Exercice 3 Devoir 1 (Notion de limite)

Bonjours, j'ai un sousi avec mon exercice, je n'arrive pas a dépasser la premiere question, svp aidez moi!

Sujet:

Soit E la fonction définie sur par E(x) = n si n ≤ x < n + 1 (n ∈ ) (E(x) est alors le plus grand entier inférieure ou égal à x). Cette fonction est la fonction partie entière.
1. Calculer E(1), E(2,35), E(-3,48).
2. Montrer que pour tout réel x: x - 1 < E(x) ≤ x
3. Déterminer alors lim E(x) quand x → +∞
lim E(x) quand x → -∞
lim E(x)/x2 quand x → +∞
4. On considère la fonction f définie sur par : f(x)= x - E(x). La fonction f admet-elle une limite en +∞ ? (on pourra considérer les suites (un) et (vn) définies par : un = n et vn = n + (1/2)).

Reponce:

E(x) = n si n ≤ x < n + 1 (n )
1. E(1) = 1 1 ≤ 1 < 2
E(2,35) = 2 2 ≤ 2,35 < 3
E(-3,48) = -4 -4 ≤ -3,48 < -3

Merci d'avance pour vos reponce!

Bonsoir,

Ce genre d'exercices devient assez récurrent j'ai l'impression. La fonction partie entière n'est pas dès plus simple à comprendre mais d'après ce que tu as fait pour la première question, tu as bien assimilé cette fonction là.

Maintenant, pour la question 2), il faut essayer de voir à quoi correspond ces inégalité. Si on pose E(x)=n que savons-nous sur x et n ? Remplace ensuite n par E(x) dans les inégalités puis il ne restera plus qu'à manipuler celles-ci pour pouvoir conclure tout simplement.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Bonjours, mais si j'écrit tous simplement sa c bon?

Le fait que E(x) soit plus petit que x découle de sa définition.
Maintenant la définition dit aussi que x < E(x)+1
Donc on en déduit x-1 < E(x).

Merci

Bonjour,

C'est tout à fait exact !

En fait, tu réécris juste l'encadrement de x, n ≤ x < n + 1 et sachant que n=E(x), il ne reste plus qu'à remplacer ce qui donne: E(x) ≤ x < E(x) + 1. Et tu déduis, l'encadrement globale comme tu viens de le faire.

Fais-toi confiance, tu sais faire les choses à première vue .

Les questions suivantes devraient tomber d'elles même normalement.

Bon courage!

Merci , mais justement avec la question 3 je ne sais pas comment faire, je ne pense pas que le resultat soit le bon, je pense qu'il fau faire un calcul spesifique mais je ne c pa lequel! svp aidez moi!
lim E(x) quand x → +∞ , le calcul c: E(+∞) = +∞
et lim E(x) quand x → -∞ , le calcul c: E(-∞) = -∞
et pour lim E(x)/x2 quand x → +∞ je ne sais pa du tout!

Merci de bien vouloir m'aidez!!

Bonsoir,

Là tu fais une erreur de fond. En effet, l'objet +∞ ou -∞ n'existe pas pour la fonction car lorsqu'on définit une fonction sur R, on exclut bien ces deux objets là. En revanche parler de limite est tout à fait concevable mais nous ne pouvons en aucun cas parler d'image de +∞. On ne peut donc pas écrire E(+∞) car il n'y a pas de notion d'image pour ∞ mais bien de limite tel un sommet qu'on chercherait à atteindre mais qui serait toujours trop loin pour qu'on puisse le toucher et donc l'utiliser réellement.

Donc ici comment faire? Et bien essayons de faire le plus simplement du monde c'est à dire que nous allons suivre l'idée de l'exercice et sa logique. En effet, nous avons nue question 2) qui n'est pas anodine et de très loin même. Tu ne connaîtrais pas un théorème dit d'encadrement ou des gendarmes par hasard ?

Bon courage!

Oui, j'ai refait des calcul different:

Pour lim E(x) quand x → +∞
x-1 < E(x)
lim x - 1 quand x → +∞ = +∞
Donc lim E(x) quand x → +∞ = +∞

Pour lim E(x) quand x → -∞
E(x) < x
lim x quand x → -∞ = -∞
Donc lim E(x) quand x → -∞ = -∞

Pour lim E(x)/x² quand x → +∞
x - 1 < E(x) < x
(x - 1)/x² < E(x)/x² < x/x²
lim (x - 1)/x² quand x → +∞ = lim (1/x) - (1/x²) quand x → +∞ = 0
lim x/x² quand x→ +∞ = 0
Donc d'apres le théorème d'encadrement lim E(x)/x² quand x → +∞ = 0

Je pense que sais bon donc pouvez vous m'aidez pour la 4 svp!

Bonjour,

C'est tout à fait juste!

Pour la dernière question, vu l'indication on s'attend au fait qu'il n'y ait pas de limite. Pourquoi? Et bien, la notion de limite nous dit que si on utilise n'importe quelle suite convergent vers l'infini, on trouve toujours la même limite si celle-ci existe!

Et a contrario, si on trouve deux suite tendant vers l'infini mais ne permettant pas d'avoir deux limites identique, alors la fonction ne converge pas.

Donc ici que vaut F(u_n) et F(v_n) ?
Quelles sont leur limite respective lorsque n tend vers l'infini ?
Conclure!

Bon courage!

Bonjours, je ne comprend pas très bien ce que vous voulez dire.
lim f(x) = Forme indeterminer
Et je ne sais pas quoi faire après sa!
Je ne comprend pas comment faire avec les suites!
Aidez-moi svp!

Bonjour,

En fait, on cherche à démontrer qu'en prenant un ensemble de points précis, nous avons des limites différentes. Ainsi, u_n est une suite d'entiers naturels, on peut donc expliciter facilement la partie entière de U_n pour toutes les valeurs de n.

De même, pour v_n, la partie entière de chacun des termes est facilement accessible (en faisant un dessin s'il y a un doute à la rigueur).

Ainsi, que vaut en fonction de n, F(u_n) pour toutes les valeurs de n? Et de même pour F(V_n) pour toutes les valeurs de n.

Compare les deux résultats et leur limite lorsque n tend vers l'infini. Si ces deux limites sont différentes, on peut conclure qu'il n'y a pas de limite lorsque x tend vers l'infini de F(x).

Bon courage!