Limite !!!

Bonjour !


Je n'arrive pas à trouver cette limite :

lim_x-->0+ ln(1-cos(x))tan(2x)

Je pense que cela fait zéro car je sais que le -infini de la fonction ln n'est pas très "puissant", càd qu'il se fait souvent "absorber" par des zéro.

Merci d'avance !

Ah je pense avoir trouvé !

J'ai modifié l'expres​sion(sachant que 1-cosx = 2sin²(x/2), ln(ab)=lna + lnb, ln(aⁿ)=nlna, tan(2x)= sin(2x)/cos(2x) et cos2x= 1-2sin²(x))et j'ai obtenu :

(ln(2)sin2x + 2ln(sin(x/2))sin(2x))/(1-2sin²(x))

donc là ya plus que le ln(sin(x/2))sin(2x) qui nous pose problème.

Je pose X=sin(x/2) donc x=2arcsin(X).
Je remplace et j'obtient, sachant que sin(arcsin(Y))=Y : ln(X)sin(4arcsin(X)) mais la je suis bloqué car sin(4arcsin(X)) ya le 4 qui m'embete. Sinon j'aurais retrouvé la forme xlnx en zéro que je connais.

Bonjour,

Alors l'idée est pas mauvaise du tout. Attention au justification tout de même car Sin(x/2) peut être négatif ce qui s'avère très très gênant pour l'image par un logarithme. Il fut donc au moins dire qu'on se place sur l'intervalle ]0;Pi/2] par exemple pour éviter les problème. ET cette intervalle n'est pas du tout restrictif car on fait tendre x vers 0⁺.

Le seul soucis réside maintenant dans le calculs de la limite de 2*Ln[Sin(x/2)]*Sin(2x).

Et là attention car la fonction Arcsin est une fonction qui n'est pas la bijection de la fonction Sinus sur n'importe quel intervalle. Donc il faut mieux faire attention lorsqu'on utilise cette fonction là (d'ailleurs, elle n'est pas au programme de terminale S, tu as vraiment un sacré prof de maths , je ne sais pas si toute la classe arrive à suivre la cadence n'empêche).

Mais ici, essayons plutôt de faire un changement de forme au lieu d'un changement de variable. En effet, on sait qu'en 0 toute contribution de Cos(X) ne nous posera pas de soucis vu que la limite est égale à 1. Donc le seul soucis c'est le sinus et le but serait de se ramener à une expression du type X*Ln(X) en effet. Or ici, la seule chose qu'on pourra poser comme changement de variable c'est bien X=Sin(x/2). Il faut donc changer la forme de Sin(2x) pour faire apparaître le changement de variable que nous voulons effectuer pour calculer la limite de la forme indéterminée.

Bon courage!

Ouai c'est bon j'avais réussi à conclure entre temps !

Merci !

Ps: belle limite en tous cas non ? Est-ce que tu vois une autre méthode pour lever l'indetermination ici ? Tu as d'autres limites dans le même genre ?

C'est une belle limite en effet.

En fait, c'est très astuciaux, ça te fait pas beaucoup travailler le raisonnement mais par contre ça joue beaucoup sur l'intituition (savoir qu'on cherche à se ramener à une limte du type X*Ln(X) lorsque X tend vers 0⁺). Donc ces exerccies sont plus piégeux qu'autre chose car soit tu vois l'astuce et c'est bon soit tu n'en as aucune diée et tu peux toujours chercher. C'est un bonne entraînement pour améliorer sa vitesse de calcul et de réflexe en tout cas.

Si tu veux te faire les dent, je peux te donner une limite assez barbare à calculer:

Soit F(x)=[Ln(e+x)]^1/x. Calculer la limite de F(x) lorsque x tend vers 0.

C'est très brutale comme limite mais bon si tu aimes vraiment calculer des limites, fais-toi plaisir . Je te filerai des indications si tu sèches sans aucun aussi bien entendu.

Bon courage!

Je trouve e^1/e !

Quand on a la technique, ça se fait en deux temps trois mouvements !

Magnifique!

Et la technique était laquelle ici alors?

ps: à titre d'information (qui risque de te motiver je pense), sache que cette limite est dans un livre de prépas (Cap prépa 1ère année MPSI-PCSI) et elle est considérée comme une limite pouvant être donnée en Khôle (le but étant d'utiliser une technique d'équivalent mais bon, la solution finale est toujours bonne à trouver peu importe le chemin après tout).

Pour ce genre d'indétermination (ie. 1 puissance infini) je passe à l'exponentielle en sachant que a^x=e^xlna et après, je me suis retrouvé avec une nouvelle limite en qque sorte : ln(ln(e+x))/x et là j'ai fait apparaitre ln(e+x)-1 pour me ramener, comme d'habitude, aux limites connues a savoir ici lnX/(X-1) en 1 (en posant X=ln(e+x)). Quant à (ln(e+x)-1)/x on reconnait un nombre dérivé

C'est un peu vague comme explication, qu'en penses-tu?

La démarche est tout à fait bonne pour le début puis après ça devient assez vague au niveau de ta façon de faire.

Si je considère ton changement de variable X=Ln(e+x), on arrive à la recherche de la limite de la quantité Ln(X)/(e^X-e) lorsque X tend vers 1.

Et ensuite, comment conclus-tu?

Excuse-moi je n'ai pas assez détaillé. Quand je fais apparaitre ln(e+x)-1 c'est comme ça : (ln(ln(e+x)))/(ln(e+x)-1) * (ln(e+x)-1)/x
et après bah a gauche je fais le changement de variable que je tai dit et a droite le nombre dérivé.
C'est plus clair comme cela ?

C'est excellent en effet!

J'en doutais pas mais bon, je ne suis pas le seule à lire le forum, donc bon j'imagine que pour suivre les calculs ça sera tout de même plus claire ainsi .

En tout cas rien à dire sur le sujet, les technique de calculs sont acquises et très bien acquises. C'est de bonne augure pour l'année prochaine je pense.

Bon courage pour la suite!