Exercice sur la limite d'une suite

En fait relis le récapitulatif que je t'es fait dans le sujet sur les limites. Une minoration suffit poru avoir la limite d'une fonction, il ne faut pas oublier se détail là.

1.
u₂ = 1/[Racine(2-1)] = 1
u₃ = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u₄ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u ₅ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

p > p-1
Racine(p) > Racine(p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > Racine(p-1) + Racine (p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > 2Racine(p-1)

Racine(p) + Racine(p-1) est donc minorée par 2Racine(p-1)
DONC :
Racine(p) - Racine(p-1) majorée par 1/(2Racine(p-1))
soit :
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/(2Racine(p-1))

4.
Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
+
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
+
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
+
.
.
.
+
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))
--------------------------------------------------
= ajout de tous les terme de gauche < ajout de tous les termes de droite

Oui, Racine(n) et -Racine(1) restent à gauche.
A droite, j'ai :
1/(2Racine(1)) + 1/(2Racine(2)) + 1/(2Racine(3)) + ... + 1/(2Racine(n-1))
= 1/2 [1/Racine(1) + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + .... + 1/Racine(n-1]
= 1/2 [1 + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + .... + 1/Racine(n-1)]
= 1/2(U_n)
DONC :



5. Ah oui! "Minoration par une fonction qui tend vers + Infini"
On a donc :

La limite de U_n en +Infini serait donc [Racine(n) - Racine(1)]/(1/2)?

Une limite NE dépend JAMAIS de la variable !

Que nous dit le théorème?

Si on a pour tout n, Vn<Un avec lim Vn = +Infini alors lim Un= +Infini (les limite pour les suite sont forcément prise quand n tend vers +Infini)


Ceci est une concéquence du thoérème sur les fonctions:

Soit a un réel quelconque pouvant être égale à + ou - l'Inifini

Si pour tout x, on a G(x)<F(x) avec lim_x-->a G(x)=+Infini
Alors lim_x-->a F(x)=+Infini

Il s'agit aussi d'une sorte de théorème des gendarme sauf qu'on a pas besoin d'avoir une majoration pour conclure vu que la minoration tend vers +Infini donc on ne peut pas être plus petit que +Infini si on est au-dessus. Il faut essayer de visualiser les choses de façon concrète en fait.

1.
u₂ = 1/[Racine(2-1)] = 1
u₃ = 1 + 1/[Racine(3-1)] = 1 + 1/Racine(2) = (à peu près) 1.707
u₄ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] = (à peu près) 2.284
u ₅ = 1 + 1/[Racine(3-1)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(5-1)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(4-1)] + 1/[Racine(4)] = 1 + 1/[Racine(2)] + 1/[Racine(3)] + 1/2 =(à peu près) 2.784

2.
[[Racine(p) - Racine(p-1)] * [Racine(p) + Racine(p-1)]] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
[[Racine(p)]² - [Racine(p-1)]²] / [Racine(p) + Racine(p-1)]
p - (p-1) / [Racine(p) + Racine(p-1)]
1 / [Racine(p) + Racine(p-1)]

DONC :

1 / [Racine(p) + Racine(p-1)] = [Racine(p) - Racine(p-1)]

3. Il faut minorer Racine(p) + Racine(p-1) :
Ici, je ne sais pas trop mais j'ai fait ceci et, sur toutes les tentatives, c'est celle qui semble la plus appropriée (je n'ai pas réussi à avoir 2Racine(p-1)...] :

p > p-1
Racine(p) > Racine(p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > Racine(p-1) + Racine (p-1)
Racine(p) + Racine(p-1) > 2Racine(p-1)

Racine(p) + Racine(p-1) est donc minorée par 2Racine(p-1)
DONC :
Racine(p) - Racine(p-1) majorée par 1/(2Racine(p-1))
soit :
Racine(p) - Racine(p-1) < 1/(2Racine(p-1))

4.
Racine(2) - Racine(1) < 1/(2Racine(1))
+
Racine(3) - Racine(2) < 1/(2Racine(2))
+
Racine(4) - Racine(3) < 1/(2Racine(3))
+
.
.
.
+
Racine(n) - Racine(n-1) < 1/(2Racine(n-1))
--------------------------------------------------
= ajout de tous les terme de gauche < ajout de tous les termes de droite

Oui, Racine(n) et -Racine(1) restent à gauche.
A droite, j'ai :
1/(2Racine(1)) + 1/(2Racine(2)) + 1/(2Racine(3)) + ... + 1/(2Racine(n-1))
= 1/2 [1/Racine(1) + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + .... + 1/Racine(n-1]
= 1/2 [1 + 1/Racine(2) + 1/Racine(3) + .... + 1/Racine(n-1)]
= 1/2(U_n)
DONC :



5. Ah oui! "Minoration par une fonction qui tend vers + Infini"
On a donc :

Il me suffit de trouver la limite en +Infini de [Racine(n) - Racine(1)]/(1/2) pour en déduire celle de U_n :
[Racine(n) - Racine(1)]/(1/2)
[Racine(n) - Racine(1)]*2
2Racine(n) - 2

lim_x-->+Inf. 2Racine(n) -2 = +Infini
DONC :
lim_x-->+Inf. U_n = +Inf.

Cette exercice est nickel et fini donc .

Pour la méthode de majoration, il faut que tu comprenne vraiment cette majoration de racine car cela fait 2 exercice que tu as avec ce genre de majoration et ton professeur à l'air d'adorer celà. Je ne l'ai pas encore vu dans un sujet de bac pour ma part (mais je ne les connais pas tous bien entendu).

Par contre pour ce qui est des limite et des réflexe sur les majoration ou minoration ou encadrement de fonction ou de suite, il faut vraiment être au point sur la démarche (pas connaître par coeur car ça sert à rien de s'encombrer l'esprit avec ça mais la démarche est vraiment importante et pour celà il faut peut-être utiliser un brin de visuel (faire des schéma à main lever pour voir si la limite à l'air cohérente par rapport à l'encadrement ou à la majoration par exemple)).

Bon courage pour la suite!

La majoration de ce type ne se fait pas qu'avec des racines non?
Sinon, niveau encadrement j'ai bossé ça cet aprem et, je commence à savoir par où commencer à chaque fois donc ça a l'air d'être bon signe pour la suite .
En tout cas merci de m'avoir accordé de ton temps et merci pour les conseils et autres remarques! [comme d'habitude]

Les majorations de ce type ne se font pas qu'avec des racine bien entendu. Tu peux remplacer par exemple la fonction racine par une fonction H qui est croissante et tu auras le même encadrement.

Par contre la méthode reste là même. Il s'agit à chaque fois d'utiliser la monotonie de la fonction pour l'encadrer. ET ne pas oublier les encadrement simple des Sinus et Cosinus aussi .

Le plus dur en effet est de trouver la bonne méthode pour résoudre tel type de question mais avec le temps ça fini par venir, la preuve .

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!