage!

Merci mais ils disent de Calculer la somme de a + b en fonction DE AC
Ainsi de suite et je n'ai rien compris
S'ils vous plait

"c'est pour demain"

Bonjour,

Exprimer l'aire a+b en fonction de AC n'est pas logique d'après ton exercice. En effet, pour exprimer l'aire de a+b en fonction de seulement AC il faudrait connaître la valeur de BC. En effet, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC rectangle en B, nous pouvons exprimer AB en fonction de AC et de BC mais ne connaissant pas BC et n'ayant pas de relation entre BC et AB (le triangle ici n'est pas isocèle), il sera donc impossible d'exprimer l'aire a+b en fonction de AC seulement.


En effet, d'après ce que j'ai dit plus haut, nous savons que a+b est l'aire du demi-cercle de diamètre AB.

Rappel:
L'aire d'un cercle de rayon R est égale à π*R²
Sachant que le diamètre D est égale à deux fois le rayon, nous avons donc D=2*R. Donc l'aire d'un cercle de diamètre D est égale à π*(D/2)²


En appliquant le rappel, nous allons pouvoir exprimer l'aire a+b en fonction de AB vu que AB et le diamètre du cercle.


Et nous pouvons faire que celà dans un premier temps. Il y a donc une erreur dans ton énoncer, la première question est:

Citation :

- Calculer la somme des aires a+b en fonction de AB

On constate d'ailleurs, qu'il y a une cohérence avec la question suivante:

Citation :

c + d en fonction de BC

Vu que BC va aussi être le diamètre du demi-disque représentant c+d (avec le même raisonnement de mon premier post).


Bon courage et désolé de n'avoir pas signaler cette erreur d'énoncer plus tôt mais la démarche utiliser me paraissait tellement évidente lorsque je l'ai écrite que je n'ai pas assez fait attention à la longueur utilisé. Avec mes excuse donc.

N'hésite pas si tu as d'autre question sur la démarche ou autre.

Bon courage!

Mon prof a du se trompé en effet !


a + b = πAB²/2
c + d = πBC²/2
S + a + c = πAC²/2

-------------------------------------------------------------------------------------
Alors la somme des aires de BC et de BA (en ROSE sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert)
Or le théorème de Pythagore nous dit que AC² = AB² + BC² .
Donc en multipliant par pi/4
on a que π(AC/2)² = (AB/2)² + (BC/2)², ce qui est l'égalité des aires recherchées.

Source wikipédia
C'est bon si je fait comme ça ?

C'est presque ça en effet.

Une légère erreur dans tes calculs:

Citation :

a + b = πAB²/2
c + d = πBC²/2
S + a + c = πAC²/2

L'aire d'un cercle de rayon AB est πAB². Mais ici AB est le diamètre du cercle, donc l'aire du cercle est: π*(AB/2)² (Le rayon c'est la moitié de notre diamètre). Pour l'aire du demi-cercle, on divise par 2 l'aire totale comme tu l'avais fait.

Donc même remarque pour les deux autres résultats, il faut diviser les diamètre par 2 si ont veux avoir l'aire considérée.


Pour conclure, on utilise en effet le fait que ABC est rectangle en B et on applique le théorème de Pythagore pour trouver AC² = BC² + AC² et on peut remplacer AC², AB² et BC² par leurs valeurs calculées dans les trois premières questions.

Bon courage et bonne continuation pour la suite!

Bonsoir @toutes et tous!

Cette exercice est vraiment très intéressant car il permet de manipuler un peu les aires, le théorème de Pythagore et un peu d'intuition visuel aussi.

Alors je vous laisse regarder la figure dans le premier message et vous rappel l'objectif avec les question intermédiaire:

Citation :

Objectif : Démontrer que la somme des aires des lunules est égale à l'aire du triangle ABC

Pour cela:
a) Calculer la somme des aires des aires a+b en fonction de AB
b) Calculer la somme c + d en fonction de BC
c) Calculer la somme S +a + c en fonction de AC
d) Conclure

a) Pour cette question, il faut commencer par savoir que représente l'aire "a+b". On constate en fait qu'il s'agit de l'aire du demi-cercle de rayon AB.

Par conséquent, on a: a+b= π*(AB/2)²/2 (l'aire d'un cercle de rayon r est égale à π*r² et ici le rayon r=AB/2 vu que le diamètre est AB)


b) On est dans une même démarche de savoir ce que représente l'aire c+d. Il s'agit en fait de l'aire du demi-cercle de diamètre BC.

Par conséquent, on a: c+d= π*(BC/2)²/2


c) On continue le même raisonnement, que représente l'aire S+a+c? Et bien, il s'agit de l'aire du demi-cercle de diamètre AC.

Par conséquent, on a S+a+c= π*(AC/2)²/2


d) On sait que ABC est un triangle rectangle en B. Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AC²=AB²+BC²

Or d'après a), on a: a+b= π*(AB/2)²/2. Donc a+b= π*AB²/8
D'où AB²=(8/π)*(a+b)

De plus d'après b), BC²=(8/π)*(c+d)

Donc AC²=(8/π)*[a+b+c+d]

Or d'après c), AC²=(8/π)*(S+a+c)

Conclusion, (8/π)*(S+a+c)=(8/π)*(a+b+c+d)

Donc S+a+c=a+b+c+d

Conclusion: S=b+d c'est à dire Aire du triangle=Somme des aires des deux lunules


Ceci conclut cette exercice. N'hésitez pas à poser vos question si quelque chose n'est pas clair.

Bonne continuation @bientôt au sein du forum!