2 petits exos sur les multiples et autres diviseurs...

Salut!
Je poste aujourd'hui pour demander une vérification d'un exercice de maths spé. sur les multiples et diviseurs que j'ai quasiment bouclé (à ma grande surprise ) et pour demander une explication sur un raisonnement par récurrence d'un "nouveau genre"...

Voici l'énoncé :


Exercice 1 :
On considère deux nombres entiers a et b
On pose n = 10a + b et m = a+ 4b

1. On considère deux nombres entiers relatifs u et v tels que : un +vm = 39a.
En déduire que si 13 divise n, alors il divise aussi m.

2. Trouver deux nombres entiers relatifs u et v tels que : un + vm = -39b.
En déduire que si 13 divise m, alors il divise aussi n.

3. Il résulte des questions précédentes que l'on a l'équivalence suivante :
(13 divise n) <--> (13 divise m)
En utilisant cette équivalence, comment peut-on affirmer, sans calculatrice et avec un minimum de calculs manuels que 569556 est un multiple de 13?


Exercice 2 :

En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout nombre entier entier n, le nombre A_n = 8ⁿ -1 est divisible par 7.




Voici donc mes résultats :

n = 10a + b et m = a+ 4b

1.
--> un + vm = 39a
u(10a+b) + v(a+4b) = 39a
10au + bu + va + v4b = 39a
10au + bu + va + v4b - 39a = 0
a(10u + v -39) + b(4v + u) =0

10u + v -39 = 0
u + 4v = 0

10u + v -39 = 0
10u + 40v = 0
----------------------
v - 40v -39 = 0
-39v = 39
v = -1


10u + v -39 = 0
u + 4v = 0

40u + 4v - 156 = 0
u + 4v = 0
----------------------
39u - 156 = 0
39u = 156
u = 156/39 = 4

--> On aura donc u = 4 et v = -1


VERIFICATION :

4(10a + b) -1(a + 4b) = ?
40a + 4b - a - 4b = 39a

Donc u et v bel et bien égaux à 4 et -1.



Si 13 divise n alors, il divise aussi m :

un + vm = 39a
un + vm = 3 * 13 * a
4(10a+b) -1(a+4b) = 39a

Sachant que 39 est divisible par 13 (13*3), on a donc : 40a + 4b -a -4b = (3*13)a = 39a

n et m sont donc divisibles par 13

[--> Enorme doute]


2.
un + vm = -39b
u(10a+b) + v(a+4b) = -39b
10au + bu + av + 4bv = -39b
a(10u + v) + b(u + 4v + 39) = 0

10u + v = 0
u + 4v + 39 = 0

10u + v = 0
10u + 40v + 390 = 0
--------------------------
-39v = -390
v = -390/-39 = 10



10u + v = 0
u + 4v + 39 = 0

40u + 4v = 0
u + 4v + 39 = 0
------------------------
39u + 39 = 0
u = -39/39 = -1


VERIFICATION :

un + vm = -39b
-1(10a + b) + 10(a + 4b) = ?
-10a -b + 10a + 40b = -b + 40b = -39b

u et v bel et bien égaux égaux à -1 et 10.


-------------------------------------
En déduire que si 13 divise m alors, il divise aussi n :

u(10a+b) + v(a+4b) = -3 * 13*b

--> n et m sont donc divibles par 13 car -39b = -3 * 13 * b


3. (13 divise n) <--> (13 divise m)
--> 569556 = 13 ??

* 569556 / n = 569556 / (10a+b) = k13
* 569556 / m = 569556 / (a + 4b) = k13

Et.... Un petit blanc en gros... Un petit coup de pouce là dessus me ferait le plus grand bien si je ne m'abuse.






Exercice 2 :

A_n = 8ⁿ -1
Soit P_n la propriété : "A_n = 8ⁿ -1 = 7k"

I) INITIALISATION :

P₀ vraie?
A₀ = 8⁰ - 1 = 0 = 7*0
--> P₀ est vérifiée!!

II) HEREDITE :

On suppose P_n vraie ; je dois prouver que :
P_n+1 = A<sub>n+1[sub] = 8ⁿ⁺¹ - 1 = 7k

--> A[sub]n = 8ⁿ -1 = 7k

Problème : Je pourrais faire "+1" mais, je n'ai pas d'expression de P[sub]n+1</sub> de donnée dans l'énoncé...

Voilà, voici pour ce sujet.
Je pense que la majeure partie de ce qui est fait est correct mais, il y a encore quelques vides méthodologiques à combler .
Merci d'avance!

Cette exercice est très intéressant .

Alors première question, comment tu as: n = 10a + b et m = a+ 4b, est-ce donné par l'énoncer ?

Et j'ai l'impression que la première question n'est pas correcte dans l'énoncer d'après ce que tu fais pour résoudre la 1).

Dès que j'ai c'est deux précisions, je démarrerai la recherche du sujet car il y a quelque erreur mais surtout dû à un problème de méthode de résolution car tu n'es pas habitué à ce genre d'exercice tout simplement, donc les réflexes de résolutions ne sont pas forcément là.

En tout cas, ton travail est conséquent et très intéressant, on va je pense pouvoir aller vite sur la correction de cet exercice.

Exactement, n = 10a + b et m = a+ 4b est bel et bien donné par l'énoncé.
Désolé j'ai oublié de le noter... Enfin maintenant c'est résolu.

Ok alors essayons de voir comme cela marche.

Citation :

Exercice 1 :
On considère deux nombres entiers a et b
On pose n = 10a + b et m = a+ 4b

1. On considère deux nombres entiers relatifs u et v tels que : un +vm = 39a.
En déduire que si 13 divise n, alors il divise aussi m.

Donc tu commences par trouver u et v tels que un + vm = 39a ce qui t'amène à Donc u et v bel et bien égaux à 4 et -1. (erreur de recopie je suppose).

Et on a donc: 4n - m = 39a

Citation :

Si 13 divise n alors, il divise aussi m :

un + vm = 39a
un + vm = 3 * 13 * a
4(10a+b) -1(a+4b) = 39a

Sachant que 39 est divisible par 13 (13*3), on a donc : 40a + 4b -a -4b = (3*13)a = 39a

n et m sont donc divisibles par 13

[--> Enorme doute]

Ici quelque chose devrait te sauter au yeux. En effet, tu n'utilises pas l'hypothèse "n divisible par 13" dans ta résolution ce qi implique qu'il y a donc une erreur dans la résolution. De plus, tu remplaces n et m par leur expression ce qui a pour effet de perdre l'accès a des propriétés sur m vu que tu l'a remplacé par une autre expression.

Alors comment s'en sortir?

On a montrer que 4n - m = 39a et on veut des information sur m.

Donc première étape on isole m ce qui donne m= 4n - 39a

Le moyen de conclure que m est divisible par 13 est de pouvoir écrire m=13*K avec K un entier relatif. Sachant qu'il te reste l'hypothèse "n divisible par 13" a utiliser, je te laisse conclure cette question.

La question suivante utilise le même raisonnement.

Je te laisse reprendre les deux questions théorique et on fera l'application avec l'énorme chiffre après.

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions sur la méthode que je te propose et sur les erreurs que tu as faites.

n = 10a + b et m = a+ 4b

1.
--> un + vm = 39a
u(10a+b) + v(a+4b) = 39a
10au + bu + va + v4b = 39a
10au + bu + va + v4b - 39a = 0
a(10u + v -39) + b(4v + u) =0

10u + v -39 = 0
u + 4v = 0

10u + v -39 = 0
10u + 40v = 0
----------------------
v - 40v -39 = 0
-39v = 39
v = -1


10u + v -39 = 0
u + 4v = 0

40u + 4v - 156 = 0
u + 4v = 0
----------------------
39u - 156 = 0
39u = 156
u = 156/39 = 4

--> On aura donc u = 4 et v = -1


VERIFICATION :

4(10a + b) -1(a + 4b) = ?
40a + 4b - a - 4b = 39a

Donc u et v bel et bien égaux à 4 et -1. --> 4n - m = 39a



Si 13 divise n alors, il divise aussi m :

un + vm = 39a
4n - m = 39a
m = 4n - 39a

Je dois écrire ceci sous la forme :

m = 13 k avec n divisible par 13 donc :
m = 13(-3a + (4n/13))


2.
un + vm = -39b
u(10a+b) + v(a+4b) = -39b
10au + bu + av + 4bv = -39b
a(10u + v) + b(u + 4v + 39) = 0

10u + v = 0
u + 4v + 39 = 0

10u + v = 0
10u + 40v + 390 = 0
--------------------------
-39v = -390
v = -390/-39 = 10



10u + v = 0
u + 4v + 39 = 0

40u + 4v = 0
u + 4v + 39 = 0
------------------------
39u + 39 = 0
u = -39/39 = -1


VERIFICATION :

un + vm = -39b
-1(10a + b) + 10(a + 4b) = ?
-10a -b + 10a + 40b = -b + 40b = -39b

u et v bel et bien égaux égaux à -1 et 10.


-------------------------------------
En déduire que si 13 divise m alors, il divise aussi n :

un + vm = -39a
-n + 10m = -39a
n = 39a + 10 avec m divisible par 13 donc :
n = 13K
n = 13 (3a + 10/13)


Ca paraît cohérent

Citation :

Si 13 divise n alors, il divise aussi m :

un + vm = 39a
4n - m = 39a
m = 4n - 39a

Je dois écrire ceci sous la forme :

m = 13 k avec n divisible par 13 donc :
m = 13(-3a + (4n/13))

C'est presque celà mais on peut encore mieux faire car "4n/13" ne montre pas que c'est bien un entier et c'est là qu'on voit que tu n'a pas utiliser le fait que n est divisible par 13 .

En fait si m est divisible par 13, alors il existe k tel que m=13*k ça c'est ce qu'on veut trouver.

Maintenant, on a m= 13*(-3a) + 4n

Or n est divisible par 13, donc il existe un entier p tel que n=13p

Donc m=13*(-3a + 4p)
Et là, tu conclus que m est bien divisible par 13.

Le problème étai toujours le fait que tu n'utilisais pas l'hypothèse. Lorsqu'on demande de montrer une implication, il est très probable qu'on doit utiliser l'hypothèse sinon on ne démontrerait pas une implication mais un résultat général.

Je te laisse reprendre la question 2).

Bon courage!

n = 10a + b et m = a+ 4b

1.
--> un + vm = 39a
u(10a+b) + v(a+4b) = 39a
10au + bu + va + v4b = 39a
10au + bu + va + v4b - 39a = 0
a(10u + v -39) + b(4v + u) =0

10u + v -39 = 0
u + 4v = 0

10u + v -39 = 0
10u + 40v = 0
----------------------
v - 40v -39 = 0
-39v = 39
v = -1


10u + v -39 = 0
u + 4v = 0

40u + 4v - 156 = 0
u + 4v = 0
----------------------
39u - 156 = 0
39u = 156
u = 156/39 = 4

--> On aura donc u = 4 et v = -1


VERIFICATION :

4(10a + b) -1(a + 4b) = ?
40a + 4b - a - 4b = 39a

Donc u et v bel et bien égaux à 4 et -1. --> 4n - m = 39a



Si 13 divise n alors, il divise aussi m :

un + vm = 39a
4n - m = 39a
m = 4n - 39a

Je dois écrire ceci sous la forme :

m = 13 k avec n divisible par 13 donc il existe un entier p tel que n=13p
m=13*(-3a + 4p)

m est bien divisible par 13.

[En fait, au début, je croyais qu'il fallait démontrer le fait que n soit divisible par 13]


2.
un + vm = -39b
u(10a+b) + v(a+4b) = -39b
10au + bu + av + 4bv = -39b
a(10u + v) + b(u + 4v + 39) = 0

10u + v = 0
u + 4v + 39 = 0

10u + v = 0
10u + 40v + 390 = 0
--------------------------
-39v = -390
v = -390/-39 = 10



10u + v = 0
u + 4v + 39 = 0

40u + 4v = 0
u + 4v + 39 = 0
------------------------
39u + 39 = 0
u = -39/39 = -1


VERIFICATION :

un + vm = -39b
-1(10a + b) + 10(a + 4b) = ?
-10a -b + 10a + 40b = -b + 40b = -39b

u et v bel et bien égaux égaux à -1 et 10.


-------------------------------------
En déduire que si 13 divise m alors, il divise aussi n :

un + vm = -39a
-n + 10m = -39a
n = 39a + 10m avec m divisible par 13
n = 13K
Or, il existe un entier q tel que m = 13q
n = 13 (3a + 10q)


n est donc divisible par 13.

En gros, si j'ai bien compris, pour prouver qu'un nombre z est divisible par un nombre a on fait :
z = az (rien de nouveau jusque là)
et si dans a, il y a un autre nombre que l'on sait divisible par z, on introduit une autre variable. C'est peut-être mal dit mais tu devrais comprendre je pense . C'est bien cela?

Pour la première question c'est bien:

Citation :

En déduire que si 13 divise n, alors il divise aussi m

Il s'agit d'une implication: "13|n => 13|m" et pour montrer une implication "P => Q" on suppose P et on montreQ c'est à dire qu'ici on suppose bien que "13 divie n" et on doit montrer que "13 divise m"

Pour la rédaction si tu veux vraiment être précis c'est ainsi qu'il faut le rédiger:

On suppose que 13 divise n c'est à dire qu'il existe un entier p tel que n=13p.

Citation :

Or on a 4n -m = 39a
Donc 4*13p -m= 39a

D'où m= 13*(-3a+4p)

Conclusion: on a trouver un entier q=4p-3a tel que m=13q, donc 13 divise m

En fait, lorsqu'on manipule les critère de divisibilité, il faut les écrire ne serait-ce qu'au brouillon. Exemple, ici on te dit qu'on suppose 13 divise n, donc au brouillon le réflexe c'est: "il existe un entier k tel que n=13k". Après l'autre réflexe c'est de savoir explicité mathématiquement ce que tu cherche à montrer.

Ici on cherchait à montrer que 13 divise m, au brouillon le réflexe c'est: "je cehrche à montrer qu'il existe un entier p tel que m=13p".

Pour la question 2) c'est exactement la même méthode.

Le but de cette question comme te le dit la question 3) est de montrer l'équivalence "13|n <=> 13|m"

Donc tes deux questions sont sont justes maintenant pour la question 3) qu'allons-nous utiliser concrètement?

n = 10a + b et m = a+ 4b

1.
--> un + vm = 39a
u(10a+b) + v(a+4b) = 39a
10au + bu + va + v4b = 39a
10au + bu + va + v4b - 39a = 0
a(10u + v -39) + b(4v + u) =0

10u + v -39 = 0
u + 4v = 0

10u + v -39 = 0
10u + 40v = 0
----------------------
v - 40v -39 = 0
-39v = 39
v = -1


10u + v -39 = 0
u + 4v = 0

40u + 4v - 156 = 0
u + 4v = 0
----------------------
39u - 156 = 0
39u = 156
u = 156/39 = 4

--> On aura donc u = 4 et v = -1


VERIFICATION :

4(10a + b) -1(a + 4b) = ?
40a + 4b - a - 4b = 39a

Donc u et v bel et bien égaux à 4 et -1. --> 4n - m = 39a



Si 13 divise n alors, il divise aussi m :

un + vm = 39a
4n - m = 39a
m = 4n - 39a

On suppose que 13 divise n c'est à dire qu'il existe un entier p tel que n=13p.

Or on a 4n -m = 39a
Donc 4*13p -m= 39a

D'où m= 13*(-3a+4p)

Conclusion: on a trouver un entier q=4p-3a tel que m=13q, donc 13 divise m


2.
un + vm = -39b
u(10a+b) + v(a+4b) = -39b
10au + bu + av + 4bv = -39b
a(10u + v) + b(u + 4v + 39) = 0

10u + v = 0
u + 4v + 39 = 0

10u + v = 0
10u + 40v + 390 = 0
--------------------------
-39v = -390
v = -390/-39 = 10



10u + v = 0
u + 4v + 39 = 0

40u + 4v = 0
u + 4v + 39 = 0
------------------------
39u + 39 = 0
u = -39/39 = -1


VERIFICATION :

un + vm = -39b
-1(10a + b) + 10(a + 4b) = ?
-10a -b + 10a + 40b = -b + 40b = -39b

u et v bel et bien égaux égaux à -1 et 10.


-------------------------------------
En déduire que si 13 divise m alors, il divise aussi n :

un + vm = -39a
-n + 10m = -39a

On suppose que 13 divise m c'est à dire qu'il existe un entier r tel que m=13r.

Or on a :
n = 39a + 10m
Donc n = 13(3a + rm)

On a trouver un entier s= 3a + rm tel que m=13r, donc 13 divise m

J'espère ne pas m'être embrouillé dans ma rédaction.




2. On va utiliser le fait que n = 13p et que m= 13r.

Attetnion de ne pas s'embrouiller dans les lettres qu'on pose:

Citation :

n = 39a + 10m
Donc n = 13(3a + 10r) (on utilise le fait que m=13r)

On a trouver un entier s= 3a + 10r tel que m=13s, donc 13 divise m

J'espère ne pas m'être embrouillé dans ma rédaction.

Donc voilà les deux premières questions sont bouclée.

Maintenant, on va pas utiliser le fait que m=13r ou que n=13p dans la dernière question, on va surtout chercher à utiliser l'équivalence qu'on a montrée.

En effet, on sait que " 13|n <=> 13|m" sachant que n = 10a + b et m = a+ 4b

Donc si je pose n égale notre nombre avec la même définission celà revient à montrer que m est divisible par 13.

Je te laisse cherhcer pour le moment car le but est de voir comment utiliser les questions qu'on vient de fiare et l'équivalence qu'on vient de metre ne évidence pour résoudre notre problème.

n = 10a + b et m = a+ 4b

1.
--> un + vm = 39a
u(10a+b) + v(a+4b) = 39a
10au + bu + va + v4b = 39a
10au + bu + va + v4b - 39a = 0
a(10u + v -39) + b(4v + u) =0

10u + v -39 = 0
u + 4v = 0

10u + v -39 = 0
10u + 40v = 0
----------------------
v - 40v -39 = 0
-39v = 39
v = -1


10u + v -39 = 0
u + 4v = 0

40u + 4v - 156 = 0
u + 4v = 0
----------------------
39u - 156 = 0
39u = 156
u = 156/39 = 4

--> On aura donc u = 4 et v = -1


VERIFICATION :

4(10a + b) -1(a + 4b) = ?
40a + 4b - a - 4b = 39a

Donc u et v bel et bien égaux à 4 et -1. --> 4n - m = 39a



Si 13 divise n alors, il divise aussi m :

un + vm = 39a
4n - m = 39a
m = 4n - 39a

On suppose que 13 divise n c'est à dire qu'il existe un entier p tel que n=13p.

Or on a 4n -m = 39a
Donc 4*13p -m= 39a

D'où m= 13*(-3a+4p)

Conclusion: on a trouver un entier q=4p-3a tel que m=13q, donc 13 divise m


2.
un + vm = -39b
u(10a+b) + v(a+4b) = -39b
10au + bu + av + 4bv = -39b
a(10u + v) + b(u + 4v + 39) = 0

10u + v = 0
u + 4v + 39 = 0

10u + v = 0
10u + 40v + 390 = 0
--------------------------
-39v = -390
v = -390/-39 = 10



10u + v = 0
u + 4v + 39 = 0

40u + 4v = 0
u + 4v + 39 = 0
------------------------
39u + 39 = 0
u = -39/39 = -1


VERIFICATION :

un + vm = -39b
-1(10a + b) + 10(a + 4b) = ?
-10a -b + 10a + 40b = -b + 40b = -39b

u et v bel et bien égaux égaux à -1 et 10.


-------------------------------------
En déduire que si 13 divise m alors, il divise aussi n :

un + vm = -39a
-n + 10m = -39a

On suppose que 13 divise m c'est à dire qu'il existe un entier r tel que m=13r.

Or on a :

n = 39a + 10m
Donc n = 13(3a + 10r) (on utilise le fait que m=13r)

On a trouver un entier s= 3a + 10r tel que m=13s, donc 13 divise m




3.

Citation :

En effet, on sait que " 13|n <=> 13|m" sachant que n = 10a + b et m = a+ 4b

Je pose : n = 569556
et je sais que n et m sont divisibles par 13
donc, si il y a un réel t tel que :
n = 13t = 569556 alors, ce nombre sera bel et bien divisible par 13.

Bon pour la 3 c'est une idée en effet mais cela reviendrait à ne pas utiliser la forme de n et m qu'on te donne en fonction de a et b et tu risques de finir par prendre nue calculatrice pour bien voir que ton nombre est divisible par 13.

Alors cette question repose surtout sur une bonne dose de flair et pour une fois tu en manques un peu sur un exercice de spé. Alros voyons on a dit qu'on posait n= 10a+b et m=a+4b avec a et b des entiers.

On sait aussi que n est un multiple de 13 c'est équivalent à m multiple de 13.

Alors en effet, on commence par poser n=569556 et c'est à partir de là qu'on va avoir un brin d'initiative car ici faut vraiment mettre les mains dans le cambouis il n'y a pas de choix. Je vais donc te faire la première équivalence:

n₁=569556 on peut aussi l'écrire n₁= 10*56955 + 6 c'est à dire qu'on peut prendre a₁=56955 et b₁=6

On a donc m₁=56955 + 4*6=56955+24 donc m₁=56979

D'après ce qu'on a fait on sait que n₁=569556 est divisible par 13 si et seulement si m₁=56979 est divisible par 13.

Ceci était notre première étape, maintenant 2ème étape: on pose n₂=56979 qui peut aussi s'écrire n₂= 10*5697+9 et donc on pose a₂=5697 et b₂=9

On a donc m2= 5697 +4*9=5697 + 36 ce qui nous donne m₂= 5733

Or 13|n₂ <=> 13|m₂ et on avait 13|n₁ <=> 13|m₁
De plus, m₁=n₂ dans notre notation

Donc 13|n1 <=> 13|m2

Puis on pose n3=m2, ce qui nous donne n3=5733

Et je te laisse continuer jusqu'à trouver un nombre qui soit divisible par 13 de façon évidente.

Bon courage pour la finalisation et n'hésite pas si tu as des questions sur la méthode de résolution ou sur quelque chose qui n'est pas clair dans mes équivalence ou dans ma démarche.

Citation :

n= 10a+b et m=a+4b avec a et b des entiers.

On sait aussi que n est un multiple de 13 c'est équivalent à m multiple de 13.

On pose : n=569556

n1=569556 on peut aussi l'écrire n1= 10*56955 + 6 c'est à dire qu'on peut prendre a1=56955 et b1=6

On a donc m1=56955 + 4*6=56955+24 donc m1=56979

D'après ce qu'on a fait on sait que n1=569556 est divisible par 13 si et seulement si m1=56979 est divisible par 13.

Ceci était notre première étape, maintenant 2ème étape: on pose n2=56979 qui peut aussi s'écrire n2= 10*5697+9 et donc on pose a2=5697 et b2=9

On a donc m2= 5697 +4*9=5697 + 36 ce qui nous donne m2= 5733

Or 13|n2 <=> 13|m2 et on avait 13|n1 <=> 13|m1
De plus, m1=n2 dans notre notation

Donc 13|n1 <=> 13|m2

Puis on pose n3=m2, ce qui nous donne n3=5733

n3 = m2 donc n3 = 5733 = 10* 573 + 3
avec a3 = 573 et b3 = 3

On a donc m3= 573 + 4*3=585 donc m3 = 585

D'après ce qu'on a fait on sait que n3=5733 est divisible par 13 si et seulement si m3=585 est divisible par 13.

On pose ensuite n4 = m3 = 585
n4 = 10*58 +5 --> a4 = 58 et b4 = 5

On a donc m4 = 58 +4*5 = 78

D'après ce qu'on a fait on sait que n4=585 est divisible par 13 si et seulement si m4=78 est divisible par 13.

78 = 6*13 donc normalement, m est bel et bien divisible par 13 donc n l'est également.

Mais, on peut en faire une de plus pour confirmer :

n5 = m4 = 78 = 7*10 + 8 --> a = 7 et b = 8

m5 = 7 + 4*8 = 39

m5 = 39 = 3*13

M est bel est bien divisible par 13 donc n l'est également donc, 569556 l'est aussi.

Et bien voilà une belle démonstration .

Le premier exercice est donc fini passons au deuxième maintenant . Aurais-tu plus d'idée qu'au début pour cette récurrence un peut particulière comme tu le dis si bien ?

Exo 2 :

On nous demande de démontrer que A_n = 8ⁿ -1 est divisible par 7 ce qui revient à dire que :


avec k un nombre quelconque.

Jusque là c'est bon?

Avec k un entier mais jusque là c'est bon en effet.

Donc maintenant, il faut initialiser et regarder l'héréditer de cette proposition là.

Je te laisse reprendre tranquillement pour ce remettre dans la récurrence et dès que tu bloque et bien j'interviendrai .

Exo 2 :

On nous demande de démontrer que A_n = 8ⁿ -1 est divisible par 7 ce qui revient à dire que :


avec k un entier.

Soit P_n la propriété :



I) INITIALISATION :

P₀ vraie?
A₀ = 7k = 7(8n-1) = 7(0-1) =-7

-7 est bel est bien un multiple de 7 (-1 *7) donc, P₀ est vérifiée et P_n est initialisée!


II) HEREDITE :

On suppose P_n vraie : je dois prouver que : P_n+1 est aussi un multiple de 7.


P_n = A_n = 8ⁿ -1 = 7k

P _n+1 = 8ⁿ⁺¹ - 1 = 7k
P _n+1 = 7 * (8ⁿ⁺¹ - 1)
P _n+1 = -1 * (7*8ⁿ⁺¹)

Et là, comment se débrouiller pour obtenir un nombre entier.... J'ai déjà un doute sur l'initialisation...

Alors attention:

Citation :

En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout nombre entier entier n, le nombre A_n = 8ⁿ -1 est divisible par 7.

Il faut montrer que A₀ est divisible par 7, donc qu'il existe un k tel que A0=7*k

On a A₀= 8⁰ -1=1-1 donc A₀=0, donc on a bien A0= 7*0 donc P₀ est vraie.

Lorsqu'on travaille sur la divisibilité, on a rien à la base, on utilise les chose de façon brut. Donc poser A₀=7k ça partait mal vu que c'est ce qu'on cherche.


Maintenant pour l'héréditer, on suppose 7|A_n c'est à dire qu'il existe K tel que A_n=7k

Et on veut démontrer que 7|A_n+1 c'est à dire qu'il existe un entier p tel que A_n+1=7p.

On a bien A_n+1= 8ⁿ⁺¹ - 1 et on a aussi A_n= 8ⁿ -1=7k par hypothèse de récurrence.

La question est donc comment utiliser l'hypothèse de récurrence pour arrive à montrer que 7|A_n+1 ?

Citation :

Il faut montrer que A₀ est divisible par 7, donc qu'il existe un k tel que A₀=7*k

Soit P_n la propriété : A_n=7*k


I) INITIALISATION :

A₀= 8⁰ -1=1-1 = 0 --> A₀=0

P₀ est donc vraie!


II) HEREDITE :

On suppose P_n vraie c'est à dire qu'il existe K tel que A_n=7k

Citation :

Et on veut démontrer que 7|An+1 c'est à dire qu'il existe un entier p tel que A_n+1=7p.

On a bien A_n+1= 8ⁿ⁺¹ - 1 et on a aussi A_n= 8n -1=7k par hypothèse de récurrence.

La question est donc comment utiliser l'hypothèse de récurrence pour arriver à montrer que 7|An+1 ?

A_n = 8ⁿ -1
donc : A_n+1 = 8ⁿ⁺¹-1

Or, A_n = 7k
donc, A_n+1 = 7(k+1)

A_n+1 = 8ⁿ⁺¹-1

Et là ça bloque... je ne vois pas ce qu'il faut faire avec l'hypothèse de récurrence... En fait, il faut que je transforme A_n+1 mais je ne vois pas comment...

Bonjour,

Tu fais une erreur d'interprétation:

Citation :

Or, A_n = 7k
donc, A_n+1 = 7(k+1)

Ceci est pas forcément vraie. En effet, nous on veux juste montrer que A_n+1 est divisible par 7. Donc on cherche juste à montrer qu'il existe un entier q tel que A_n+1=7*q

Et notre entier q n'a pas forcément de rapport avec k justement c'est presque tout l'avantage ou l'inconvéniant d'une telle récurrence.

Donc par hypothèse de récurrence, on sait qu'il existe un entier k tel que A_n=7k sachant que A_n=8ⁿ -1

Sachant cela, on peut commencer à voir ce qu'on cherche:

On a: A_n+1= 8_n+1 -1

Et on voudrait bien mettre en évidence dans cette expression A_n=8_n -1

La différence entre les deux terme concécutif réside dans l'exposant de 8. Donc la question serait presque de savoir comment passer de 8_n à 8_n+1.

Cela va peut-être de permettre de faire apparaître A_n dans l'expression de A_n+1. N'oublie pas que le but est de montrer une division par 7, donc avoir une addition de terme qui sont des multiple de 7 est loin d'être un inconvéniant et serait même la clé du problème .

Bon courage, nous sommes pas très loin mais essaie déjà de bien assimiler ton erreur d'interpréation de la récurrence dans un premier temps.

En plus je me disais bien que le k+1 c'était suspect mais je ne voyais rien d'autre... Je récapitule :

Citation :

Il faut montrer que A₀ est divisible par 7, donc qu'il existe un k tel que A₀=7*k

Soit P_n la propriété : A_n=7*k


I) INITIALISATION :

A₀= 8⁰ -1=1-1 = 0 --> A₀=0

P₀ est donc vraie!


II) HEREDITE :

On suppose P_n vraie c'est à dire qu'il existe K tel que A_n=7k

Citation :

Et on veut démontrer que 7|An+1 c'est à dire qu'il existe un entier p tel que A_n+1=7p.

On a bien A_n+1= 8ⁿ⁺¹ - 1 et on a aussi A_n= 8n -1=7k par hypothèse de récurrence.

La question est donc comment utiliser l'hypothèse de récurrence pour arriver à montrer que 7|An+1 ?

A_n = 8ⁿ -1
donc : A_n+1 = 8ⁿ⁺¹-1

Or, A_n = 7k
donc, A_n+1 = 7q


[Il faut faire apparaître A_n dans A_n+1

8A_n = 8(8ⁿ - 1) = (8ⁿ⁺¹ -8) = A_n+1

??

Je suis sur que tu es conscient de ton erreur en plus .

Aller je vais faire comme mon prof:

Citation :

8An = 8(8n - 1) = (8n+1 -8) = An+1

Bluff pour l'égalité en rouge !! Car.... A_n+1= 8n+1 -1, il y a donc une modification à faire pour avoir réellement A_n+1 .

Aller c'est presque ça, la prochaine ça sera la bonne .

Citation :

II) HEREDITE :

On suppose P_n vraie c'est à dire qu'il existe K tel que A_n=7k

Citation :

Et on veut démontrer que 7|An+1 c'est à dire qu'il existe un entier p tel que A_n+1=7p.

On a bien A_n+1= 8ⁿ⁺¹ - 1 et on a aussi A_n= 8n -1=7k par hypothèse de récurrence.

La question est donc comment utiliser l'hypothèse de récurrence pour arriver à montrer que 7|An+1 ?

A_n = 8ⁿ -1
donc : A_n+1 = 8ⁿ⁺¹-1

Or, A_n = 7k
donc, A_n+1 = 7q


[Il faut faire apparaître A_n dans A_n+1]

8A_n = 8(8ⁿ - 1) = (8ⁿ⁺¹ -8) = A_n+1

En fait, l'erreur vient du -8 au lieu de -1... Comment faire... En fait j'ai besoin d'un 7...


Or, A_n = 7k
donc, A_n+1 = 7q

8A_n = 8(8ⁿ - 1) = (8ⁿ⁺¹ -8) = 7q = A_n+1

Alors si l'erreur est le -8 alors qu'il faudrait -1 pourquoi ne pas le mettre en évidence?

8A_n = 8(8ⁿ - 1) = (8ⁿ⁺¹ -8)

Et on sait que -8= -1 -7

Du coup, on a 8*A_n= (8ⁿ⁺¹ - 1) - 7

Et là tu vas pouvoir conclure .

8A_n = 8(8ⁿ - 1) = (8ⁿ⁺¹ -8)

Et on sait que -8= -1 -7

Du coup, on a 8*An= (8n+1 - 1) - 7 = A_n+1 -7 = 7q -7 = 7(q + (-1))

A_n+1 est donc divisible par 7 tout comme A_n