Suite et limite

bonjour, j'ai encore et encore un exercice sur les suites bien sympathique le problème de cet exercice c'est que je vois pas comment il faut commencer :s

on considère une suite (Un) telle que lim|Un| = 2 et Un+1-Un<1 pour tout n de N

a) Montrez qu'à partir d'un certain rang, Un € ]-3;-1[U]1;3[

b) En déduire que la suite (Un) garde un signe constant à partir d'un certain rang (on pourra faire un raison par l'absurde)

je sais juste que pour savoir que c'est constant c'est quand Un = Un+1

Bonjour,

J'ai fait une découpe pour mettre cette exercice à part car sinon nous n'allons plus nous y retrouver à force .

Pour commencer, on pourrait remarquer que si |Un|Є ]1 ; 3[ alors U_n Є ]-3,-1[U]1;3[ (on peut s'en convaincre sur un dessin dans un premier temps). Dès qu'on aura montrer cette implication, il nous restera plus qu'à montrer que |Un|Є ]1 ; 3[ grâce à la définition de la limite d'une suite.

Pour la deuxième question, il s'agit de montrer quel e signe est constant à partir d'un certain rang et non la suite elle-même. Il faudra donc montrer qu'à partir d'un certain rang la suite est soit toujours positive soit toujours négative mais on y reviendra après.

Regardons déjà la première question.

si |Un|Є ]1 ; 3[ alors Un Є ]-3,-1[U]1;3[
car |Un| = 2 et la valeur absolue est 2 ou -2 donc on peut constater que -2 et 2 sont les centre de ]-3,-1[ et de 1;3[

L'idée est là en effet .

Après faudrait la rédiger un peu quand même . Comment écrit-on de façon mathématique que lim|Un|=2 ?

il faut employer le mot converge non ?

En fait la définition d'une convergence (ou limite à l'infini) vers L pour une suite Un est la suivante:

Pour tout ε>0, il existe un rang N tel que pour tout n≥N, |Un - L|≤ε

Dans la première question en prenant ε=1, tu vas pouvoir conclure avec quelque manipulation sur les valeurs absolus.

je comprends pu rien ..

Désolé en effet ma définition est un peu (beaucoup?) trop technique à l'heure actuelle.

Je reprend alors avec la définition de la limite d'une suite:

Citation :

Soit (U_n) une suite et L un nombre réel.
Dire que L est limite de la suite (U_n) signifie que tout intervalle ouvert de centre L contient
tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On dit alors que la suite (U_n) converge vers L.

Vu que lim_n->∞ |Un|=2 celà veut donc dire d'après la définition de la convergence d'une suite qu'il existe un rang à partir du quel tous les termes de la suite |U_n| Є ]1 ; 3[

Celà va être plus clair comme celà je pense, non ? (La définition que j'ai donné est une définition de terminale, je devais être fatiguer ou t'avoir prise pour une terminale ce soir là ).

Pour conclure la première question, il faut montrer que:

Citation :

|U_n| Є ]1 ; 3[ |U_n| Є ]1 ; 3[ à partir d'un certain rang implique que U_n Є ]-3;-1[U]1 ; 3[

j'ai fait

quand lim Un = 2
Un+1-Un<1
Un+1-2<1
Un+1<3

quand lim Un = -2

Un+1-Un<1
Un+1 +2<1
Un+1<-1

résultat :

-1<Un+1<3

Alors ton raisonnement est faux ici.

En effet, le fait que lim|Un|=2 n'implique pas que lim Un = 2 ou -2

En effet, le fait que dire que la valeur absolue converge vers 2 peut seulement nous faire conclure qu'à partir d'un certain rang, |Un| est compris dans un intervalle ouvert centré en 2 ici le plus simple étant de prendre ]1;3[. Mais nous ne pouvons rien déduire directement pour Un.

Ce qu'il faut que tu te souviennes c'est qu'une limite est toujours unique. Donc une suite ne peut pas converger vers deux limites distinctes comme tu le faisais dans ton raisonnement.

Pour la première question, il faut commencer par interpréter en terme de définition de convergence ce que signifie "|Un| converge vers 2" et d'après la définition que tu as dans ton cours qui doit sensiblement ressembler à celle-ci:

Citation :

Dire que L est limite de la suite (Un) signifie que tout intervalle ouvert de centre L contient
tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Donc nous on sait que 2 est la limite de la suite (|Un|) celà signifie donc que tout intervalle ouvert de centre 2 contient tous les terme de la suite à partir d'un certain rang.

Il faut donc choisir un intervalle ouvert centré en 2 de façon judicieuse pour que nous puissions arriver au résultat qu'on nous demande. C'est pour celà que je te propose de prendre l'intervalle ]1;3[ qui est bien un intervalle ouvert centré en 2.

A partir de maintenant on peut dire d'après la définition de la convergence qu'à partir d'un certain rang, 1<|Un|<3 (ce qui est la même chose que de dire qu'à partir d'un certain rang |Un|Є]1;3[ ).

Maintenant, il nous reste à démontrer qu'à partir d'un certain rang, Un Є]-3;-1[U]1;3[ c'est à dire qu'à partir d'un certain rang, -3<Un<-1 ou 1<Un<3.

Est-ce que tu comprends le raisonnement qui vient d'être fait et pourquoi le tiens est erroné? Si tu as un doute je veux bien ré-expliquer d'une autre manière c'est pas un problème pour moi ça, le but est que tu comprennes ton erreur dans un premier temps et le raisonnement que j'ai fait à partir de la définition de la limite.

Si celà peut te rassurer c'est pas le plus simple des exercice pour appréhender les suites et leur limite mais il est plutôt complet c'est ce qui le rend intéressant d'ailleurs.

Si tu as compris le raisonnement et ton erreur, est-ce que maintenant tu vois un moyen de finir de répondre à cette première question?

j'ai a peu près compris ce qu'il fallait faire mais désolé je pars en vacances ce soir et je dois envoyer mon devoir pendant les vacances donc on pourra pas terminer cet exercice ensemble

Nous pourrons le reprendre après tes vacances à la rigueur .

Sinon pour la question 2), le but est de montrer qu'à partir d'un certain rang le signe reste constant.

Le raisonnement par l'absurde nous étant suggéré, il faut donc supposer que Un change de signe tout le temps et montrer que celà n'est pas possible. Il va falloir utiliser le résultat du 1) et bien entendu l'inégalité que nous n'avons pas encore utilisé dans l'énoncer.


Bonnes vacances @toi et @bientôt au sein du forum!

me voila de retour de mes vacances, j'ai une amie qui m'a aidée pour le raisonnement de cet exercice et je voulais savoir s'il était correct

x <lUnl < 2+x pour tout x
1 <lUnl < 3 pour x=1
1 <Un <3 si Un>0
-3 <Un < -1 si Un <O
donc Un appartient à ]-3;-1[ U ]1;3[


le seul cas où une suite de signe non constant converge est celui où sa limite est 0
alors lUnl aurait pour limite 0 et non 2

Le raisonnement est tout à fait juste.

La première inégalité est l'interprétation de la définition de la limite que tu as dans un cours de 1ère S en fait:

dire que tout intervalle ouvert de centré 2 contient
tous les termes de la suite (|Un|) à partir d'un certain rang.

C'est bien dire que pour tout x, on a: x<|Un|<x+2


Mais je me demande si ce genre de raisonnement est pas trop alambiqué pour la 1ère S, après tout, il suffisait de dire simplement que ]1;3[ était un intervalle centré en 2 donc à partir d'un certain rang 1<|Un|<3 (après tu continues ton même raisonnement). C'est plus simple je pense que de partir avec des x mais après c'est toi qui voit comment tu préfères le voir.


Pour la question deux, l'idée était bonne mais nous ne savons pas que U_n converge, hélas. Sinon tout était bon en effet.

Les seules choses qu'on connaît c'est lim|Un|=2 et U_n+1 - U_n < 1 pour tout n de N.


Alors commetn, nous allons nous en sortir? Et bien on va commencer par suivre ton énoncer qui nous suggère une démonstration par l'absurde c'est à dire qu'on va supposer le contraire.

Le contraire de "il existe un rang à partir duquel U_n est de signe constant" c'est "Quelque soit n de N, U_n n'est pas de signe constant".

C'est à dire que U_n+1 et U_n sont de signe contraire.

Maintenant, il faut utiliser la question 1) qu'on vient de démontrer c'est à dire qu'à partir d'un certain rang U_n Є ]-3;-1[U]1;3[.

Donc à partir de ce rang là, on a soit Un Є ]-3;-1[ et Un+1 Є ]1;3[ ou soit UnЄ]1;3[ et Un+1 Є ]-3;-1[.

Maintenant, il reste à regarder si celà est possible d'après les hypothèse que nous avons. Je te laisse chercher comment conclure c'est à dire qu'il faut trouver une contradiction vu qu'on raisonne par l'absurde.

Bon courage pour la fin de cette exercice!