Bonsoir et bonne année 2011 !
En fait, la notion de suite monotone convergente est une notion très intuitive. En effet, imagine que tu sois sur une route et en pleine côte. Et bien ta seul possibilité c'est soit que la côte s'arrête à un moment donné et donc ta convergence est fini et tend vers ce point culminant. Soit, la côte est ne s'arrête jamais et tu t'en vas vers la stratosphère.
Et bien pour les suites c'est exactement cela. Si la suite est croissante et bien soit elle converge vers une borne qu'elle ne pourra pas dépassée soit elle diverge vers l'infini. De même si la suite est décroissante, soit elle tend vers une limite finie soit elle diverge vers l'infini négatif.
Pour les suites adjacentes c'est un peut l'effet qu'à le jambon en plein milieu d'un sandwich. En effet, tu as une tranche de pain au-dessus qui s'écrase (par le dessus) vers le jambon et tu as aussi une tranche de pain au-dessous qui s'écrase (par le dessous) sur le jambon. Ainsi, les deux tranches de pain tendent à se rapprocher indubitablement l'un de l'autre et ont une barrière commune qui est le jambon.
Et bien pour les suites adjacentes c'est exactement cela l'idée. Tu as une suite qui est décroissante et l'autre qui est croissante. Et de plus, tu sais que la limite de la différence ce qui correspond à l'espace entre deux termes de chaque suite converge vers 0 (c'est à dire que les deux suites sont de plus en plus proche). Alors on peut conclure d'une part que les deux suites convergent et en plus on peut en déduire quelle converge vers la même limite.
Pour les suites bornées, imagine par exemple un trottoir sur lequel tu marches. Et bien, tu es limité à gauche par la route par exemple et à droite par des clôture de maisons. Ainsi, tu ne peux qu'aller tout droit même si tu as le droit de zigzaguer entre le bord du trottoir près de la route et le bord de la clôture. Mais en aucun cas tu ne pourras franchir l'une ou l'autre de ces limites.
Ainsi, si une suite est convergente, on peut dire qu'elle est bornée. Pourquoi? Et bien si elle converge cela signifie donc qu'à partir d'un moment tous les termes de la suite seront proche de cette limite. Donc tout ses termes proche de la limite sont sur le trottoir en quelque sorte. Et maintenant les autres termes ? Et bien pour les autres termes ce n'est pas grave, il y avait peut-être un passage clouté quelque part qui nous a permis de rejoindre le trottoir mais en tout cas notre vagabondage avant d'arriver sur le trottoir n'a pas été très long et ne contient qu'un nombre de pas que l'on peut compter. Ainsi, on peut élargir notre trottoir final à une énorme allée piétonnière à la rigueur mais en aucun cas, les termes de notre suite sont partis vers l'infini. nous sommes donc bien bornés.
En espérant que ces quelques images te permettre de mieux visualiser les choses et donc de mieux les comprendre bien entendu. Sinon, n'hésite pas à poser tes questions surtout!
Lun 17 Jan - 22:43
