Suites

Bonjour, j'ai un exercice sur les suites où je dois étudier leur sens de variation, mais même si j'ai les différentes méthodes, je ne sais pas comment les utiliser et laquelle choisir...

1) Ici, il est indiqué d'utiliser la récurrence, mais je ne sais pas si la démonstration est bien faite, si il manque des choses, si d'autres sont inutiles...

U_n+1= U_n² pour n entier naturel et U₀=0.5.

U₀=0.5
U₁=(0.5)²=0.25
U₂=(0.25)²=0.625
Lorsque U_n+1>Un pour tout n entier naturel, la suite est strictement décroissante.
On définit P par: pour tout n€IN, P(n) désigne la propriété "U_n+1=U_n²".
U₁<U₀ <=> 0.25<0.5 } donc P₀ est vraie.

Supposons que Pn est vraie pour un entier n€N.
U_n+1<U_n
(U_n+1)²<(U_n)²
U_n+2<U_n+1
donc P(n+1) est vraie.

Donc la suite Un est strictement décroissante.


2) U_n+1=U_n-5n pour tout n€IN et U₀=100.
Il n'y a pas d'indication et je ne sais pas quelle est la méthode à utiliser.

Bonjour,

La récurrence c'est toujours un problème car on ne sait pas par où partir et ce qu'il faut réellemetn faire mais en tout cas ta première récurrence est plutôt bonne même si pour l'initialisation je n'utiliserait pas ll'équivalence de façon brutale mais bon c'est un choix qui ne change rien .

Par contre pour la partie hérédité, il faut justifier les passages d'une ligne à l'autre sinon, on écrit le résultat directement si il n'y a pas d'argumentation. Le passage au carré ne change pas le sens de l'inégalité car on a U_n≥0,5 pour tout n dans N et que la fonction carré est croissante sur R₊.

Car si la suite était négative, on changerait le sens de l'inégalité car la fonction carré est décroissante sur R_-.

On constate donc que pour réellement faire la récurrence, il faut supposer dans ta propriété de récurrence que U_n≥0,5 pour tout n dans N. On a donc:

P(n): "U_n+1>U_n≥0,5"

Et en refaisant la même démarche, tu va bien réussir à justifier tous tes passages d'inégalité.


Pour la question 2), il faut revenir au classique pour trouver le sens de variation de notre suite c'est à dire trouver le signe de U_n+1-U_n et en l'occurrence ici cela va te permettre de conclure. Les méthode les plus simple peuvent être les plus efficace dès fois et il faut mieux les tester dès le départ sauf indication contraire de l'énoncer. Cela peut permettre de débloquer une situation qui parraissait difficile.

Bon courage!

Pour le 1) j'ai compris, merci.

Par contre pour le 2), j'ai plus de mal...
J'ai calculé les premiers termes et je trouve:
U₁=100
U₂=95
U₃=85
U₄=70
U₅=50

Ainsi:
U₁-U₀=0
U₂-U₁=5
U₃-U₂=-10
U₄-U₃=-15
U₅-U₄=-20
Donc est-ce que la suite est ni-croissante ni-décroissante ou est-ce que on peut en conclure qu'elle est décroissante?
Ou est-ce que pour conclure il faut que je mette sous une forme en fonction de n? c'est ce que j'avais essayé, mais même ça je ne trouve pas...

Alors par récurrence pour la 1) tu voulais démontrer que U_n+1 était inférieur à U_n pour montrer que notre suite (U_n) était décroissante.

Mais en fait cela revient à montrer que U_n+1-U_n ≤ 0

Maintenant dans le cas générale:

Donc en trouvant le signe de U_n+1-U_n pour tout n dans N, on déduira la croissance ou la décroissance de la suite (U_n).

En effet,

Pour tout n dans N, U_n+1-U_n ≤ 0
<=> Pour tout n dans N, U_n+1≤U_n
<=> (Un) est décroissante


Pour tout n dans N, U_n+1-U_n ≥ 0
<=> Pour tout n dans N, U_n+1≥U_n
<=> (Un) est croissante


La croissance ou la décroissance se démontre toujours pour tout n dans N. Le fait de calculer des valeurs permet juste de pouvoir conjecturer si la suite croît ou si elle décroît tout simplement. En quelque sorte, cela permet de fixer les idée avant de commencer une démonstration.

Mais la démonstration se fait dans le cas générale et donc pour tout n dans N et notre propriété doit être vraie pour tout n dans N.

Donc pour le deux, en déduisant le signe de U_n+1-U_n on trouvera si la suite est croissante ou décroissante.

Est-ce plus clair ainsi ?

Bon courage!

Oui je comprends, mais je ne sais pas sur quoi m'appuyer pour définir la dé/croissance de la suite.
Parce que comment j'étudie le signe de U_n+1-U_n ? Si je remplace par la "formule" de la suite, ça ne m'avance pas, si ?

Es confiance dans les calculs, c'est en forgeant qu'on devient forgeron comme on dit .

On sait que U_n+1=U_n-5n

Donc que vaut U_n+1-U_n? Et quel est son signe?

Quand tu vas avoir la réponse tu va t'en mordre les doigt j'en suis certain mais je t'assure que dès fois, il faut se faire confiance et juste effectuer les calculs et tout découle tout seul aussi bizarre que cela puisse paraître.

Bon courage!

U_n+1-U_n=U_n-5n-U_n=-5n
Merci, effectivement, je m'en mords les doigts --'
C'est parce que je faisais un espèce de raisonnement bizarre... je mettais pas -Un, je mettais U_n-1-5_n-1, donc j'étais bloquée.

Du coup:
Pour tout n dans IN, U_n+1-U_n ≤ 0
<=> Pour tout n dans IN, U_n+1≤U_n
<=> La suite (Un) est décroissante.

C'est tout à fait ça!

Ton erreur est classique ne t'inquiète pas, tu sera ni la première et loin d'être la dernière à la faire . Le soucis de remplacer les deux par leur valeur c'est qu'on se mord la queue car le raisonnement est bloqué vu qu'on a toujours des valeurs U_p qui apparaissent.

En tout cas j'espère que celle-ci se résolu à l'avenir car on perd beaucoup de temps dans un devoir avec cette erreur.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!