les suites

Après les fonctions c'est les suites, j'ai fait un exercice et je voudrais savoir si ma première réponse est correct.

les suites :

le prix d'un forage est estimé par une entreprise de la façon suivante :
- le creusement du premier mètre est facturé 100 euros
- a partir du 2ème mètre, le creusement est facturé a 10 euros de plus que celui du mètre précédent.

on note Pn le prix facturé en euros pour le creusement du nième mètre

1) déterminer la nature de la suite (Pn) puis le terme général Pn
2) quel est le prix facturé pour le dixième mètre
3) quel est le prix de revient d'un forage de 10 mètres ?
4) un forage a été facturé à 6210 euros. quelle est la profondeur de l'ouvrage

Réponse

1) U0= 100
U1 = 100+110=210
U2=100+110+110=320
U3=430
U4=540

ceci est une suite arithmétique de raison 110

le terme général est : pn= (n+1)[(Uo+Un)/2]

2) U5= 650 ; U6 = 760 ; U7=870 ; U8=980 : U9=1090 ; U10=1100

le prix facturé pour le dixième mètre est 1100 euros

3) je comprends pas la troisième question car pour moi c'est pareil que la deuxième

4) Pour répondre à cette question j'hésite entre deux formules: Um- Up = (m-p)r ou celle qu'il y a dans la première question

Bonsoir,

J'ai l'impression qu'il y a une légère erreur soit de frappe soit d'interprétation. En effet, tu écris:

Citation :

le prix d'un forage est estimé par une entreprise de la façon suivante :
- le creusement du premier mètre est facturé 100 euros
- a partir du 2ème mètre, le creusement est facturé a 10 euros de plus que celui du mètre précédent.

Donc le premier coûte bien 100€.
Le deuxième mètre coûté 10€ de plus que le première mètre soit 100+10=110€.

Jusque là ton raisonnement est bon.

Cependant, le troisième mètre ne coûte pas 110€ vu qu'il coûte 10€ de plus que le prix du mètre qui le précède c'est à dire le prix du 2ème mètre qui est égale à 110€.
Conclusion, le troisième mètre coûte 110+10=120€
Et ainsi de suite...

Attention ensuite à bien lire l'énoncer, (P_n) est le prix pour creuser le n^ième mètre. Donc P₂=110€ et non 210€. Tu auras une somme à calculer lorsqu'on te demandera le prix pour creuser jusqu'au n^ième mètre et là se sera bien la sommes des termes de ta suite (P_n). C'est pour celà que tu ne faisais pas de différence entre la question 2 et la 3, tout simplement.

Dernière remarque lorsque tu calcules les premiers termes de ta suite (P_n) n'oublie pas que tu démarre pour le 1er mètre donc pour n=1 et non pour n=0 car creuser 0mètre ne coûte rien . C'est une erreur classique ne t'inquiète pas .

Lorsqu'on aborde les suite, il faut être très concentrer sur le texte de l'énoncer comme pour les statistiques et les probabilités car une erreur d'interprétation et tout tombe à l'eau même si tu connais ton cours sur le bout des doigts. Il faut mieux donc aller lentement dans un premier temps mais sûrement, la vitesse viendra avec le temps surtout que tu apprends plutôt vite et bien .

Bon courage pour refaire ton exercice et n'hésite pas à nous proposer tes nouveaux résultats ou tes questions si une chose n'est pas comprise.

Ca ne n'étonne pas que je me suis encore trompée, les maths ça n'a jamais été mon point fort

alors je vais reprendre l'exercice en entier:

donc u1=100 ; U2=110 : U3=120 ; U4= 130

est ce que le terme général de Pn est bien : (n+1) [(U0+Un)/2] ?

désolé mais je comprends toujours pas la différence entre la question 2 et 3 car c'est bien marqué :

quel est le prix facturé pour le dixième mètre ?

quel est le prix de revient d'un forage de 10 mètres?

j'ai calculé pour 10 mètres et je trouve 190 euros et la raison est +10

Alors reprenons . Y'a pas de fatalité aux mathématiques sinon je ne serai pas là avec l'équipe .

Tu as bien rectifié le début de ton raisonnement, mais comme je te le disais P_n est le prix pour le n^ième mètre. Donc à ta place j'écrirai pas les premier terme avec un U mais avec un P (on appelle un chat un chat et tu verras qu'on va y voir déjà plus clair ).

Donc P₁=100 (le prix du premier mètre) ; P₂= 100+10=110 (le prix du 2ème mètre) ; P₃= (100+10) +10=120 (le prix du troisième mètre) ; P₄=100+10+10+10=130 (prix du quatrième mètre).

Maintenant, on nous demande la nature de la suite (P_n), nous ne connaissons que deux natures de suite ce qui limite déjà les possibilité. Soit notre suite est arithmétique, soit elle est géométrique (ou soit elle est ni l'une ni l'autre). Comme tu l'as constaté elle n est as géométrique vu qu'on ajoute toujours 10 comme tu le dis:

Citation :

j'ai calculé pour 10 mètres et je trouve 190 euros et la raison est +10

.

Donc tu constates rapidement que notre suite est arithmétique et que ça raison est +10. Bon maintenant reste à exprimer P_n en fonction de n.

Comment s'exprime une suite arithmétique? Dès que tu as la réponse à cette question tu vas voir que ce que tu propose comme expression de suite est erronée.

Sinon, pour la différence entre la 2ème et la 3ème question, elle vient peut-être d'une mauvaise compréhension des termes de la question. En effet, lorsqu'on parle d'un forage de 10 mètres à faire, on dit qu'on démarre de la surface et qu'on va creuser 10 mètre. Le prix est du 10ème mètre ou le prix d'un forage de 10 mètre est donc très différent car pour un forage de 10 mètre c'est e prix de 1 mètre additionné au prix de 2 mètres et l'addition se poursuit jusqu'au prix du 10ème mètre.

Est-ce que tu vois maintenant la différence entre les deux questions?

Je te conseille fortement de ne pas donner de nouveau nom à une suite (ce qui t'as induit en erreur) ou si tu dois définir une nouvelle suite de la définir concrètement avec tes mots, tu verras ainsi que dès fois tu parles peut-être de la suite de l'énoncer . L'avantage aussi c'est que toi tu suis mieux ton propre raisonnement et surtout ton correcteur pourra voir plus rapidement la suite de tes idées .

pour le terme générale c'est : pn= [(n+1)(2U0+nr)]/2 mais on a pas U0 mais comme on sais que la raison est de 100 alors on peut en déduire que U0 = 0

mon résultat 190 est pour la troisième question

pour la dernière question j'ai utilisé la formule Pn = Pp+ (n-p)r
Pn - Pp = (n-p)r
6210 - 100 = (? - 1)10
6110 = 10? -10
6100 = 10 ?
6100/10 = ?
? = 610 mètres

En effet, si (U_n) est une suite arithmétique définie sur N, alors Pour tout U_n= U₀ + (n-0)*r avec U₀ le premier terme de la suite et r la raison de cette suite. Ici, on démarre pas de 0 mais de 1, on va donc écrire que Pn= P1 + (n-1)*r.

De façon générale, on peut écrire Pn= Pq + (n-q)*r avec q quelconque.

Maintenant, revenons à notre exercice, la suite ne s'appelle pas (U_n) mais (P_n). Nous avons constaté que cette suite était une suite arithmétique de raison +10 et de premier terme P₁=100 (on ne peut poser P₀=0 comme tu l'as fait mais après tout pourquoi se compliquerl a vie ).

On a donc pour tout entier n, P_n= P₁ + (n-1)*(10).

2) Bon maintenant la question c'est quel est le prix pour creusé le 10ème mètre?. La question aurait pu être: Donner la valeur pour n=10 vu que la suite Pn donne le prix pour creuser le n^ième mètre.

Donc la réponse que tu donnais était bien pour la question 2 et non la question 3 .

3) La troisième question est de savoir combien coûte un forage de 10 mètre. Pour faire un forage, il faut donc creusé le premier mètre, puis le 2ème, le 3ème, .... jusqu'au 10ème mètre. Celà revient donc à additionner les prix pour creuser le première mètre, le 2ème, .... jusqu'au prix poru creuser le 10ème mètre. C'est donc une question pour voir si tu sais à quoi est égale l'addition des termes d'une suite arithmétique de 1 à 10 car pour creuser 10 mètre lorsque chaque mètre est facturé et bien il faut bien additionner toutes les factures .

4) Ici tu n'a pas répondu à la bonne question. En effet, toi tu as trouver le mètre n qui coûterai 6210€ à creuser alors que nous on cherche le nombre de mètre n qu'on pourrait creuser en tout avec une valeur de 6210€. L'équation qu'on cherche à résoudre est donc la sommes de 1 à n des P_n = 6210.


En espérant avoir éclaircie un peu la démarche de cette exercice mais je te conseille de faire question par question dans un premier temps sinon tu risque de t'embrouiller entre les sommes, les termes de suite et tout le reste . Nous ne sommes pas pressé après tout et le but est de comprendre petit à petit une notion qui est loin d'être évidente et qui va s'avérer très utile durant ton année de 1ère S .

pour la 2ème question : p9 = 190 euros

pour la 3ème question : P1+P2+...+P9 = 100+110+120+...+190= 1450

pour la 4ème question 6210 = P1+P2+P3+...+Pn

Alros pour la deuxième question c'est P10 qu'on calcule mais le résultat est toujours juste. En effet c'est le prix du 10ème mètre qu'on cherche donc on, prend n=10.

Pour la question 3 à première vu tu fais l'addition de tous les terme de façon manuel (100+110+120+...+190) celà te donne le résultat mais ta démarche ne t'aidera pour la question suivante.

Donc comment faire pour la question 4?

Pour s'en sortir il faut savoir à quoi est égale la somme de 1 à n des P_n. Ce qui revient à ce demander comment calcule-t-on la sommes de n terme d'une suite arithmétique? Cette question est incontournable pour les suites (de même pour les suites géométriques que tu verras après je pense). La mise en équation de la 4ème question est bonne mais il reste à calculer la somme pour pouvoir résoudre l'équation maintenant.

pour la troisième question j'ai trouvé

S = n[(P1+P9)/2]
= 10[(100+190)/2]
= 1450

pour la 4eme question j'ai commencé à faire :

6210 = n [(100+Pn)/2]
6210= (n100+n*Pn)/2

C'est tout à fait ça . Par contre c'est toujours P₁₀ et non P₉ .

Bon pour la 4ème, tu as tout ce qu'il te faut là. En effet tu connais l'expression de P_n aussi que tu vas donc pouvoir remplacer. Et à partir de là tu va te retrouver avec une équation du second degrée en n à résoudre en cohérence avec le fait que n est un entier naturel strictement positif.

Et c'est là que tout commence à s'entrelacer (pas de panique ), tu comprends maintenat pourquoi on voit les polynômes du second degré et le discriminant avant les suites car celà permet de résoudre ce genre de problème par exemple . Et après on te fera calculer des limites de suite en plus l'infini ce qui expliquera pourquoi tu as vu le chapitre limite avant la suite aussi . Les suites sont vraiment une base très intéressante pour tester des connaissance en mathématique sans pour autant créer des exercice ultra compliqués.

j'ai fait quelque chose mais je trouve le résultat bizarre

alors 6210 = n[(100+n)2]
6210 = (n100+n²)/2
12420 = n100 + n²
n² +n100 -12420

b²-4ac = 100² (- 4)*1*(-12420)
= 59680>0
x1 = -172 x2 = 72

Tu as mis P_n=n, c'est normal que le résultat te semble bizarre .

Tu as l'expression de P_n dans la première question. Ne pas se précipiter sur les calculs, tu as tout bien décortiquer c'est pas à la fin qu'il faut déraper . Remplace Pn correctement et après tu auras ton équation correcte avec deux solutions dont l'une n'est pas possible d'ailleur.

toutes les question s'enchaîne ne fait, à la première question on cherche des propriétés du P_n puis son expression en fonction de n. Ensuite on te fait calculer un terme pour voir la cohérence de ton raisonnement. Après on te fait calculer la sommes de 10 termes de la suite et enfin on cherche à résoudre une équation avec la sommes de n termes de la suite. Il faut toujours garder la cohérence des réponse que tu donnes en fait.

donc si tu as une expression de P_n au début c'est forcméent la même à la fin sinon le correcteur risque de croire que tu n'a pas compris ce que tu faisais ce qui ne jouera pas en ta faveur comme tu t'en doute .

pn= pq +(n-q)*r
6210=p1 +(n-1)10
6210 = 100+n10-10
n=612

Reprenons au début la question 4 car là tu t'embrouilles avec toute les données.


On a dit qu'on cherchait le nombre de mètre qu'on pouvait creuser en tout pour un montant de 6210€.

On a vu aussi dans la question 3 que la façon dont on calculait le prix d'un forage en faisant la sommes des termes de la suite (P_n). De plus, à la question 1), on a trouvé que Pn= 100+ 10*n et qu'il s'agissait d'une suite arithmétique.

Conclusion:

La question 4 est la résolution de l'équation en n, P1 +...+ Pn = 6210

Or on a vu que P1 + .... + Pn = n*(P1 + Pn)/2 avec P1=100 et Pn= 100 + 10*n (d'après la question 1 et le fait qu'il s'agisse de la somme d'une suite arithmétique).

Maintenant, il faut résoudre notre équation avec toutes ses données là. Est-ce que tu comprends le raisonnement ?

pn=n(p1+pn)/2
pn = (n(100+100+10n))/2
6120 *2 = 10n²+200n
10n²+200n -12240

b²-4ac = 529600

x1 = -46 (ce résultat est faux)
x2 = 26 mètres

Ton exercice te donnait sauf erreur un montant de 6210 ( 4) un forage a été facturé à 6210 euros. quelle est la profondeur de l'ouvrage ).

Donc il faut recommencer avec 6210€ au lieu de 6120€. Pour t'éviter de refaire le calcul et te montrer une rédaction (un peu fastidieuse mais qui a le mérite de te montrer la démarche):

On cherche le nombre de mètre qu'on peut effectuer avec un prix de 6210€.

Or le prix d'un forage de n mètres est de P1+...+Pn= n*(P1 + Pn)/2 car (Pn) est une suite arithmétique d'parès la question 1) avec P1=100 et Pn= 100 + (n-1)*10 (désolé pour l'erreur dans mon dernier post d'ailleurs sur l'expression de Pn c'est bien 100+ (n-1)*10 comme nous l'avions mis au début de la résoution d'ailleurs).

On cherche donc le nombre de mètre n pour lequel le forage coûte 6210€ c'est à dire qu'on résoud l'équation 6210= n*(P1 + Pn)/2

Or d'après la question 1), Pn= 100 + 10*n et P1=100

Donc l'équation devient, 6210= n*(100 + 100 + (n-1)*10)/2 c'est à dire 6210= (190n + 10n²)/2

Donc 10n² + 190n - 12420=0

Or on a delta= (190)² - 4*10*(-12420) = 532900>0 et donc racine(delta)= 730 (Le fait que la racine tombe juste doit nous rassurer car l'énoncé nous dit qu'il s'agit d'une facture de forage donc le nombre de mettre est bel et bien entier).

Nous avons donc deux solutions théorique qui sont n1= (-190 + 730)*(2*10) = 27 et n2= (-190 - 730)/(2*10)= -46
Or n est un nombre de mètres donc doit être positif.

Conclusion la facture de 6210€ est pour un forage de 27 mètres.

On peut faire une vérificatino rapide pour voir si c'est cohérent en calculant la sommes de 1 à 27 mètres: 27*(100 + 100+ (27-1)*10)/2 = 27*(200 + 260)/2= 27*460/2=27*230 et ceci est bien égale à 6210 ce qui conclut notre exercice.

Si tu as des question ou des remarques n'hésites surtout pas car les suties n'est pas un chapitre simple et faut mieux poser des questions que de laisser des choses indécise . Avec mes excuse en totu cas pour l'erreru de recopie que j'avais fait pour Pn dans mon précédant post ce qui t'as induit en erreur dans la résolution qui était bonne au chiffre exacte près en fait.