L'exercice est plutôt intéressant en soit (la notion d'équation différentielle du second ordre est sous jasente comme on le constate à la question 2)).
Dans un premier temps, on aurait pu regarder quand la formule avait un sens en quelque sorte. Car en effet, F'(x) est toujours positive ou nulle car une fonction racine carrée est toujours positive ou nulle. Donc F est croissante sur [0:Pi/2[;
Puisque la courbe passe par l'origine du repère, on a: F(0)=0 (car O appartient à C). Ce qui implique donc par croissance que F(x)≥0 sur [0;Pi/2[.
(Il faut mieux le rédiger dans ce sens là en fait car calcul d'abord F(0) n'a pas d'intérêt et calculer F'(0) n'a vraiment aucun intérêt par contre à ce stade)
Mais on a aussi, plus précis en fait si on creuse un peu. Car une fonction qui vérifie l'égalité est forcément tel que 1-[F(x)]²≥0 (sinon la racine carrée n'est pas définie). Donc [1-F(x)]*[1+F(x)]≥0.
On sait déjà que F(x)≥0, donc F(x)+1≥0. Il faut donc que 1-F(x)≥0 pour tout x dans [0;Pi/2[. C'est à dire que F(x)≤1 pour tout x dans [0;Pi/2[. Donc en fait F(x) est dans l'intervalle [0;1] qui est bien positif en effet. Bon cela ne t'était pas demandé mais si on avait chercher à identifier plus précisément la fonction, F il aura fallu le dire par exemple.
Sinon, d'un point de vu logique, il est toujours intéressant de regarder si ce qu'on manipule à un sens et dire dès le départ que l'égalité est bien définie si et seulement si F(x) est dans [-1;1] cela peut être un plus sur une copie et avec la croissance du conclut bien au fait vu que F(0)=0 que F(x) est dans [0;1] tout simplement.
Ensuite attention à l'erreur classique!! En effet, une racine carrée admet une dérivée si la fonciton intérieur ne s'annule pas!! (et oui on divise par la racine carrée de la fonction, donci l faut mieux que ça soit strictement positif). Et c'est là par contre tu as besoin de dire que F est dans [0;1[ car il ne faut pas que F(x) soit égale à 1 sinon,i l y a annulation de la racine carrée qui est au dénominateur. Mais j'avoue que c'est un peu ambigu car en fait F est croissante donc au pire s'il existe un x tel que F(x)=1, il est forcément à la limite de l'intervalle où on considère que notre fonction est bien définie c'està dire en Pi/2 qui est exlus. Donc on peut dériver sur [0;Pi/2[ (pour que F'(x) soit strictement positif).
Et on obtient donc la relation sur ]0;Pi/2[ suivante: F''(x)=-F(x). Maintenant, il suffit de dire que l'égalité reste vraie pour x=0 car F'(0) existe et vaut 1 tout simplement.
Donc dans l'ensemble ta rédaction es t lutôt juste mais à part pour la dérivation où tu n'as pas été attentif au fait qu'il faille tout de même parler de la non annulation de la racine carrée pour qu'on puisse dériver. Mais sinon, c'est nickel pour moi.
Bon courage pour la suite!
Jeu 1 Oct - 19:38
