Exercice sur la limite d'une suite

Salut!
Voici le dernier exercice sur les limites (pour le moment). Ici, on parle de limite d'une suite mais, le problème vient d'égalités à démontrer (comme toujours)...
Voici l'énoncé :

On pose u_n = 1 + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + ...... + 1/Racine(n+1).
(avec n ≥ 2)

1. Calculer avec 4 chiffres significatifs les termes u₂ à u₅.
2. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
3. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
4. Ecrire l'inégalité ci-dessus pour p=2, p=3, .... p=n.
Disposer les calculs en colonne, et montrer que Racine(n) - Racine(1) ≤ (1/2)(u_n).
5. Déterminer les limites de la suite u_n

Voici mes résultats :

1.

2. Dès là, ça bloque... J'ai essayé un produit en croix entre les deux (en désespoir de cause), ayant tenté pas mal de chose et en ayant pas mal réfléchi auparavant mais, je ne vois pas comment prouver ceci mis à part avec la propriété de la fonction décroissante qu'on avait vu dans un exercice précédent mais, je ne sais pas comment présenter tout ça...

J'aurais donc besoin encore une fois d'un coup de pouce pour pouvoir me débrouiller avec ça.
Merci d'avance.

Bonsoir,

Alors la première question est bonne.

Pour la deuxième question, on montre une inégalité en partant d'un côté pour aller vers l'autre le plus souvent. Donc partons de:

Racine(p) - Racine(p-1)

Et montrons que c'est bien égale à 1/[Racine(p) + racine(p+1)].

Nous avons une différence de racine carré, qu'as-tu appris à faire systématiquement lorsque tu vois cela?

Salut!
Voici le dernier exercice sur les limites (pour le moment). Ici, on parle de limite d'une suite mais, le problème vient d'égalités à démontrer (comme toujours)...
Voici l'énoncé :

On pose u_n = 1 + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + ...... + 1/Racine(n+1).
(avec n ≥ 2)

1. Calculer avec 4 chiffres significatifs les termes u₂ à u₅.
2. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
3. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
4. Ecrire l'inégalité ci-dessus pour p=2, p=3, .... p=n.
Disposer les calculs en colonne, et montrer que Racine(n) - Racine(1) ≤ (1/2)(u_n).
5. Déterminer les limites de la suite u_n

Voici mes résultats :

1.

2. J'emploie ici la technique de la quantité conjuguée :

[[Racine(p) - Racine(p+1)] * [Racine(p) - Racine(p+1)]] / [Racine(p) + Racine(p+1)]
[(Racine(p))² - (Racine(p-1))²] / [Racine(p) + Racine(p+1)]
p - (p -1) / [Racine(p) + Racine(p+1)]
p - p +1 / [Racine(p) + Racine(p+1)]
1 / [Racine(p) - Racine(p+1)]
--> On trouve donc la forme demandée.

3. Ici, la technique de la quantité conjuguée ne marchera pas. On pourrait peut-être se servir de l'égalité de la question précédente.

Nickel !!

Alors maintenant pour la question d'après, il faut te souvenir de ton autre exercice du même style. Qu'avions-nous fait pour trouver la majoration ??

Si je ne me trompe pas, on avait un encadrement.

En effet, il y avait un encadrement ou plutôt une minoration d'une certaine fonction qui nous donne une minoration globale et donc une majoration de l'inverse.

p ici est supérieur ou égale à 2 et donc de surcroit est positif.

3. On sait que p ≥ 2 donc :

1 ≤ p-1 ≤ p
Racine(1) ≤ Racine(p-1) ≤ Racine(p)
Racine(p) - Racine(1) ≤ Racine(p) - Racine(p-1) ≤ Racine(p) - Racine(p)
Racine(p) - 1 ≤ Racine(p) - Racine(p-1) ≤ 0

Racine(p) - Racine(p+1) est donc minorée par Racine(p) - 1 ≤ 0

C'est cela?

Il n'y aurait pas une légère erreur dans ton énoncer?

Citation :

3. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
Racine(p) - Racine(p+1) < 1/[2racine(p+1)]

????

3. Prouver que, pour tout p ≥ 2,
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/[2Racine(p-1)]

Sur l'énoncé en tout cas, c'est ça.

Et pour la première question c'est aussi ça:

Citation :

Racine(p) - Racine(p-1) = 1/[Racine(p) + racine(p+1)]

????

Oui. En tout cas, c'est ce que j'ai sur dans l'énoncé.

Ok je vais reprendre l'exercice alors.

Désolé mais j'ai l'impression qu'il y a une erreru d'énoncer mais je vais le reprendre car la routine avait voulu que je le résolve comme un exercice classique.

Je te tiens au courant rapidement!

ok merci!

Alors alors! Désolé du léger cafouillage.

La premièer question est bien fausse dans ton énoncer, il devrait être écrit:

2. Prouver que, pour tout p ≥ 2,

Racine(p) - Racine(p-1) = 1/[Racine(p) + racine(p-1)]

Le reste des questions est juste.

Maintenant reprenons la première question avec les bonnes données et démontrons que:

Racine(p) - Racine(p-1) = 1/[Racine(p) + racine(p-1)

En utilisant l'entité conjuguée.

1.

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3.

Attention pour la toute première question:

U2 = 1
U3= 1 + 1/Racine(3-1)
U4= 1 + 1/Racine(3-1) + Racine(3-2)

(Un) est une somme de termes. à quoi est égale U5 ?

Sinon la question 2 est juste!

Pour la quesiton 3), il faut en effet minorer Racine(p) + Racine(p-1) avec la même méthode que nous avions utilisé avec pour objectif cette fois-ci de trouver: Racine(p) - Racine(p-1) < 1/[2racine(p-1)]

Bon courage!

1.
u₂ = 1/[Racine(2-1)] = 1
u₃ = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u₄ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u ₅ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

2 ≤ p
Racine (2-1) ≤ Racine(p-1)
1 ≤ Racine (p-1)
-1 ≥ -Racine(p -1)
Racine(p) - 1 ≥ Racine(p) - Racine(p-1)

tout est bon pour les 2 première question!

Pour la 3), utlise le fait que: p>p-1 et essaie d'arrivé à Racine(p-1) + Racine(p) > "???"

1.
u₂ = 1/[Racine(2-1)] = 1
u₃ = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u₄ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u ₅ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

p > p-1
Racine(p) > Racine(p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > Racine(p-1) + Racine (p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > 2Racine(p-1)

Racine(p) + Racine(p-1) est donc minorée par 2Racine(p-1)
DONC :
Racine(p) - Racine(p-1) majorée par 1/(2Racine(p-1))
soit :
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/(2Racine(p-1))

4.
Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))

Je fais la somme des termes présents à gauche de ces égalités :

Racine(2) - Racine(1) + Racine(3) - Racine(2) + Racine(4) - Racine(3) + Racine(n) - Racine(n-1) = Racine(2) - Racine(1) + Racine(3) - Racine(2) + Racine(4) - Racine(3) + Racine(n) - Racine(n-1)
= -1 + 2 + Racine(n) - Racine(n-1) = 1 + Racine(n) - Racine(n-1)

Je fais maintenant la somme des termes présents à gauche de ces égalités :

[1/(2Racine(1)) + 1/(2Racine(2))] + [1/(2Racine(3)) + 1/(2Racine(n-1))]
= [(2Racine(2) + 2Racine(1))/(2Racine(1)2Racine(2))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))/(2Racine(3)2Racine(n-1))
= [(2Racine(2) + 2)/(4Racine(2))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))/(2Racine(3)2Racine(n-1)]
= [(2Racine(2) + 2)(2Racine(3)2Racine(n-1))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))(4Racine(2))] / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]
= [8Racine(6)Racine(n-1) + 8Racine(3)Racine(n-1)] + [8Racine(2)Racine(n-1) + 8Racine(6)] / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]
= 8Racine(6n-6) + 8Racine(3n-3) + 8Racine(2n-2) + 8Racine(6)
= (8[Racine(6n-6) + Racine(3n-3) + Racine(2n-2) + Racine(6)]) / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]

Après euh...

Nickel chrome !!!

Maintenant, on passe à la question 4). Dans cette question on ne te demadne pas de faire de calcul!!! Il faut juste remplacer p par une valeur et cic à chaque ligne.


La conclusion vien en sommant de chaque côté de l'inégalité!

Bon courage!

1.
u₂ = 1/[Racine(2-1)] = 1
u₃ = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u₄ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u ₅ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

p > p-1
Racine(p) > Racine(p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > Racine(p-1) + Racine (p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > 2Racine(p-1)

Racine(p) + Racine(p-1) est donc minorée par 2Racine(p-1)
DONC :
Racine(p) - Racine(p-1) majorée par 1/(2Racine(p-1))
soit :
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/(2Racine(p-1))

4.
Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))

Je fais la somme des termes présents à gauche de ces égalités :

Racine(2) - Racine(1) + Racine(3) - Racine(2) + Racine(4) - Racine(3) + Racine(n) - Racine(n-1) = Racine(2) - Racine(1) + Racine(3) - Racine(2) + Racine(4) - Racine(3) + Racine(n) - Racine(n-1)
= -1 + 2 + Racine(n) - Racine(n-1) = 1 + Racine(n) - Racine(n-1)

Je fais maintenant la somme des termes présents à gauche de ces égalités :

[1/(2Racine(1)) + 1/(2Racine(2))] + [1/(2Racine(3)) + 1/(2Racine(n-1))]
= [(2Racine(2) + 2Racine(1))/(2Racine(1)2Racine(2))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))/(2Racine(3)2Racine(n-1))
= [(2Racine(2) + 2)/(4Racine(2))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))/(2Racine(3)2Racine(n-1)]
= [(2Racine(2) + 2)(2Racine(3)2Racine(n-1))] + [(2Racine(n-1) + 2Racine(3))(4Racine(2))] / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]
= [8Racine(6)Racine(n-1) + 8Racine(3)Racine(n-1)] + [8Racine(2)Racine(n-1) + 8Racine(6)] / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]
= 8Racine(6n-6) + 8Racine(3n-3) + 8Racine(2n-2) + 8Racine(6)
= (8[Racine(6n-6) + Racine(3n-3) + Racine(2n-2) + Racine(6)]) / [4Racine(2)2Racine(3)2Racine(n-1)]

Après euh...

Bonjour,

Alors tu n'as pas l'habitude de ce genre de raisonnement mais ne fait on ajoute pas seulement les 4 lignes mais toutes les lignes jusqu'à n. Lors de l'écriture, on écrit cela plutôt comme ça:

Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
+
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
+
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
+
.
.
.
+
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))
--------------------------------------------------
= ajout de tous les terme de gauche < ajout de tous les termes de droite

Tu constates en fait qu'à gauche, tous les termes vont se compenser sauf 2 et à droite si on met 1/2 en facteur, tu va retrouver une donnée du problème.

Bon courage!

1.
u₂ = 1/[Racine(2-1)] = 1
u₃ = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u₄ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u ₅ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

p > p-1
Racine(p) > Racine(p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > Racine(p-1) + Racine (p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > 2Racine(p-1)

Racine(p) + Racine(p-1) est donc minorée par 2Racine(p-1)
DONC :
Racine(p) - Racine(p-1) majorée par 1/(2Racine(p-1))
soit :
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/(2Racine(p-1))

4.
Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
+
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
+
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
+
.
.
.
+
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))
--------------------------------------------------
= ajout de tous les terme de gauche < ajout de tous les termes de droite

Oui, Racine(n) et -Racine(1) restent à gauche.
A droite, j'ai :
1/(2Racine(1)) + 1/(2Racine(2)) + 1/(2Racine(3)) + ... + 1/(2Racine(n-1))
= 1/2 [Racine(1) + Racine(2) + Racine(3) + .... + Racine(n-1]
= 1/2 [1 + Racine(2) + Racine(3) + .... + Racine(n-1]
= 1/2(U_n
DONC :

Nickel sauf qu'il te manque des "1/" partout dans ta somme . En effet, toutes tes racines sont au dénominateur et non au numérateur.


ET pour la dernière question, comment tu compte conclure et qu'utilises-tu pour le faire ?

1.
u₂ = 1/[Racine(2-1)] = 1
u₃ = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u₄ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u ₅ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

p > p-1
Racine(p) > Racine(p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > Racine(p-1) + Racine (p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > 2Racine(p-1)

Racine(p) + Racine(p-1) est donc minorée par 2Racine(p-1)
DONC :
Racine(p) - Racine(p-1) majorée par 1/(2Racine(p-1))
soit :
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/(2Racine(p-1))

4.
Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
+
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
+
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
+
.
.
.
+
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))
--------------------------------------------------
= ajout de tous les terme de gauche < ajout de tous les termes de droite

Oui, Racine(n) et -Racine(1) restent à gauche.
A droite, j'ai :
1/(2Racine(1)) + 1/(2Racine(2)) + 1/(2Racine(3)) + ... + 1/(2Racine(n-1))
= 1/2 [1/Racine(1) + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + .... + 1/Racine(n-1]
= 1/2 [1 + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + .... + 1/Racine(n-1)]
= 1/2(U_n)
DONC :



5. On sait que :
Racine(n) - Racine(1) ≤ (1/2)(U_n)
donc :

[Racine(n) - Racine(1)]/(1/2) ≤ (U_n)
Problème : On a une minoration de U_n au lieu d'avoir une majoration (vu qu'on cherche la limite en + Infini) donc là, je ne sais pas... mais, ça doit avoir un rapport avec ce que je viens d'énoncer.