Exo sur les suites

Salut,
me revoici avec un exercice sur les suites qui me semble bon mais, dont la rédaction me laisse perplexe... Voici l'énoncé :

Citation :

Un jeune diplomé est contacté par 2 entrepirses.
L'entreprise A propose un salaire annuel de 15000 euros avec une augmentation de 1500 euros chaque année. L'entreprise B propose un salaire annuel de 14000 euros avec une augmentation de 7% par an.

1. On note un et vn les salaires respectifs proposés, après n années, par les entreprises A et B.
Exprimer un et vn en fontion de n.
2. A l'aide de la calculatrice, indiquer au bout de combien d'années la salaire dans l'entreprise B dépassera le salaire dans l'entreprise A.
3. Calculer le total des salaires qui seraient perçus dans chaque entreprise en 10 ans de travail (et il n'est pas question de calculer les 10 salaires annuels...)

A = 15000 Euros/an + 1500 Euros/an
B = 14000 Euros/an + 7%/an


1. Salaire A = un ; Salaire B = Vn avec n le nombre d'années.

* U0 = 15000
--> Un = 15000 + 1500n
--> Un = u0 + 1500n


* V0 = 14000
--> Vn = 14000 * 1.07^n
(1.07 = 7% de plus : la raison de la suite sera donc logiquement de 1.07)
--> Vn = V0 * 1.07^n


2. Ici, j'ai fait une liste de valeurs de u et de v et je trouve qu'au bout de la 14ème année,
U14 < V14 --> 36000 < 36099.5

Le salaire de l'entreprise B dépassera donc celui de l'entreprise A au bout de 14 ans.


3.

S = 1/2(u0+un)(n+1) --> car Un est une suite arithmétique.

avec n = 10 car 10 années ; u0 = 15000 et Un --> U10 = 15000 + 1500 *10 = 30000

S = 1/2(15000 + 30000)(10 + 1)
S = 1/2 * (45000 * 11)
S = (1/2) * 495000 = 247500 Euros.

En 10 ans, ce jeune diplomé aura gagné 247500 Euros.




S = u0 * [(1-q^n+1) / (1-q)] --> car Vn est une suite géométrique.

avec n = 10 car 10 années
v0 = 14000
q = 1.07

S = 14000 * [(1-1.07^11) / (1-1.07)]
S = 14000 * (-1.10 / -0.07)
S = 14000 * 15.71
S = 220000 Euros.

En 10 ans, ce jeune diplomé aura gagné 220000 Euros.



Les résultats me semblent juste mais, j'ai un doute au niveua de la rédaction...

Tous les raisonnements sont justes à une exception d'interprétation en fait.

En effet, combien percevrait le jeune salarié la première année dans les deux cas ?

La première année... A u0 ou u1?


-->à n=0

Entreprise A :

Un = u0 + 1500n
U0 = 15000 + 1500 *0 = 15000 Euros.


Entreprise B :

Vn = V0 * 1.07^n
V0 = 14 000 * 1.07^0 = 14000 Euros.


-->à n=1

Entreprise A :

Un = u0 + 1500n
U1 = 15000 + 1500 *1 = 16500 Euros.


Entreprise B :

Vn = V0 * 1.07^n
V1 = 14 000 * 1.07^1 = 14980 Euros.

Dans ta question 2), tu marques que pour 10ans n=10.

Donc pour toi la première année c'est n=1 sauf erreur. Pourtant à la première année, il n'a pas encore eu l'augmentation ni dans l'une ni dans l'autre entreprise. Attention donc à savoir de quoi on parle car l'indice n n'est pas à prendre à la légère dans un exercice car c'est lui notre référence.

Comme tu l'as noté, pour toi la première année c'est n=0 et donc la dixième année c'est n=9 et non n=10.

A ta place, j'aurai commencé à n=1 et non à n=0 car cela est beaucoup plus intuitif et surtout plus compréhensible poru toi même la preuve .

Il faudrait donc écrire les suites à partir de n=1 et ainsi ta 10ème année serait bien n=10. Mais pour faire cela, il va falloire faire quelque changement dans l'expression de tes suites. Ou sinon, tu ne change rien mais tu garde en tête que ton année n correspond à (n-1) pour tes suites.

Tu peux mieux visualiser ton erreur en charchant par exemple l'addition des 2 premières année dans chacun des cas vu qu'avec 2 tu peux te permettre de les faire à la main et donc de voire si ton calcul est cohérent.

Ah je vois... Je vais reprendre ce que j'ai écrit et donc corriger la question 3 en conséquences... Par contre, en cours, on emploie toujours u0 donc, je vais rester dans cette logique mais, vu que j'ai fait une erreur à cause de ça, je serais plus "prévoyant". En tout cas, merci de me l'avoir fait remarquer.


--> La question 1. ne change pas.

--> La question 2 non plus.

3.

S = 1/2(u0+un)(n+1) --> car Un est une suite arithmétique.

avec n = 9 car 10 années (u0 est Compté!) ; u0 = 15000 et Un
--> U9 = 15000 + 1500 *9 = 28500

S = 1/2(15000 + 28500)(10 + 1)
S = 1/2 * (43500)(11)
S = (1/2) * 478500 = 239250 Euros.

En 10 ans, ce jeune diplomé aura gagné 239250 Euros.




S = u0 * [(1-q^n+1) / (1-q)] --> car Vn est une suite géométrique.

avec n = 9 car 10 années (u0 est là-aussi Compté!)
v0 = 14000
q = 1.07

S = 14000 * [(1-1.07^10) / (1-1.07)]
S = 14000 * (-0.96 / -0.07)
S = 14000 * 13.71
S = 191940 Euros.

En 10 ans, ce jeune diplomé aura gagné 191940 Euros.



Voilà, normalement, le problème est réglé.

Là tout est juste en effet mis à part une erreur de recopie:

Citation :

S = 191940 Euros.

En 10 ans, ce jeune diplomé aura gagné 19140 Euros.

Celà sera pas très rentable si c'était ta phrase de conclusion qui était bonne .


Sinon, pour le cadre théorique sur les suite n'oublie pas ceci:

Suite arithmétique: U_n= U_p + (n-p)*r

Suite géométrique: U_n= U_p*r^(n-p)

Le plus souvent on prend p=0 mais prendre p=1 n'est pas un soucis et peut s'avérer pratique dans ce cadre là par exemple. Tu as dû voir cela lorsque tu as généraliser la définition des deux suites en question mais il est vrai qu'on l'utilise rarement. C'est utile lorsqu'on fait des exercice du type "exprimer Un en fonction de n" en te donnant quelques termes.

Après c'est toi qui voit mais n'oublie pas en effet de rester attentif car ce n'est pas parce qu'un exercice parait classique qu'il n'y a plus besoin de faire attention aux détails mineurs car c'est souvent sur eux que se joue les plus grosses erreurs.

Mis à part celà, ta démarche était tout à fait bonne et pour un début d'année très convenable pour ma part.

Bon courage pour la suite!

Problème réglé .

J'ai vu ces formes-ci :

Suite arithmétique: Un= U0 + nr

Suite géométrique: Un= U0 *qn

ce qui est similaire aux formes que tu donnes qui sont plus détaillées car comme tu l'as dit on prend souvent u0. Sinon, j'ai déjà adapté les formules ci-dessus pour aboutir à des formules ressemblant à celles que tu as noté quand par exemple on n'a pas u0 et qu'on ne peut pas le trouver. Je retiens les tiennes en tout cas qui sont plus générales et pratiques donc merci .


Par contre, une question qui change radicalement de sujet : j'ai un autre exercice sur les fonctions, les dérivations etc... et ça, je pense savoir le faire un minimum (vu que tu m'as beaucoup aidé là-dessus aussi ) mais, je sais calculer la dérivé, trouver 'ensemble de définitions, dresser tableau de signes, de variations mais, je ne me souviens plus comment étudier les limites aux bornes de définitions ni comment calculer les asymptotes.
J'ai cherché dans mes cours, des bouquins de maths mais, je n'ai pas trouvé la "méthode".
Pourrais-tu me la rappeler vite fait stp?

Pour le problème de limites au borne il s'agit d'un calcul de limite et sans fonction je ne vais pas ré-écrire un cours sur les limites théorique, on ne s'en sortirait pas ni toi ni moi. Ne pas oublier que lorsqu'on a une forme indéterminé on peut le plus souvent lever l'indétermination par factorisation par exemple (je pense à des fonction qui sont sous la forme des quotient par exemple). Après si le problème reste je te conseille d'ouvrir un autre sujet pour qu'on puisse voir sur ton cas particulier.

Sinon pour les asymptotes (j'exclus le cas des asymptote verticale car il s'agit d'un cas simple qu'on voit tout de suite car la limite vers un point fini donne une limite infinie de la fonction; ex: x -> 1/x a une asymptote verticale en 0), il y a plusieurs méthode mais une asymptote oblique ou horizontale est une droite donc sont équation est forcément de la forme y=a*x +b où on cherche à déterminer le a et le b.

Et bien si ta fonction s'appelle F par exemple, pour avoir accès au a, il suffit de calculer F(x)/x celà te donnera le a. Et pour avoir accès au b, il suffit de calcul la limite de F(x) - a*x et celà te donnera le b. alors c'est une "recette" miraculeuse mais en fait elle est simple à comprendre. En effet, lorsqu'une fonction a une asymptote, cela signifie quoi sur la courbe de F ? Et bien cela signifie qu'elle se rapproche de plus ne plus de cette droite sans jamais la toucher. Cela signifie donc que l'écart entre la courbe et la droite tend vers 0, ce qui veut dire que la limite lorsque x tend vers l'infinie de F(x) - [a*x + b] est égale à 0. Tu constate qu'en divisant par x partout, on a limite à l'infinie de F(x)/x - a + b/x = 0 => limite de F(x)/x -a =0 => lim F(x)/x = a

De même, lim [F(x) - (a*x +b)] =0 => lim [F(x) - a*x -b ]=0 => lim [F(x) - a*x] = b

Attention!!! Il n'y a pas toujours d'asymptote à une courbe donc cette méthode ne marche que lorsqu'il y a une asymptote à la courbe, si on trouve a=+ l'inf, il faudra ce poser des question par exemple .

Voilà en gros une méthode pour les asymptotes après pour les limites, tu as du avoir nu tableau sur les limites l'année dernière et avec l'indication du début de ce post normalement tu dois être capable de calculer toute les limite possible pour ton début de Terminale S. Cependant, si problème il y a, ouvre un autre sujet car entre les suite et les fonction la marge n'est pas énorme mais quand même là on risque de changer radicalement de sujet .

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum !