Demande de vérification d deux exos sur les exp.

Salut!
Malgré des exos de maths spé. (que je ne comprends pas trop) qui me font galérer, je me débrouille avec les exponentielles et aurait besoin d'une petite vérification pour deux exos faits (sauf le second où une question me paraît bizarre : j'expliquerais au moment venu) sur les exponentielles.

Voici l'énoncé de l'exercice qui ne m'a pas posé de problèmes :




On considère le nombre g(x) de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, compté en millions, en fonction de l'année x. On suppose que x = 0 en 2005 (2005 est l'année 0).
On peut montrer que, dans ces conditions, la fonction g est telle que :

g(0) = 1
g' = (1/20)g(10-g)

Je rappelle que g(0) = 1 veut dire que le nombre de foyers ayant un écran plat est 1 million lors de l'année 0, c'est à dire en 2005.

1. On pose g(x) = 10/(9e^(-1/2)x+1). Montrer que cette fonction satisfait aux deux conditions ci-dessus.
2. Etudier les variations de g.
3. Quelle est sa limite en +Infini? Comment interpréter les résultats des questions 2 et 3?
4. Tracer la courbe de g pour 0 <ou= x <ou= 15 avec des unités adaptées.
A l'aide du graphique, donner le nombre d'années pour que x dépasse 5 millions.



Voici mes résultats :

1. g(0) = 1?

g(0) = 10/(9e^(-1/2)*0+1) = 10 /(9e⁰+1) = 10/(9*1 +1) = 10/10 = 1.

DONC : g(0) bel est bien égal à 1.

g'(x) = (1/20)g(x)(10-g(x))?

g(x) = 10/(9e^(-1/2)x+1) = u(x)/v(x)

u(x) = 10 --> u'(x) = 0
v(x) = 9e^(-1/2)x+1 --> v'(x) = 9*(-1/2)e^(-1/2)x
--------------------------> v'(x) = (-9/2)e^(-1/2)x

g'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / (v(x))² = [0*9e^(-1/2)x+1) - 10[(-9/2)e^(-1/2)x ] / (9e^(-1/2)x +1)²
g'(x) = [(90/2)e^(-1/2)x] / [9e^(-1/2)x +1)²]
g'(x) = 45e^(-1/2)x / (9e^(-1/2)x +1)²

Or, on nous donne dans l'énoncé :


g'(x) = (1/20) * [10/(9e^(-1/2)x +1)] * (10 - [10/(9e^(-1/2)x +1)]
g'(x) = [10/(180e^(-1/2)x +20)] * [(10(9e^(-1/2)x + 1) - 10) / (9e^(-1/2)x +1)]
g'(x) = [(90e^(-1/2)x + 10 -10) / (9e^(-1/2)x+1)] * [10/(180e^(-1/2)x +20)]
g'(x) = [90e^(-1/2)x / (9e^(-1/2)x +1)] * [10 / (180e^(-1/2)x + 20)]
g'(x) = [10(90e^(-1/2)x) / [(9e^(-1/2)x + 1)(180e^(-1/2)x + 20)]
g'(x) = 900e^(-1/2)x / (1980e^(-1/2)x + 20)

g'(x) = 900e^(-1/2)x / [20(99e^(-1/2)x +1)]
g'(x) = [20(45e^(-1/2)x)] / [20(99e^(-1/2)x+1)]
g'(x) = (45e^(-1/2)x) / (99e^(-1/2)x + 1)

AVEC :

(9e^(-1/2)x + 1)² = (9e^(-1/2)x + 1)(9e^(-1/2)x + 1) = 81e^(-1/2)x + 18e^(-1/2)x + 1 = 99e^(-1/2)x + 1

DONC :

g'(x) = (45e^(-1/2)x) / (9e^(-1/2)x+1)²

[Désolé, c'est très long donc j'ai sauté quelques étapes mais, sur le brouillon, elles y sont toutes .]

2. g'(x) = (1/20)g(10-g)
g'(x) = (45e^(-1/2)x) / (9e^(-1/2)x+1)² [voir question 1]

On étudie le signe et les variations sur [0 ; +Infini[ car x_min = 0 :



* Fonction exp. toujours positif * nombre positif = +
* Un carré est toujours positif

On en déduit donc le tableau de variations suivant sur [0 ; +Infini[ :



--> g(x) sera croissante sur [0 ; +Infini[

3. g(x) = 10/ (9e^(-1/2)x+1)

* lim (x -> + Inf.) 10 = 10
* lim (x -> + Inf.) 9e^(-1/2)x + 1= 0
CAR :

lim (x -> +Inf.) e^(-1/2)x = 0
donc :
lim (x ->+Inf.) 9e^(-1/2)x = 0
DONC :
lim (x -> +Inf.) (9e^(-1/2)x+1) = 1

DONC :

Comment interpréter les réponses des questions 2 et 3 :

La courbe associée à la fonction sera limitée en +Inf. par 10 mais, sera croissante.

4. Graphique avec 1 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour 1 million en ordonnée

x dépassera 5 millions à partir de 4.4 ans.

Et voilà pour le premier qui normalement est bon et même au niveua des limites!

Bonjour,

J'admire cette exercice, je ne peux faire que ça presque .


Il y a une légère erreur de calcul dans le 2:

Citation :

g'(x) = [10(90e(-1/2)x) / [(9e(-1/2)x + 1)(180e(-1/2)x + 20)]
g'(x) = 900e(-1/2)x / (1980e(-1/2)x + 20)

En effet, n'oublie pas que e^x*e^y=e^(x+y)

Donc on devrait avoir e^-x quelque part. C'est la même erreur pour le développement du carré aussi. Mais vu que tu fait 2 fois la même erreur de développement tu trouve le bon résulat. C'est plutôt logique.

Tu as cas juste refaire le développement de (9e^(-1/2)x +1)² pour voir si tu corrige ton erreur et ensuite tu referas tes calculs dans le grand développement car cette erreur doit être présente à plusieurs endroit je pense.


Il y a tout de même une erreur de recopie aussi:

Citation :

lim (x -> + Inf.) 9e(-1/2)x + 1= 1

Mais la justification de la limite te donnais bien el bon résultat donc c'était qu'une erreur de recopie, je pense.


Sinon, la seul chose qui cloche réellement c'est l'interprétation à la fin de la question 3. En effet, tu as vérifié que la fonction g vérifiait les conditions initiales et l'équation (qu'on appelle équation différentielle, je te file le nom en passant car tu en étudieras cette année). ET on a trouver que la limite en plus l'infini de cette fonction était 10.

Que signifie concrètement que G(x) tende vers 10 lorsque x tend vers l'infinie?

On te demandait ici une interprétation concrète des choses vu qu'à la base, il s'agit d'une situation concrète que nous avons modélisé mathématiquement.

En totu cas mis à part les quelques erreurs de calculs l'interprétation où tu as toujours du mal à savoir ce qu'on te demande, c'est du très bon travail!

Bon courage pour corriger les erreurs et pour l'interprétation!

Merci pour ta réponse si rapide : ça, doit pas être facile de lire autant de texte comme ça

En tout cas, j'ai corrigé pour la question 1.

Je trouve que :

(9e^(-1/2)x + 1)² = 81e^-x + 18e^(-1/2)x + 1
et après, je continue comme je l'avais fait et, cela fonctionne.

[Marrant quand même de trouver un résultat cohérent malgré des erreurs ]

Pour l'interprétation là, je ne savais pas quoi mettre (comme d'habitude quand je suis confronté à ce genre de questions)...

Citation :

Que signifie concrètement que G(x) tende vers 10 lorsque x tend vers l'infinie?

Cela signifie que le nombre d'écran plats maximum sera limité à 10 millions?

Il n'y a plus de problème maintenant !

Tu peux même dire dans ton interprétation que le nombre d'habitant ayant un écran plat va croître jusqu'à 10 millions au maximum sans jamais l'atteindre (vu qu'il s'agit d'un limite d'une fonction croissante c'est donc une borne supérieur de ta fonction).

Sinon, faire deux fois la même erreur dans deux calculs-différent amène en effet à un bon résultat vu qu'on cherche à montrer l'égalité. C'est assez fréquent en fait mais il faut mieux les éviter car on peut le point de rigueur du coup .

En tout cas, je n'ai vraiment pas grand chose à dire sur cette exercice, c'est du bon travail de ta part et on voit l'évolution par rapport au premier exercice sur les exponentielles.

Bon courage pour la suite!

ps: pourrais-tu mettrel e second énoncé dans un autre sujet car sinon on va rien comprendre. Surtout que j'avais pas vu qu'il y avait un second énoncer .

En tout cas j'ai plus de facilité avec ça qu'avec les nombres premiers si j'ai bien compris .
J'ai crée le second post sinon.
Merci d'avoir répondu aussi vite surtout qu'on nous a refilé ça avec un délai de temps très court donc j'avais peur de galérer dessus...