fonction périodique

bonsoir,
j'ai un exercice de mathématique à faire pour demain et je bloque sur un question.

Soit f définie sur R par: - f(x)=valeur abslue x sur [-2 ; +2]
- f périodique de période 4
a) construire Cf
b) calculer: f(-234) et f(540)

je n'y arrive pas, car je n'ai pas fait la leçon.

merci pour votre aide!!

Bonsoir et bienvenu parmi nous Damien25!

On ne fait pas de leçon sur la périodicité en 2nd, par hasard? Tu m'étonnes là mais ta mémoire te fait sûrement défaut car ne second mis à part avec les fonctions trigonométrique on ne voit pas beaucoup d'application sur la périodicité. Alors voici quelques rappels pour te rafraîchir la mémoire:

Citation :

Une fonction F définie sur l'intervalle I est dite périodique de période T (T un entier relatif quelconque) si et seulement si:

Pour tout x dans I, on a: x+T est aussi dans I et F(x+T)=F(x) (on dit aussi que la fonction F est T-périodique)

Je vais noter la fonction valeur absolue comme ceci: |.|, donc notre fonction F est définie sur [-2;2] par F(x)=|x| et sur R on la prolonge par 4-périodicité c'est à dire que:

Pour tout x dans R, F(x+4)=F(x) et si x est dans [-2;2], alors F(x)=|x|

La question est de savoir comment tracer celà sur un graphique. Bonne question! Alors déjà sur [-2;2], on sait tracer cette fonction vu qu'on c'est qu'il s'agit de la fonction valeur absolue sur cette intervalle.

Mais maintenant, comment la tracer sur R???

Et bien, on sait que pour tout x dans R, F(x+4)=F(x). Et bien on se souvient que notre fonction Cosinus par exemple est 2*Pi-périodique et que sa courbe représentative une fois qu'on la tracé sur [-Pi;Pi], il nous suffit de faire une translation de la courbe de 2*Pi tout simplement.

Et bien ici, il s'agit de fiare une translation non pas de 2*Pi vu que notre fonction est 4-périodique mais de 4 tout simplement. Et pour s'en convaincre on peut regarder quelque valeur particulière.

En effet, pour x=0 par exemple, on a: F(0+4)=F(0) (car F est 4-périodique) c'està dire que F(4)=F(0).

Donc en prenant quelque valeur de x compris entre -2 et 2, nous allons pouvoir tracer la courbe Cf au fur et à mesure.


Est-ce que tu comprends la démarche et ce qu'est nue fonction périodique maintenant?

Nous verrons la question suivante si tu es à l'aise avec ce que je viens de dire, donc n'hésite pas à poser des question si ce que je raconte n'est pas clair!

Bon courage!

d'accord, mais alors si on prend x=1 , y=5
c'est cela??

Alors pour x=1, on sait que F(1)=|1|=1 dans un premier temps vu qu'on connait sa valeur exact sur [-2;2] et que 1 est bien dans cette intervalle.

Maintenant par 4-périodicité, on sait que F(1+4)=F(1) (car pour tout x dans R, on sait que F(x+4)=F(x) car F est considérée 4-périodique)

C'est à dire que F(5)=F(1)

Or F(1)=1 comme nous venons de le voir.

Par conséquent, F(5)=1


C'est peut-être plus clair sur cette exemple, non?

donc si j'ai bien compris:
si je prend x= -1:
f(-1) = 1
f(-1+4) = f(-1)
donc : f(3) = f(-1)
d'où: f(-1)=1

alors pour représenter la courbe :
x=1 et y=3

????

Lorsqu'on représente une courbe y=F(x), donc pour x=1, y=F(1)=|1|=1

Sur ton deuxième calcul, x=-1, y=F(-1)=|-1|=1
et x=3, y=F(3)=F(-1+4)=F(-1)=1

Le calcul de y pour un x donnée, revient à calculer F(x) tout simplement en fait.

Est-ce plus clair ou toujours pas ?