Transformations du plan

Salut!
Ici, j'ai un exo de maths spé. assez compliqué que je n'arrive pas à faire malgré sa petite taille...
J'aurais donc besoin d'un peu d'aide parce que là, j'ai eu beau chercher, tenter encore et encore, j'ai toujours pas trouvé...

Voici l'énoncé :



On donne deux points distincts du plan orienté A et B.
Construire, en expliquant, le centre Omega de la rotation r d'angle de mesure Pi/2 qui transforme A en B.



Bon, j'ai tenté à l'équerre et en tâtonnant, je trouve mais, je pense qu'il faut trouver un truc au compas et à la règle et là, je galère pas mal donc, j'aurais besoin qu'on m'explique un peu svp!
Merci d'avance!

Bonjour,

La méthode par test est une méthode qui marche mais qui hélas n'est pas très rigoureuse en effet.

En fait, nous savons beaucoup de choses ici mais encore faut-il les voir.

Qu'est-ce qu'une rotation de rayon r et d'angle Pi/2?

Que pouvons-nous dire du triangle ABΩ?

Bon courage!

Citation :

Qu'est-ce qu'une rotation de rayon r et d'angle Pi/2?

C'est un quart de tour soit 90 degrés soit un angle droit DONC :
On peut dire que ABΩ est un triangle rectangle en Ω.

C'est une bonne première analyse en effet.

Maintenant essayons de creuser un peu plus l'analyse en cherchant la deuxième chose qui caractérise une rotation au niveau des distances par exemple.

Que pouvons-nous dire de plus sur le triangle?

Que A et B seront sur le cercle de centre Omega donc, ils auront le même module.

Bonjour,

Nous sommes dans un repère réel ici sauf erreur mais cela marche aussi dans le plan complexe normalement.

Donc A et B sont à même distance de Ω, en effet. Que peut-on en déduire pour le triangle ABΩ?

ABΩ en plus d'être rectangle est également isocèle!

Nickel!

Le triangle est rectangle et isocèle en Ω si on veut être précis.

A partir de là, est-ce qu'il ne serait pas possible de savoir sur quelle droite particulière de ce triangle va se situer notre point Ω?

Le triangle ABΩ est rectangle et isocèle en Ω.

Citation :

A partir de là, est-ce qu'il ne serait pas possible de savoir sur quelle droite particulière de ce triangle va se situer notre point Ω?

Ω se situera donc sur la médiatrice du segment [AB]

C'est un bon début!

Vu qu'on a égalité des longueur, Ω est forcément sur la médiatrice de [AB].

Maintenant, si j'appelle I le milieu de [AB], est-ce qu'on peut connaître la longueur IΩ?

Indication: On a utilisé seulement le fait que ΩA=ΩB mais on a pas encore utilisé le fait que le triangle était rectangle isocèle en Ω.

Bon courage!

L'angle droit sera divisé en deux angles de 45 degrés chacun non?

La médiatrice est aussi une bissectrice en effet mais cela ne nous aide pas vu qu'on ne sait pas où se situe Ω exactement.

Et pour celà, on a besoin de connaître la longueur IΩ.

Pour cela, il faut les affixes de I et Ω.

Celle de I se trouve avec la formule suivante :

I = (z_a + z_b) /2

mais, on a pas de valeurs précises pour A et B

Ta méthode est tout à fait exacte si on connaissait en effet la position de A et de B.

Le problème ici c'est qu'on doit être capable de trouver l'emplacement Ω pour n'importe quelle position de A et B dans le plan (complexe ou réelle).

Il faut donc déduire la distance IΩ à partir des distance qu'on peut utiliser ou reporter à l'aide d'un compas par exemple. Donc les distances qui seront fixées une fois les point A et B placés sont:

1) AB
2) AI
3) IB

On sait tracer à l'aide d'un compas la médiatrice de [AB] et donc déterminer de façon très précise la position du point I.

On sait que Ω est un point de cette médiatrice vu qu'il est le centre de rotation et que par conséquent AΩ=BΩ.

Maintenant, on sait aussi que la rotation est d'angle Pi/2 et par conséquent que le triangle ABΩ est rectangle en Ω (il est même isocèle rectangle en Ω d'après ce qu'on a dit juste avant).

On sait que si notre triangle est isocèle rectangle en Ω, toutes les droites remarquable issues de Ω sont confondues c'est à dire que la médiatrice de [AB] passe par Ω et c'est aussi une bissectrice (inutile ici), une hauteur (inutile ici on a déjà l'angle droit avec la médiatrice) et une médiane (pas encore utilisé).

Que savons-nous de la médiane issue de l'angle droit d'une triangle rectangle?

On peut se servir du théorème de la médiane :

"Soit ABC un triangle quelconque, et AI la médiane issue de A. On a alors la relation suivante :

AB² + AC² = 2BI² +2AI² "

C'est une solution en effet. Mais nous notre médiane est issue de Ω et par conséquent on aura beaucoup d'inconnues dans cette relation. L'autre inconvénient vient du fait qu'on n'aura des calcul à faire ce qu'on veut éviter si on doit faire un tracer à la règle et au compas.

Mais que savons-nous de la médiane d'un triangle rectangle? N'aurait-elle pas une particularité que nous permettrait de conclure sur la distance IΩ?

"Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse."

C'est tout à fait ça!

Conclusion, IΩ= ?

IΩ= IA = IB

J'ai réussi à le tracer!
Je trace le segment [AB], je trace sa médiatrice en me servant du compas pour déterminer sa position et je reporte la distance IA.

Nickel!!!

Mais attention au dernier piège! En effet, jusqu'à maintenant, on a pris aucunement en compte le sens de notre rotation, il y a donc deux point Ω qui vérifient IΩ=IB=IA et Ω appartenant à la médiatrice.

Seulement, le sens de la rotation nous donne l'unicité de ce point là car sinon, l'angle n'est plus de Pi/2 mais de -Pi/2 si on le met au mauvais endroit.


Cette exercice est en fait accessible en Maths général de par son résultat mais par contre vu qu'il n'y a pas de question intermédiaire cela le range dans les exercice de maths spé. Pourtant le raisonnement est purement géométrique, il faut vraiment prendre son temps d'analyser les données les unes après les autres sans chercher à faire apparaître quelque chose de connu car si quelque chose de remarquable doit apparaître cela se fera dans tous les cas .

Bon courage pour la suite!

Merci beaucoup en tout cas!
j'ai plus qu'à résumer tout ce qu'on a écrit pour justifier ^^