Suites

Bonsoir,

1. En utilisant la somme des termes d’une suite géométrique, écrire plus simplement l’expression:

1/x + 1/x² + 1/x^3 + 1/x^4 , où x est un réel non nul.

2.Dans cette question et dans toute la suite, x est un réel vérifiant:

1/x +1/x² +1/x^3 +1/x^4 = 0
Montrer que x<0

3.Résoudre l’équation 1/x +1/x² +1/x^3 +1/x^4 = 0

Indication du prof: pour la question 2 il est inutile d’utiliser la question 1: penser à la parité des exposants

Pour la 1. j'ai essayé d'écrire la somme mais je ne suis pas sûre S=1/x*1-(1/x)^4/1-1/x

Pourriez-vous me donner des indications s'il vous plaît?

Bonsoir,

Je ne comprend pas l'expression que tu as écrite ici:

Citation :

S=1/x*1-(1/x)^4/1-1/x

En fait pour cette question, il faut réussir à mettre en évidence le terme d'une suite géométrique.

Rappel: une suite géométrique (u_n) s'écrit de la forme: pour tout entier non nul n, on a: u_n=u₁*q^n-1

Donc ici quelle serait la raison de notre suite géométrique d'après la somme que nous voulons faire? Et quelle serait le premier terme u₁?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

La raison de la suite géométrique serait 1/x et le premier terme 1/x ?

Bonjour,

Alors c'est tout à fait exact!

Maintenant, il ne reste plus qu'à calculer la somme de cette suite géométrique.

Bon courage!

Pour faire la somme j'applique la formule de la somme d'une suite géométrique mais je tombe sur des fractions avec x^6 par exemple. Bref je m'embrouille un peu à cause des x. Pourriez-vous m'aider à simplifier un peu tout ça s'il vous plait.

bonsoir,

Le soucis en effet, c'esst que la raison dépend de x alors qu'on aime bien faire des calculs à la base. Mais bon, nous allons faire avec.

La suite est donc la suivante: pour tout entier naturel non nul n, on a: U_n=(1/x)*(1/x)^n-1 c'est à dire U_n=(1/x)ⁿ.

Et d'après la question, nous devons calculer la somme suivante: ∑_{k=1 à 4} U_k qui est bien la somme d'une suite géométrique comme nous l'avions dit précédemment.

Maintenant, que trouves-tu pour cette somme et quelle est la formule permettant de calculer cette somme déjà?

Bon courage!

Pour la somme je trouve ça 1/x * (1 - (1/x^4) )/ 1 -(1/x) mais avec les x après je ne sais pas où simplifier

C'est tout à fait exact!

On a donc si j'appelle S notre somme, S=(1/x)*[ [1-1/x⁴ ]/[ 1- 1/x ] ]. Il faut tout de mêem précisé que cela est valable seulement pour x différent de 0 et x différent de 1 (en effet la somme d'une suite géométrique de raison 1 ne se calcul pas comme cela si tu te rappelles bien).

Maintenant, il faut même au même dénominateur le gros crochet pour éviter d'avoir des fractions à 4 étages et se ramener à des fraction à deux étages.

Bon courage!

Je trouve x^5 +x² - x. Mais je ne suis pas sûre que ce soit bon

Bonsoir,

Il y a un problème dans ton calcul. En effet, par exemple pour x=2, on trouve S=1/2+1/4+1/8+1/16=3/4+1/8+1/16=7/8+1/16=15/16 qui est différent de 2⁵+2²-2 (pour la simple et bonne raison qu'il ne s'agit pas d'une fraction dans le deuxième cas).

Comment effectues-tu ton calcul? Sans les étapes intermédiaire, il m'est plutôt difficile de savoir où le calcul à bugger, en fait.

Bon courage!

Je l'ai refait voilà ce que ca me donne:
S=(1/x)*[ [1-1/x^4 ]/[ 1- 1/x ] ]
=(1/x)*[ [1-1/x^4 ]/[ (x - 1)/x ] ]
=[x/x(x-1)]*1 - 1/x^4
=[x/x²-x]*1 - 1/x^4
=[x/x²-x] -1/x^4
=(x^5 - x² + x)/(x²-x)x^4
=(x^5-x²+x)/x^6-x^5

Bonsoir et bonne année 2010!

Je comprend mieux l'erreur alors. En effet, ici:

Citation :

=(1/x)*[ [1-1/x⁴ ]/[ (x - 1)/x ] ]
=[x/x(x-1)]*1 - 1/x⁴

Tu multiplies par l'inverse, donc jusque là c'est nickel. Le soucis? Tout doit être multiplié par l'inverse vu que tout était divisé par (x-1)/x

Ce qui donne en mettant les parenthèses au bon endroit:

...=[x/x(x-1)]*[1 - 1/x⁴]

D'ailleurs avant de développer le dénominateur x*(x-1), je te conseille fortement de simplifier au maximum tes fractions avant d'entamer les calculs suivants car celà évite d'avoir d'énore expression dont on ne sait que faire par la suite.

Est-ce que tu comprends l'erreur en tout cas?

Je te laisse reprendre ton calcul.

Bon courage!

Maintenant je trouve ceci [x^4 - 1/x^4(x-1)]

Bonsoir!

C'est tout à fait exact cette fois ci !!

La question suivante est une question de logique d'après ce qu'on vient d'écrire.

Bon courage!

Bonjour,

Je ne vois pas trop comme la suite est décroissante alors x<0 ?Je ne pense pas que sa soit ça mais bon...

Bonjour,

En fait, on ne va même pas utiliser la premièer question pour celle. En effet, nous avons l'addition de 4 terme qui dépend exclusivement de x pour chacun d'eux. On doit exclure 0 dans notre recherche car on n'ap as le droit de diviser par 0. Donc soit x>0 soit x<0.

Supposons pas l'absurde que x>0, que pouvons-nous dire du signe de cette addition?
Conclure.

Bon courage!

Pour l'addition j'ai developpé mais je suis bloqué
1/x²+1/x^4+1/x+1/x^3=0
1/x²(1+1/x²)+1/x(1+1/x²)=0
(1+1/x²)(1/x²+1/x)=0
(1/x)(1+1/x²)(1+1/x)=0

Ne développe rien du tout. D'ailleurs tu as plus mis au même dénominateur que développé quelque chose mais bon.

En effet, juste en observant l'addition des 4 termes et en considérant x>0 que pouvons-nous conclure du signe de cette addition? C'est positif? C'est négatif?

Et nous on sait que le x qu'on considère doit annuler l'addition, donc si c'esst strictement positif ou strictement négatif, il n'y aura pas de solution. Il faudra donc considère x<0 ce qu'on souhaite montrer.

C'est ce qu'on appelle un raisonnement par l'absurde. Je suppose le contraire du résultat à montrer et je montre qu'il y a une contradiction avec les hypothèses. Sachant qu'ici la seule hypothèse c'est que notre addition doit e^tre nul pour la valeur de x qu'on considère.

Est-ce que tu comprends la démarche?

Bon courage!

Si on prend x supérieur à 0 alors le resultat qu'on trouve est positif (par ex si x=2 alors on trouve 15/16) donc pour que l'équation s'annule il faudrait que x soit inférieur à 0 et c'est le cas vu que c'est dans l'enonce. Voilà ce que j'ai compris

C'est en effet comme cela que ça marche.

Par contre, on ne prend pas d'exemple pour montrer que c'est strictement positif. Mais on dit que chaque terme est strictement positif car les puissance de sont positives. On ajoute donc que des termes strictement positifs et donc l'addition sera strictemetn positif ce qui contredit le fait qu'il existera une valeur de x pour laquelle l'addition soit nulle.

Par conséquent, x est bien strictement négatif.

Est-ce que c'est clair?

Je te laisse entamer la suite.

Bon courage!

[x^4 - 1/x^4(x-1)]=0
[(x^4 -1)/(x^5-x^4)]=0
x^4 -1=x^5 -x^4
-1=x^5
donc x=-1 ou x= 1 (par contre je ne sais pas si je dois le mettre ou pas )
La solution est x=-1 car x<0

Je pense qu'il y a une énorme erreur:

Citation :

[(x^4 -1)/(x^5-x^4)]=0
x^4 -1=x^5 -x^4

Commetn tu passes de la première ligne à la deuxième dans cette citation?

De manière générale, je rappelle que:
Un quotient est nul si et seulement si le numérateur est nul

Bon courage!

Pour passer de la premiere a la deuxieme ligne
J'ai fait [(x^4 -1)/(x^5-x^4)]=0
[(x^4-1)*(1/x^5-x^4)]=0
Après j'ai repassé le quotient à droite
(x^4 -1)=(x^5 -x^4)

Si ce n'est pas ça pourriez vous me montrer le bon calcul svp (normalement à la fin on doit tomber sur -1 ?)

Alors là heureusement que j'étais assis .

En effet, il s'agit d'un quotient . On "ne passe pas de l'autre côté". On multiiplie par l'inverse ou on peut dire qu'on effectue un produit en croix aussi en considérant que 0=0/1.

Mais le truc c'est que multiplier 0 par quelque chose fait toujours 0.

Exemple simple:

(x-2)/(3x+1)=0 <=> x-2=0*(3x+1) <=> x-2=0

C'est d'ailleurs en effectuant le calcul explicitement comme cela qu'on aboutit à la propriété que j'ai rappelée ci dessus:

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul

Est-ce que cela est plus claire ou c'est toujours flou?

Bon courage!

J'espère que c'est bon cette fois ci
(x^4-1)/(x^5-x^4)=0 <=> x^4-1=0*(x^5-x^4) <=> x^4=1
donc x =1 ou x=-1
x=-1 est solution car x<0