Suites

Bonjour,

Quelqu'un pourrait m'expliquer les questions de l'exercice 1 svp ? Je n'ai pas compris...Merci

Bonsoir,

Voilà un exercice de haute voltige où l'on parle même de vitesse de convergence qui est l'un des grands enjeu d'une des branches des mathématiques qui s'appelle l'analyse numérique et qui sert entre autre en physique, en médecine, en biologie par exemple.

Le but de l'exercice est donc de pouvoir approximer de manière assez fiable et avec peu d'itération (ce qui veut dire une convergence rapide) une racine carrée (comment calculer une racine carrée à la main en quelque sorte).

Les premières questions sont là pour montrer la convergence de la suite vers une limite dont on ne connaît pas forcément la valeur mais grâce à l'existence de la limite, nous pouvons lui donner un nom et ainsi chercher sa valeur.

La deuxième partie de l'exercice est consacrée à la convergence de cette suite et surtout comment pouvoir accélérer la vitesse de convergence (c'est à dire essayer de réduire le nombre de termes à calculer pour être au plus proche de la limite).

Maintenant, dans le vif du sujet, dans un premier temps, on te demande de montrer que la suite est bornée (mise dans un intervalle). Comment montrer qu'une suite est bornée lorsqu'on connaît déjà les bornes (ce qui est le cas ici).

Bon courage!

Vu que je connais deja les bornes, j'au juste a montrer que :

- pour tout n appartenant a N , on a : √a ≤ Un
- pour tout n appartenant a N , on a : a ≥ Un

Je pense que c'est sa non ?

En effet, c'est bien cela, on pourrait presque le faire en une fois d'ailleurs mais pourquoi pas découper pour être sûr.

Maintenant, comment démontrer cela ?

Bon courage!

Oula ! Alors la aucun idée mais peut être que l'on pourrait raisonner par récurrence ? Je dis sa comme sa...

Et bien la récurrence est souvent une bonne idée pour montrer des propriétés du style "Pour tout n, P(n)". Même si, il s'avère que dès fois cela ne fonctionne pas mais au moins, on peut essayer pour voir dans un premier temps après tout.

Bon courage!

Ok je vais essayer mais je croit que c'est faux :

Soit P(n) : "Un Є [√a;a] " vraie

initialisation : on a U0=a et Є [√a;a] donc P(0) est vraie

transmission : on suppose que Pn : Un Є [√a;a] est vraie. Donc :

√a ≤ Un ≤ a d'ou : 1/2 (a/Un) ≤ 1/2 (a/Un +Un) ≤ 1/2 (a²/Un)

≤ Un+1 ≤

par conséquent Un+1 Є [√a;a] donc Pn+1 est vraie.

Conclusion : on a montré que pour tout n Є N , Un Є [√a;a]

Alors, pour la rédaction, elle est un peu à revoir en effet.

On ne peut pas poser P(n) vraie dès le départ sinon, il n'y a plus rien à démontrer du coup.

Donc pour ela, on prend un n quelconque puis on définit la propriété P(n) pour ce n quelconque. Peut-être l'appeler k dans un premier temps pour éviter les confusions de rigueur après tout.

Donc:

Soit un entier k, on pose P(k):"Un Є [√a;a]"

On a: U0=a, et a Є [√a;a]; Donc P(0) est vraie. (en effet)

Supposons maintenant que P(n) soit vraie pour un n donné et montrons que P(n+1) est vraie.

En ervanche, tu ne conclus pas vu que tes inégalités contiennent encore à gauche et à droite des Un ce qui ne nous permettra pas de conclure vu qu'il faut montrer que c'est compris entre la racine carré de a et a. Ainsi, je te conseille de le faire en deux étapes c'est à dire d'abord encadrer le quotient puis ensuite ajouter Un et utiliser son encadrement et enfin diviser le tout par 2.

Bon courage!

Citation :

Supposons maintenant que P(n) soit vraie pour un n donné et montrons que P(n+1) est vraie.

vu que dans l'énoncé on nous donne U0 = a on peut le prendre non ?

Et vu que la suite est définie par récurrence, on peut déterminer U1 vu que l'on connait U0 non ?

si c'est bon j'ai trouvé U1 = 1/2 (a/a +a)

= 1/2 (1+a)

= 1/2 +a/2

Tu n'as pas besoin de calculer la valeur pour 1 vu que nous avons une récurrence à un pas (calcul de n+1 en fonction seulement du rang n). Donc, on cherche l'hérédité maintenant et pour cela on cherche à encadrer le rang n+1 en supposant que le rang n est déjà encadré.

Bon courage!

Citation :

Donc, on cherche l'hérédité maintenant et pour cela on cherche à encadrer le rang n+1 en supposant que le rang n est déjà encadré.

Désoler je n'ai pas compris se que tu veux dire par la...?

Bonjour,

En fait, le but est de démontrer l'hérédité ce que tu as appelé la transmission (dans l'idée de transmission à la génération suivante, c'est pour cela qu'on parle aussi d'hérédité).

Donc on suppose que pour un n donné P(n) est vraie c'est à dire que U_n est compris entre la racine carrée de a et a.
Puis on cherche à montrer à partir de là que la propriété P(n+1) est vraie c'est à dire qu'on souhaiterait montrer que U_n+1 est compris entre racine carrée de a et a.

Maintenant, comment passer de U_n à U_n+1 Et comment arriver au résultat avec l'hypothèse qu'on a sur U_n ?

Bon courage!