Les suites.

Re bonjour, ça fait longtemps que je n'avais pas posté, en effet les transformations se sont passées sans soucis.
Ce qui n'est pas le cas des suites!
Dans ma tête, le principe c'est qu'on part d'une base ( Uo ?) et à chaque fois par l'intermédiaire d'une "transformation", on arrive sur le terme suivant, et ainsi de suite.

J'ai déjà du mal à comprendre forme explicite et de récurrence:

Explicite: Je peux mettre sous la forme f(x) ?? Par exemple je prends Uo, je dois remplacer x par 0 dans l'équation.. mais est ce que U0 sera 0 à chaque fois ou est ce que certaines suites commencent à 5 par exemple?
Récurrence: De la forme Un+1 = "quelque chose avec Un" ??

Après je pense avoir compris compris les suites géo & arithmétiques.. Et comment retrouver un terme ou la raison..

Et pour finir, qu'est ce que la divergence? convergence?

Bonjour,

Cela fait longtemps en effet mais c'est plutôt bon signe pour ma part car cela montre que tu te débrouilles bien tout seul ce qui est après tout mon propre but pour ce forum (c'est à dire qu'à terme chacun puisse se débrouiller tout seul tout simplement).

Je pense qu'il serait plus simple à comprendre si tu n'écrivais pas x mais n. En effet, on dira que la suite (U_n) est défini par U_n=F(n)

Ainsi, on considère une fonction F mais son ensemble de départ n'est plus un intervalle mais simplement l'ensemble des entiers naturels. On peut écrire cela ainsi:

F: N-->R qui a n|-->F(n)

L'ensemble d'arrivé est toujours une partie de R car rien n'empêche une suite d'avoir des terme en racine carrée par exemple. Le tout est de bien comprendre que l'ensemble de départ c'est N. Ainsi, on comprend mieux sans doute le fait que le terme U_n n'est autre qu'une fonction U:n-->U(n) qu'on note (et c'est une notation): U_n.

Lorsqu'on écrit U_n=F(n) on e fait que redonner l'aspect fonctionnel qui est sous-jacent au suite tout simplement (mais c'est presque écrire deux fois la même chose comme tu t'en rend peut-être compte). On pourrait simplement écrire U_n=U(n) mais cela pourrait porter à confusion (c'est le même U!) et du coup, on utilise des notation plus "standard" pour éviter de vous perturber avec les notions justement et nous focaliser sur l'objet suite en tant que tel. On constate d'ailleurs qu'avec cette définition, il n'y a pas besoin de définir le premier terme qui rentre directement dans la forme de la suite (il suffit de remplacer n par 0 tout simplement)


Donc si on comprend bien l'aspect fonctionnelle des chose, on peut aussi définir une suite par récurrence. C'est à dire en fait définir un terme de la suite ne fonctino d'un autre (ou des autre tout dépend de la définition). Le plus souvent en 1ère, on défini une récurrence simple c'est à dire qu'on regarde la définition d'un terme par rapport au précédent. Ce qui donne un aspect assez algorithmique des choses d'ailleurs. En effet, nous effectuons une tâche ( c'est à dire U_n+1) en fonction des tâches déjà effectué ( c'est à dire U_n).

Ainsi, on écrira que U_n+1=F(U_n) ce qui signifie que U_n+1 se calcul en fonction de (par fonction F) U_n. Mais il y a un soucis avec cette définition! En effet, il faut amorcer les choses car on ne peut pas créer quelque chose à partir de rien. C'est à dire qu'on ne peut pas calculer U₀!!! Il faut donc poser dans un premier temps la valeur de U₀ et ensuite définir la relation de récurrence. Ainsi, une suite définie par récurrence s'écrira ainsi:

{U₀ posé
{pour tout entier naturel n, on pose: U_n+1=F(U_n)

Alors que pour la définition directe, on avait:
Pour tout entier naturel n, on pose: U_n=G(n) (j'ai mis G pour distinguer avec la fonction du dessus car ce ne sont pas forcément les même évidemment).

Est-ce que ceci te paraît plus clair? Bin avoir compris les différente remarque sur les fonction pourrait grandement aider à la comprendre des suites qui ne sont que des fonction sur des entier naturel, N, tout simplement.

Bon courage!

ça s'éclaircit en effet!!
Mais quand tu me dis qu'une suite est une fonction définie sur N.. Est ce que ça veut dire que pour calculer le premier terme ( U0 ), on devra prendre x = 0 et appliquer la fonction ( forme explicite ).

En fait, lorsqu'on dit qu'il y a deux façons de définir une suite (en générale, car en particulier, il y a plein de cas à prendren e compte donc limitons nous aux cas généraux), on dit souvent ceci:

Soit (U_n) définie en fonction de n par la formule suivante: U_n= F(n) (avec "F(n)" le terme écrit seulement _{en fonction de} n ce qui explique l'apparition de F)

Ou sinon, on définit la suite par récurrence comme définie dans mon dernier message (je ne ré-explique pas pour l'instant mais si on problème subsiste n'hésite pas).

Maintenant, la première définition est à lire telle quelle en fait et il n'y a pas d'ambiguïté dans cette définition. Si on souhaite calculer U₀, on calculera F(0) en prenant n=0.

toi tu l'appelles x pourquoi pas, c'est une question d'habitude. Je l'appelle n la variable justement pour que le lien entre U_n et F(n= soit plus direct tout simplement. Car il s'agit bien du même n !!!

De même pour la définition, par récurrence, il s'agit d'une même n lorsqu'on écrit: U_n+1=F(U_n).

Il n'y a vraiment pas d'ambiguïté dans ces définitions en fait, il faut les appliquer telle quelle. Et c'est pour cela que l'aspect fonctionnelle est très important en fait car il s'agit vraiment d'une fonction si on l'écrit de façon informelle:

U: N-->R avec n|--> U_n

alors avec cette écriture positionnement (on met le n en indice) au lieu de l'écriture sous forme de fonction U(n) cela choquerait beaucoup car vous n'êtes pas à l'aise avec la manipulation du calcul algébrique. Mais il s'agit bien de la même chose pourtant c'est juste la notation qui change et l'ensemble de départ qui fait qu'on a juste des points sur un graphiques par exemple et non une courbe (car entre 0 et 1 il n'y a pas de point vu que n ne prend que des valeur entière, donc sur un graphique si on représentait la suite, il n'y aurait que des points et non pas des lignes/courbes).

En espérant avoir enlever les doutes au niveau de l'utilisation des deux formes de définition d'une suite. Sinon, n'hésite pas à demander des précisions.

Bon courage!

Blagu'cuicui a écrit:

Maintenant, la première définition est à lire telle quelle en fait et il n'y a pas d'ambiguïté dans cette définition. Si on souhaite calculer U₀, on calculera F(0) en prenant n=0.

Je pense savoir ou je bloquais.. Pour moi U0 était le premier terme de la suite, et comme tu me disais qu'il était rien de plus que f(0), j'en concluais que toute suite commençait à 0.. Alors que non?

Le plus souvent, on fait démarrer les suites à U₀ mais rien nous empêche ne effet, de donner comme premier terme U_p avec p un entier non nul. Tout dépend de l'exercice qu'on aura et il faudra donc savoir à quoi correspond exactement n dans les exercice pour ne pas faire d'erreur sur le premier terme.

De même pour la récurrence, il faut regarder si le premier terme est U₀ ou un autre terme mais ça se voit directement dans la définition par récurrence après tout vu qu'il faut expliciter le premier terme pour pouvoir calculer les suivants.

bon courage pour la suite!

Après comment ferait tu par exemple pour calculer les n premiers termes pairs?? .

Bonsoir,

Comment écris-tu un terme pair? Comment faire une somme?

Tout repose dans ces deux questions.

Bon courage!

Il me semble avoir vu en classe qu'un nombre pair s'écrivait 2n. Mais cela me semble peut précis..
Après je connais la règle de Gauss ; n(n+1) / 2 pour des entiers se suivant.. Je ne sait pas si elle peut marcher.
Ou la règle pour calculer la somme des premiers termes d'une suite arihmétique?

Bonsoir,

En fait, l'écriture d'un nombre pair sous la forme 2*n avec n un entier naturel est très précise. En effet, qu'est-ce qu'un nombre pair? C'est un nombre entier positif qui est divisible par 2 tout simplement. À partir de là, qu'est-ce que cela signifie être divisible par 2?

En fait, lorsqu'on dit qu'un nombre est divisible par 2 cela signifie qu'on peut l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs dont au moins un des facteurs est 2. Ainsi, je peux donc regrouper tous les autres facteurs ensemble sous la forme d'un entier n quelconque et laisser le 2 à part. Ce qui nous donne bien l'écriture sous la forme 2*n avec n un entier naturel.

Ici, il s'agit donc de clacul la somme des n premiers termes pairs. Donc tout de suite, on constate un choix malheureux dans notre notation des termes pairs. En effet, n est une lettre qui est déjà utilisée. Il va donc falloir en utiliser une autre par exemple k (ce qui nous donne le lien avec l'écriture d'une somme par exemple). Ainsi, écrivons les termes pairs sous la forme 2*k.

On doit donc prendre le n premiers termes de cette suite qu'on peut noter (U_k) (la prise d'initiative en mathématiques sera toujours bien vu). Ainsi, on cherche à calculer la sommes des n premiers termes de cette suite.

Par exemple, si n=3, quelle somme calcule-t-on? Si n=4? Si n=5? Vois-tu un lien dans le calcul de ses trois sommes? Que pouvons-nous dire de la suite (U_k) qui pourrait nous aider dans le calcul de cette somme?

Bon courage!

Quand tu me dis: "Ainsi, on cherche à calculer la sommes des n premiers termes de cette suite."
Cela veut dire qu'on cherche à calculer les n premiers termes k de cette suite (Uk) ?

Si n = 3 , je cherche à calculer la somme des trois premiers nombres pairs consécutifs.
2*k et + 2 à chaque fois?

Bonsoir,

C'est en effet cela mais essayons de calculer maintenant cette somme pour comprendre le mécanisme.

Par exemple, pour n=3 quels termes ajoutons-nous?

Bon courage!

(2*k)+(2*k +2) + (2*k +4) ?

Alors ça c'est trois termes pairs en effet. Mais est-ce la sommes des trois premiers termes pairs?

Je ne pense pas!

En effet, le premier terme pair connu c'est 2 (on va enlever 0 car bon pas d'intérêt). Le deuxième terme pair est?

Du coup la sommes des 3 premiers termes qu'est-ce qu'elle nous donne? Et quelle valeur de k avons-nous pris pour calculer la somme des 3 premiers termes pairs?

Bon courage!

Si le premier terme est 2, équivaut à 2*k = 2 équivaut à k = 1.
2 + 4 + 6 ici..
Pour les n premier entier j'ai n(n+1) / 2.
Ici ce serait n(n+2) / 4??
Un peu hasardeux je trouve..

Très hasardeux, je n'ai pas compris pour ma part ton raisonnement d'ailleurs.

Bon maintenant que tu as compris comment on faisait la somme et ce qu'on sommait exactement comme termes essayons d'aller un peut plus loin.

Comment s'appelle la suite (U_k) de terme générale U_k=2*k ?

Bon courage!

Une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 2 ?

Et non!

Pourrais-tu calculer la différence de deux termes consécutifs pour voir si cette différence est constante ou pas?

Bon courage!

Un+1 - Un = 2k+2 -2k = 2..
Suite arithmétique de raison 2?

C'est mieux en effet!

Maintenant, nous allons sommer du premier terme au n^ième terme donc. Comment nous y prenons-nous pour sommer une telle suite?

Bon courage!

U0*1-q^n+1 / 1-q

Bonsoir,

Qu'est-ce que c'est exactement ce que tu as écrit?

Qu'avons-nous trouvé sur la suite (U_k) de par sa forme? Quel est son nombre? Son premier terme? Sa raison?

Je pense que tu considères un peu trop les choses de façon aléatoire pour l'instant. Alors qu'en fait, les mathématiques relève rarement (jamais en fait) de l'aléatoire dans ces démarches ou dans ses raisonnements qui sont basés que de la logique déductive à partir d'hypothèses (ce qu'on appelle: hypothético-déductive). Il faut vraiment faire l'effort de ne pas jouer au poker avec les réponses car d'une part, on gagne rarement et d'autre part sur du long terme, on n'apprend pas grand chose. Même si faire des erreurs permet de mieux les comprendre pour éviter de les faire mais il faut tout de même se confronter au problème de façon plus construite que d'essayer pour voir si toutes les formules du cours ne pourraient pas fonctionner les unes après les autres.

C'est comme si tu étais devant une porte fermé dotée de quelques verrous avec un énorme trousseau de clés. Et à partir de là, tu prends les clés, une par une mais sans pour autant essayer d'éliminer des clés dont il est évident qu'elle ne sont pas les bonnes (elles n'ont pas la bonne forme, trop rouillée alors que le verrou est neuf, ...).

Il ne faut vraiment pas faire cela lors de la recherche d'un exercice de mathématiques. Il faut d'abord regarder les hypothèses que nous avons et en déduire tout ce que nous pouvons. Ensuite, il faut regarder ce que nous avons dans nos connaissance (cours, études déjà faites, autres exercices, ...) qui ont un rapport avec les hypothèses et la question (le reste n'a aucun intérêt!). Et enfin, il faut réussir à faire les enchaînements pour conclure et c'est là que la difficulté doit se trouver et non pas avant en fait. Il faut t'obliger à te poser des questions et te mettre à l'épreuve pour te demander: "est-ce normale que j'ai cela comme résultat? Qu'avions-nous comme hypothèses? Est-ce un résultat cohérent avec les réponses aux questions précédentes? ...." et il y en a plein de questions dans ce style là. Cela est un peu dur au départ mais c'est une démarche d'analyse qui permet à terme de mieux comprendre ses propres erreurs mais surtout de toujours être cohérent même lorsqu'on fait des erreurs (genre pas écrire qu'une voiture à une vitesse négative, par exemple cela paraît idiot mais cela arrive d'écrire ce genre de résultat car on n'a pas bien lu les hypothèses ou pas fait les bonnes déductions).

Bon courage et n"hésite pas si tu as des questions!