[DM 1erS]

Bonjour!

Je suis bloqué sur un DM... Dés la 1ere question. J'aimerai donc bénéficier de votre aide, si cela est possible. ^^

Voici l'énoncé:

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur R/{1} par

f(x)=(x^3-2²)/(x-1)²

et C la courbe d'équation y = f(x).

1) Ecrire f(x) sous la forme : f(x) = ax + b/(x-1) + c/(x-1)²

pour tout réel x différent de 1 où a, b, et c sont des réels à déterminer.

Merci de votre aide! ^^

Bonsoir!

La première question c'est ce qu'on appelle décomposer une fraction en élément simple. Qui a trouver ce nom là? Aucune idée car ce n'est pas forcément aussi simple de décomposer en élément simple .

Bon trêve de plaisanterie et essayons de trouver un moyen de s'en sortir tout de même avec les moyens qu'on a (et on en a pas beaucoup pourtant). Qu'avons-nous sous la main?

Tenter de partir de l'expression de F(x) pour arriver à la nouvelle expression. A première vu cette idée là me paraît trop complexe, donc pas faisable.

Conclusion, nous n'avons pas trop le choix, il va falloir partir de l'expression de gauche et identifier les termes pour retrouver F(x).

C'est à qu'il faut partir de a*x + b/(x-1) + c/(x-1)² mettre au même dénominateur pour se ramener à une expression du type A(x)/(x-1)²

Sachant ensuite que F(x)=(x³-4)/(x-1)², il nous restera à identifier A(x) avec x³-4.

Est-ce que tu as déjà vu se procéder d'identification de deux polynômes?

Bon j'ai un peu bossé dessus:

1) f(x) = ax+b/(x-1)+c/(x-1)²
= (ax(x-1)²+b(x-1)+c)/(x-1)²
= (ax^3-2ax²+ax+bx-b+c)/(x-1)²
= (ax^3-x²(2a)+x(a+b)-b+c)/(x-1)²

Notre but est de trouver (x^3-2²)/(x-1)²

Ce qui revient au dessus à:

f(x) = (ax^3-x²(2a))/(x-1)² + (x(a+b)-b+c)/(x-1)²

Donc a=1

a+b=0
<=> 1+b=0
<=> b=-1

-b+c
<=>b=c
<=>c=-1

Ce qui revient à f(x) = x - 1/(x-1) - 1/(x-1)²

Je suis casi sur du résultat. La suite de la question est:

En déduire l'existence d'une asymptote oblique Delta pour C dont on précisera une équation.

Donc je resous l'equation:

f(x)-(ax+b)= x - 1/(x-1) - 1/(x-1)² -(x-1)
=(x(x-1)²-(x-1)-(x-1)(x-1)²)/(x-1)²
= (x²-3x+2)/(x-1)²

Mais bon voila... Je suis bloqué.

Bref, j'ai tous de même continué.

2) Etudier la fonction f et tracer la courbe C dans un repere orthonormal. On determinera les points d'intersection de C avec kes axes et tangentes en ces points.

J'étudi donc la dérivé.

f'(x) = 1 + 1/(x-1)² - (4*(x-1)^3)/(x-1)^4
= ((x-1)^4+(x-1)²-(4*(x-1)^3))/(x-1)^4

Pis bon je trouve un truc tordut pour le tableau donc c'est faux... xD

Merci de votre aide!

Bonsoir,

Après analyse de ton problème j'ai un doute sur ton énoncer. Sommes-nous d'accord sur F(x) et sur l'expression à trouver:

F(x)=(x³-4)/[(x-1)²]

Et on cherche à montrer que F(x)= (ax) + b/(x-1) + c/[(x-1)²]

??

Car écrit comme cela, nous avons un soucis et tu aurais du t'en appercevoir lorsque tu pose a=1, les termes en x² reste alors que F(x) ne contient pas de terme en x² à priori sauf s'il y a une erreur d'énoncer.

Sinon ta méthode était juste en effet.

Pour trouver une asymptote à l'infini ce n'est pas précisé mais j'imagine. D'ailleurs il faut toujours préciser asymptote en quoi car on pourrait chercher des asyptote en 1 par exemple vu que 1 ne fait pas partie de l'ensemble de définition. Je sais la rigueur n'est pas une chose qui s'acquiert du jour au lendemain cependant même pour toi tu comprendras mieux ce que tu fais si tu sais de quoi tu parles et où tu vas.

Donc pour une asymptote oblique en l'infini par exemple, il faut cherche en effet une équation du type ax+b tel que F(x)-ax+b tendent vers 0 lorsque x tend vers l'infini. Et c'est grace à la forme intermédiaire établie à la question suivante que nous allons pouvoir conclure car par exemple c/(x-1)² tend vers 0 à l'infini peut importe la valeur de c.

Pour ce qui est de la dérivée, je te conseille d'utiliser la forme initiale de F(x) car après tout tu n'es pas sur des constante a,b et c trouvées et par conséquent, il faut mieux assurer les points dans un exercice. Mais nous verrons la dérivées par la suite vu que pourl e mometn il y a un soucis d'énoncer à première vu.

Bon courage!

Réponse de Nicolas Anouza:

Citation :

Au final, il y a avait bien un erreur d'énoncé. J'ai terminé et montre le 1er exercice à mon professeur, et j'ai tous juste. Donc merci de votre éclaircissement...

Serait-il possible d'avoir l'énoncer exacte pour une correction future? Car l'exercice est tout de même intéressant dans sa démarche.

Merci d'avance!

BsR Tout le MonDe


Voila , je suis un nouveau Membre From Morocco , et J'avoue que j'ai bcp aimé Vot' forum , Bonne continuité alors


Bon pour l'exo , Je vois que l'enonce dans la premiere question est Clairement Fausse .. donc je te propose Nicolas de l'interpreter d'une maniere Tres classique :

: On constate clairement que : Lim (x-->Inf) f(x) = Inf <=> On calcule Donc Lim (x-->inf) f(x)/x , tu trouveras 1 <=> Donc On calcule Lim (x-->inf) (f(x)-x) Tu trouveras 2 ----> D'Ou tu conclus que la droite (D):y=x+2 est une asymptote Oblique

Sans Oublier aussi qu'il y'a un autre Asymptote Horizontale x=1 .

Pour le reste je te laisse Faire , c'est Facile !.. Si tu te Bloques , indique Ou presicemment , pourqu'on puisse t'aider !


A+ MouaD

Bonjour MouaDos et bienvenue parmi nous!

Ta méthode est tout à fait juste et c'est même une méthode général pour trouver n'importe quelle asymptote oblique sans changer la forme de F(x). La difficulté de cette méthode réside dans les calculs de limite successif où il faut bien faire attention de ne pas faire d'erreur au fur et à mesure des calculs.

Cependant, il est rare maintenant d'utiliser cette méthode de façon direct dans un exercice car celui-ci te guide et te fait passer par des questions intermédiaires pour mettre en évidence les asymptotes obliques. Et vu qu'il faut suivre la logique d'un exercice, il est donc rare de voir cette méthode là appliqué de façon brute par un élève de 1ère S (les exercices et même le cours ne lui demandant quasiment plus d'effectuer cette méthode là).

En revanche, la connaître permet d'avoir une approche très intéressante de la théorie. Et les deux méthodes sont en fait équivalente c'est à dire qu'on peut aller de l'une à l'autre et inversement. Il n'est pas rare d'ailleurs qu'au Maroc, il y ait des méthodes qui sont vu en cours alors qu'en France, elles sont mises de côtés pour des raisons que j'ignore totalement.

En tout cas vu que tu as l'air à l'aise avec le procéder que tu proposes, est-ce que tu saurais montrer comment justifier que ta méthode pour trouver l'équation d'une asymptote oblique en +∞ à une fonction F:

"Soit aЄR, bЄR et une fonction F.
Si Lim_x-->+∞[F(x)/x]=a et Lim_x-->+∞[F(x)-ax]=b (bЄR)
Alors la droite d'équation y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe représentative de F"


Nous donne bien la bonne équation d'après la définition d'une asymptote oblique en +∞:

"On appelle asymptote oblique en +∞ à une courbe représentant une fonction F, une droite d'équation y=ax+b telle que Lim_x-->+∞[F(x) - (ax+b)]=0"


Un exercice intéressant après tout même si on a du te le donner en cours pour justifier la méthode j'imagine .

Bon courage si tu entames cette questions et n'hésite pas à poser tes questions surtout, je suis là pour ça. Et sinon @bientôt au sein du forum.

et Juste Pour l'info , pour cette methode , On l'a pas etudier en cours .. c'est juste une technique de Sauvetage Je dirais ...

Car je sais pas si c'est aussi le Cas en France ! Il y'a un genre d'exos au Programme Marocain qui ne t'indique Rieen du tout , On a eu un d'ailleurs en DS . Voici un exemple


Exo : Etudier et Tracer la Fonction f(x) = ......... . point final Il te laisse FAIRE ce que tu veux !! Df , periode , Parite , les tangentes , les asymptote , le DE ( domaine d'etude ) , ....

Donc je pense pas que tu te Casseras la tete pour decomposer ta fonction , ce qui est Difficile dans des cas , donc On s'est Familiarisee Par cette Methode . ,

Bonjour!

La justification n'est pas tout à fait juste par rapport à la définition que j'ai donnée car la question qui pourrait t'être posé est la suivante:

"Comment justifier l'existence de la décomposition de F(x) sous la forme ax+b+h(x)?"


Et c'est presque la seule difficulté car la suite s'en déduit directement. Comme tu l'as sensiblement fait.

En fait, on a par définition lim_x->+∞[F(x)-(ax+b)]=0

Ce qui signifie qu'il existe une fonction h tel que F(x)-(ax+b)=h(x) avec limx-->+∞h(x)=0. Et c'est ici qu'on met en évidence l'existence de la fonction h.
Dans la pratique lorsqu'il y a plusieurs question, on peut justement écrire F(x) comme tu l'as écrit. Cependant, dans la démonstration, il faut montrer qu'une telle écriture existe ce qui revient à montrer l'existence de la fonction h tout simplement.


Sinon, attention à la rigueur lorsque tu utilises des équivalents. En effet, lorsque tu écris:

"F(x)=ax+b+h(x) avec lim_x-->+∞h(x)=0 <=>lim_x-->+∞F(x)/x=lim_x-->∞(a+b/x+h(x)/x)=a"

Il n'y a pas d'équivalence ici car si je suppose la limite vraie, je n'en déduis pas que la fonction est de la forme indiquée pour autant. Et pareil pour les autres équivalents. Le signe "<=>" est à utiliser avec modération et seulement lorsqu'on en a une utilité.
En effet, ici tu as juste besoin de montrer qu'à partir de la définition tu retrouves ta méthode. Par conséquent, il suffit d'avoir des implications de la définition vers la méthode.

Il faut faire un peu attention à ses histoires de rigueurs mais cela vient avec le temps et la pratique.

Enfin, ton interprétation géométrique est quant à elle, très pertinente et tout à fait juste. A partir du moment où la droite (D) est une asymptote, on montre en effet quel es deux points que tu considère se rapproche de plus en plus l'un de l'autre à l'infini.

Sinon, il est vraiment très rare en France d'avoir des questions du type "Étudier la fonction F définie par F(x)= ...." sans questions intermédiaires pour trouver les asymptotes oblique par exemple. Donc pour ce genre de questions, l'étude s'arrête aux variations de la fonction ainsi qu'aux limites aux bornes de son ensemble de définition. Mais comme je le disais le cursus marocain pousse un peu plus certaine technique ou certain point théorique, donc ton exercice ne m'étonne pas du tout et il est d'ailleurs très formateur pour faire des révisions sur tous le programme lié aux fonctions ce qui est un bien ne soi .

Bon courage pour la suite!

Oui vous avez parfaitement raison Mr.Blagu'cuicui dans tout ce que vous dites ! mercii bien pour les conseils