2 petits exos sur les suites

Salut, je poste aujourd'hui 2 petits exos sur les suites dont un fait entièrement (malgré un léger doute sur l'expression de U_n et V_n en fonction de n) et un ou, une conjecture m'empêche de faire mon raisonnement par récurrence qui normalement devrait aller...

Voici les énoncés :

Exercice 1 :

On donne 2 suites (U_n) et (V_n) vérifiant les conditions ci-dessous pour tout n :

U_n+1 = 3U_n + 2V_n
V_n+1 = 2U_n + 3V_n

Et : U₀ = 1 ainsi que : V₀ = 2

On pose ensuite x_n = U_n + V_n
et : y_n = U_n - V_n

1. Calculer les valeurs exactes des 5 premiers termes de la suite (U_n) et (V_n).
2. Prouver que (x_n) est une suite géométrique et que (y_n) est une suite constante.
3. En déduire U_n et V_n en fonction de n. Quelle vérification peut-on faire?



Exercice 2 :

La suite (U_n) est définie par :

U₁ = 0
U_n+1 = U_n + 2n + 1

1. Calculer les 6 premiers termes de cette suite et conjecturer l'expression de U_n en fonction de n.
2. Démontrer ce résultat par récurrence et en déduire la valeur exacte de U₂₀₀₅.





Voici donc mes résultats pour l'exercice 1 :

1.

(Faut-il que je compte U₀ et V₀ dans les 5 premiers termes?)

2.

x_n = U_n + V_n
donc : x_n+1 = U_n+1 + V_n+1

Si x_n+1 / x_n est une constante alors, (x_n) sera une suite géométrique.

(U_n+1 + V_n+1) / (U_n + V_n)
avec : U_n+1 = 3U_n + 2V_n
et : V_b+1 = 2U_n + 3V_n

(U_n+1 + V_n+1) / (U_n + V_n)
= [3U_n + 2V_n + 2U_n + 3V_n
= (5U_n + 5V_n) / U_n + V_n
= 5(U_n + V_n) / U_n + V_n = 5

5 est bel et bien une constante donc, (x_n) est bien une suite géométrique.


y_n = U_n - V_n
donc : y_n+1 = U_n+1 - V_n+1

--> Y_n est constante signifie que quelque soit le n, on obtiendra toujours le même résultat : je peux le prouver en démontrant que : U_n - V_n = U_n+1 - V_n+1

* U_n+1 - V_n+1 = (3U_n + 2V_n) + (2U_n + 3V_n) = 3U_n + 2V_n - 2U_n - 3V_n
U_n+1 - V_n+1 = U_n - V_n

DONC : U_n+1 - V_n+1 = U_n - V_n
donc : (y_n) est bel est bien une suite constante!

3. Exprimer U_n et V_n en fonction de n :

V_n = U_n +1
U_n = V_n -1

Ici, j'ai un gros doute et, je ne vois pas quelles vérifications appliquer...



Exercice 2 :

1. Les 6 premiers termes : (Là aussi, je ne sais pas si je dois compter u₁ qui est donné...)



+ Conjecturer l'expression de U_n en fonction de n : Là, gros gros doute, je trouve ceci qui est correct je pense mais, qui ne répond pas à la question :


Comme : U_n+1 = U_n + 2n + 1
alors, U_n = U_n-1 + 2(n-1) +1

Ca me paraît plus que bancal...

Voilà, déjà, je pense m'être amélioré et certaines questions passent plus facilement désormais mais, il reste toujours des "récalcitrantes" que j'aimerais corriger .
Merci d'avance.

Bonsoir !

Je commence à lire tout va bien, tout commence bien et est très bien rédigé et paf j'arrive au drame !

Citation :

3. Exprimer Un et Vn en fonction de n :

Vn = Un +1
Un = Vn -1

Ici, j'ai un gros doute et, je ne vois pas quelles vérifications appliquer...

Tes soupçon était bel et bien fondé , c'est pas ce qu'on te demande ici. bon alors tout d'abord, tu doutes que c'est faux mais pas moyen de vérification à tes yeux, donc je vais t'en donner un radical.

En effet, exprimer une suite en fonction de n celà signifie qu'à droite le signe "=" il y a une expression seulement avec des n (c'est à dire n, n², ..., 1/n, ....) et des constantes. Donc là vu qu'il y a encore des Un et des Vn à droite du signe "=" c'est forcément faux tout simplement.

Une autre façon de voir qu'il y a un problème c'est que nous sommes à la dernière question de ton exercice et qu'on tu ne te sers pas des Xn et Yn qu'on a posé . Donc en effet, il y a un gros doute que ta réponse soit fausse.

(Xn) est géométrique, tu connais donc sa raison, son premier terme et donc son expression en fonction de n. De même pour (Yn) qui est constante. Mais ces deux suite s'exprime en fonction de Vn et Un, conclusion immédiate on peut déduire l'une et l'autre ne fonction de n car un système de deux équation à 2 inconnue a toujours une solution et ici la solution est unique de surcroît.

Je te laisse reprendre donc cette dernière question. J'étudie l'autre exercice et je reposte après.

Tout compte fait au vu de mes dire je te laisse reprendre l'exercice 2 vu que l'expression en fonction de n n'estp as en fonctino de n mais ne fonctino de U_n+1 .

Sinon lorsqu'on te demande de calcluler les 5 premiers termes, y'a deux possibilité ne effet. Le plus souvent on considère que celui qu'on te donne n'est pas à calculer vu qu'il t'es donné mais bon autant mettre les 6 premiers termes comme ça tu es sur que cela soit bon et on te pénalisera ps pour ça en tout cas.

Bon courage !

D'accord pour les 5 premiers termes (au pire, je demanderais à mon prof pour être sûr).

Pour l'exercice 1, j'ai refais selon tes conseils et, je trouve un résultat semblant marcher plutôt bien :


(x_n) est une suite géométrique donc, elle s'exprimera sous la forme :

avec x₀ = U₀ + V₀ = 1 + 2 = 3
--> x_n = 3*5ⁿ

(y_n) est une suite constante donc :
y_n = -1 (comme vu précédemment dans l'exercice)

On se retrouve donc avec un système de 2 équations :

U_n + V_n = 3*5ⁿ [= x_n]
U_n - V_n = -1 [ = y_n]


U_n + V_n = 3*5ⁿ
U_n - V_n = -1
----------------------------------------------------------
V_n - (-V_n) = (3*5ⁿ) - (-1)
2V_n = (3*5ⁿ) + 1
V_n = [(3*5ⁿ +1) / 2


U_n + V_n = 3*5ⁿ
(U_n - V_n = -1 ) * (-1)


--> U_n + V_n = 3*5ⁿ
-U_n + V_n = 1
-----------------------------------------------------------------
U_n - (-U_n) = (3*5ⁿ) -1
2U_n = 3*5ⁿ -1
U_n = (3*5ⁿ -1) / 2

Reste à déterminer un moyen de vérification. On pourrait vérifier en remplaçant n par exemple...


Exercice 4 :

Là, j'avais pensé à faire selon cette méthode mais, ici, il n'y a pas affaire à une suite géométrique... Peut-être une arithmétique mais, sans u₀ je suis perplexe...
Une suite arithmétique s'écrit bien sous la forme :

U_n = u₀ + nr avec r la raison de la suite
donc, j'ai établit la liste des 4 premiers termes histoire de chercher la raison :

U₁ = 0
U₂ = 3
U₃ = 8
U₄ = 15

Et, aucun diviseur comment entre ces nombres ni aucun "+ nr" donc, je pense que c'est une suite "générale". Je ne sais pas si ça se dit mais, je parle d'une suite qui n'est ni arithmétique, ni géométrique. Enfin, si ça existe...

Le premier exercice et bon et le moyen de vérification est en effet de vérifier si les 5 premiers termes avec la nouvelle formules sont bien égaux à ceux calculé à la question 1).


Alors pour l'exercice 2), il s'agit encore d'une conjecture et c'est loin d'être simple là car je t'avait donné l'astuce de regarder els question d'après pour savoir là où on allait mais ici, rien ne nous aide dans les question suivante. Il va donc falloir se débrouiller et faire preuve d'un peu d'intuition mais bon tu en a déjà fait preuve en maths spé alors pourquoi pas avoir un bon feeling ici aussi .

On nous fait calculer les six premiers termes qui sont donc:

Citation :

U1 = 0
U2 = 3
U3 = 8
U4 = 15
U5 = 24
U6 = 35

Et maintenant, il faudrait faire une conjecture de la forme de l'expression de Un en fonction de n. Pour celà, on va déjà faire un brouillon comme ceci:

Citation :

lorsque n=1, on trouve 0
lorsque n=2, on trouve 3
lorsque n=3, on trouve 8
lorsque n=4, on trouve 15
lorsque n=5, on trouve 24
lorsque n=6, on trouve 35

A partir de là, est-ce que tu vois pas une expression de Un se dessiner. Il faut faire des testes au brouillon dans un premier temps. Comme tu l'a dis elle n'est pas géométrique ni arithmétique mais bon est-ce qu'on peut pas trouver l'expression de Un en fonction de n. Par exemple, est-ce que tu pourrait donner la valeur pour n=100 sans avoir calculer les 99 termes précédents? C'est ça le but d'avoir une expression en fonctino de n et non une expresion définie par récurrence (c'est à dire en fonction des terme précédent).

Fais quelque proposition, on est en mode brouillon là pour l'expression de n en essayant de les justifier et de voir si elles marchent poru 1 termes déjà puis pour deux termes puis pour trois voir pour les 6 termes et si c'est le cas tu pourras conjecture la forme que tu as trouver et que tu démontrera pas récurrence à la question suivante.

Je te laisse chercher volontairement dans un premier temps car c'estp as un exercice simple que celui de la conjectureet il ne faut pas se laisser destabiliser par ce genre de questions dans un problème. Tente toutes les expression de Un qui te passent pas la tête et tu va finir par trouver la bonne au fur et à mesure des tests.

En tout cas n'hésite pas à poser des question, je t'aiguillerai si je vois que tu es complétement bloqué mais ça seraitvraiment intéressant pour toi que tu tente déjà quelques expressions simples et voir pourquoi ça marche pas ou pourquoi ça marche. C'est de très bonne mathématique là car tu es dans la peau d'un chercheur fasse à son problème. Il a des valeurs et voudrait nue fonction ou une expression de suite qui modélise le problème en question, qu'est-ce qu'il va pouvoir prendre ???

J'ai trouvé une expression pas mal et qui fonctionne déjà pour les 3 termes : U2, U3 et U4 :

U_n = U_n-1 + n + n - 1 = U_n-1 + 2n - 1

Je vais vérifier les autres.

EDIT : Les autres marchent donc je pense avoir eu un coup de bol monumental

Hum, je pense que t'as de la chance de ne pas être à côté de moi à ce moment précis .

Citation :

Qu'est-ce que j'ai dit il y a 2 posts en ce qui concerne les expressions en fonction de n ?????

J'viens d'y penser en plus... Désolé... Mais bon, déjà avec des U_n c'est un bon début non? J'étais tellement content d'avoir trouvé quelque chose qui collait .

EDIT : U_n = n² - 1

En fait, je te conseilles fortement de ne plus regarder l\'expression récurrence qu\'on te donne car elle va t\'influencer totalement dans ta recherche.

En effet, la conjecture peut se faire ici indépendemment de l\'exercice ne lui-même, juste ne considérant les 6 premier termes et la valeurs de n correspondante. C\'est ça qui doit t\'aider dans ta conjecture.

Citation :

lorsque n=1, on trouve 0
lorsque n=2, on trouve 3
lorsque n=3, on trouve 8
lorsque n=4, on trouve 15
lorsque n=5, on trouve 24
lorsque n=6, on trouve 35

Il faut juste utiliser ça pour t\'aider à faire une conjecture surl a forme de l\'expression de Un. Pense à des expressino simple dans un premier temps, tu vas finir par trouver j\'en suis certain mais prend du recule face à l\'énoncer de l\'exo voire même cache-le pour le coup ça sera pas plus mal et considère juste la citation que je fais là.

Edit: Bien joué !!!

Il s\'agit bien de Un= n²-1 .

Il ne reste plus qu\'à faire la question 2 maintenant .

Citation :

EDIT : Un = n² - 1

Ca ne marche pas?

PS : En trouvant mon premier truc avec des U_n, j'avais même pas fait gaffe à l'énoncé...

Citation :

Edit: Bien joué !!!

Il s\'agit bien de Un= n²-1 .

Il ne reste plus qu\'à faire la question 2 maintenant .

J'ai répondu avant que tu édit ton message c'est pour ça .

Ca te dérange pas si je reprends ça à tête reposée demain?

Pas de soucis pour moi en totu cas, tu travailles à ton rythme de toute façon .

Mais le plus dire est fait car bon la récurrence normalement ça devrait passer tout seul, je penses pas qu'elle te posera de soucis ou sinon sur une erreur bête à ce moment là .

Bon boulot en tout cas, je vais finir par dire comme d'hab .

Si seulement ça pouvait être comme d'hab. tous les jours... Ca serait merveilleux . Merci encore pour ton aide et pour le temps que tu m'accordes. Je ferais ça demain et ça sera posté vers le milieu ou la fin d'après-midi au pire.
Bonne soirée et donc à demain .

Me revoici pour le raisonnement par récurrence!

Soit P_n la propriété "U_n = n²-1"

I) Initialisation :

P₁ vraie? avec u₁ = 0
U₁ = 1²-1 = 0
--> P₁ est vraie!

II) Hérédité :


Soit P_n vraie, je dois prouver que :

P_n+1 = U_n+1 = (n+1)² - 1

U_n+1 = U_n + 2n + 1
U_n+1 = n² -1 +2n +1 = n² + 2n

Là, je bloque un peu...

Lorsqu'on bloque pour factoriser, quel est le moyen de s'en sortir ?

Et bien de développer ce qu'on cherche . A quoi est égale (n+1)² -1 ?

(n+1)² - 1 = (n+1)(n+1) - 1 = n² + 2n +1 - 1= n² + 2n


soit :

U_n+1 = U_n + 2n + 1
U_n+1 = n² -1 +2n +1 = n² + 2n

Donc tu peux conclure maintenant car qu'est-ce qu'on cherche à montrer en fait ?

On cherchais à démonter la conjecture de n que l'on avait établie.

Je vais renoter tout le raisonnement :

Soit P_n la propriété "U_n = n²-1"

I) Initialisation :

P₁ vraie? avec u₁ = 0
U₁ = 1²-1 = 0
--> P₁ est vraie!

II) Hérédité :


Soit P_n vraie, je dois prouver que :

P_n+1 = U_n+1 = (n+1)² - 1

U_n+1 = U_n + 2n + 1
U_n+1 = n² -1 +2n +1 = n² + 2n

ET : U_n+1 = (n+1)² - 1 = (n+1)² - 1 = (n+1)(n+1) - 1 = n² + 2n +1 - 1= n² + 2n

donc, U_n+1 est vérifiée donc P_n+1 est vérifiée de même que P_n soit : la conjecture que l'on avait établie.

Reste à calcul U₂₀₀₅ :

U₂₀₀₅ = n² -1 = 4020025 - 1= 4020024

Et voilà!

Quoi de plus beau qu'un bel exercice bouclé .

Rien à redire pour ma part. Oh aller si je vais peut-être dire que tu pourrais marqué directement le développement de la forme que ut cherche à montrer et dire à la ligne où tu calculs Un+1 par récurrence que ut utilises l'hypothèse de récurrence pour Un si tu veux vraiment nue rédaction parfaite mais comme cela, je pense qu'il n'y a déjà plus grand chose à dire la preuve .

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Soit P_n la propriété "U_n = n²-1"

I) Initialisation :

P₁ vraie? avec u₁ = 0
U₁ = 1²-1 = 0
--> P₁ est vraie!

II) Hérédité :


Soit P_n vraie, je dois prouver que :

P_n+1 = U_n+1 = (n+1)² - 1

U_n+1 = (n+1)² - 1 = (n+1)² - 1 = (n+1)(n+1) - 1 = n² + 2n +1 - 1= n² + 2n

U_n+1 = U_n + 2n + 1 --> J'emploie ici l'HDR
U_n+1 = n² -1 +2n +1 = n² + 2n

donc, U_n+1 est vérifiée donc P_n+1 est vérifiée de même que P_n soit : la conjecture que l'on avait établie.

Reste à calcul U₂₀₀₅ :

U₂₀₀₅ = n² -1 = 4020025 - 1= 4020024


Là, si j'ai bien compris, c'est vraiment nickel.
En tout cas, comme d'habitude, merci pour ton aide et tes conseils qui ont le don de mettre sur la bonne voix (un peu le but du conseil ) Je vais bosser encore les suites (le devoir approche...) et probablement demander une vérification d'un exercice du même genre que ceux postés il y a quelques jours afin d'être vraiment confiant avec les suites.

[+ il faudra que je demande si il faut compter u₀ dans les termes à calculer aussi]

En résumé, encore merci pour tout et à la prochaine!