Bonjour,
Alors pour la première fonction F(x)=(x3-3x+1)/4 nous sommes face à une forme indéterminée. En effet, lal imite d'une addition c'est normalement égale à l'addition de chacune des limites lorsque celles-ci sont finies. Or il y a quelques soucis lorsqu'elles ne sont pas finies. Regardons chacun des termes:
Limx-->+∞ x3=+∞
Limx-->+∞ x=+∞ Donc Limx-->+∞ -3x=-∞ (car -3<0)
Limx-->+∞ 1=1
Donc la limite du numérateur devrait être égale à: "+∞-∞+1". Or Soustraire des quantités qui sont infini, on ne sait absolument pas faire. En effet, si tu as une infinité d'oiseaux et que je retire une infinité de pigeons, est-ce qu'il m'en reste encore une infinité? Est-ce qu'il ne me reste plus qu'une centaines d'oiseaux ou un million ou ... ??? Aucune idée. Il est donc assez intuitif de comprendre que nous sommes face à un problème de taille car nous ne pouvons pas conclure.
C'est ce qu'on appelle une forme indéterminée de type "∞-∞".
Donc pour pouvoir conclure, il va falloire changer notre expression pour qu'on puisse s'en sortir. Pour cela, il faut comprendre comment fonctionne une fonction dite polynômiale c'est à dire P:x|--> an*xn+ an-1*xn-1 + .... + a1*x+a0 avec les ai des réelles quelconque. En effet, il faut savoir que pour ces fonction, il y a ce qu'on appelle un terme prédominant qu'on appelle aussi terme de plus au degré et qui serait ici an*xn.
Pourquoi est-il si important se terme de plus haut degré?
Et bien, il est prédominant car c'est lui qui détient une grande partie des information du polynôme. C'est lui qui va nous dire combien de changement de varaition il va y avoir par exemple mais c'est aussi lui qui va nous donner le comportement de la fonction à l'infini (+∞ et -∞).
EN effet, si on considère x non nul, on peut donc factoriser par xn (ce qu'on appelle factoriser par le terme de plus haut degré) et ainsi, on obtient:
P(x)=xn*[an + an-1*xn-1/xn + .... + a1*x/xn + a0/xn]
Mais nous savons faire des calculs sur les puissances. Par conséquent, on sait par exemple que xn-1/xn=1/x, xn-2/xn=1/x², etc. Nous avons ainsi:
P(x)=xn*[ an + an-1/x + .... + a1/xn-1 + a0/xn ]
Or, nous connaissons les limite à l'infini de la fonction inverse et de toutes les puissances de la fonction inverse. En effet:
Pour tout entier n, on a: Limx-->+∞ 1/xn=0 (et de même pour la limite en -∞)
Donc ce qu'il y a entre crochet à une limite finie en + (et - ∞) égale à an. Ainsi:
Limx-->+∞ P(x)= Limx-->+∞ an*xn
Donc si on revient à notre exemple, en factorisant par x3 le dénominateur, on obtient:
F(x)=x3*[ 1 - 3/x² + 1/x3 ]/4
Et on constate que ce qu'il y a entre corche tend vers 1. De plus, la limite d'un quotient est égale au quotient des limites lorsque les les limites sont finies. Or le dénominateur tend vers 4 (il a donc une limite finie!!).
Ainsi: Limx-->+∞ F(x)= Limx-->+∞ x3/4
Est-ce plus clair ainsi?
Si c'estl e cas, peux-tu me chercher la limite en +∞ de la fonction suivante: F(x)= 2*x7 - 3*x² + 2 en détaillant le raisonnement (le but n'est pas d'apprendre le "truc" par coeur mais de pouvoir l'écrire sur n'importe quel exemple car tout exemple réserve son lot de surprise et ne pas savoir faire cela et l'utiliser comme un résultat serait un très mauvais choix à faire!!).
Bon courage!
ps: pourrais-tu mettre la deuxième partie de ton message dns un autre sujet car le raisonnement est toalement différent et je préfère pour ma part ne pas mélanger tout cela car il ne s'agit pas de faire un catalogue de "truc et astuce pour calcul de limite", le but étant de savoir s'en servir et de pouvoir les retrouver aussi. Merci d'avance
Dim 15 Nov - 16:22
